第一讲(高等数学方法简介).

1、科学方法是打开科学殿堂大门的科学方法是打开科学殿堂大门的钥匙钥匙 , 是由必然王国通向自由王国的是由必然王国通向自由王国的桥梁桥梁。数学方法是数学的数学方法是数学的灵魂灵魂高等数学方法主讲教师主讲教师: 吴楠吴楠前言一一. 为什么要学为什么要学“高等数学方法高等数学方法 (参考前言第一段参考前言第一段)1. 科学方法的重要性科学方法的重要性科学科学是什么 , 为什么技术技术做什么 , 怎么做科学方法科学方法桥梁与钥匙数学数学思维的体操科学的语言生活的需要(思路思路)(表达表达)(应用应用)数学方法数学方法对数学规律的认识对数学规律的认识思维方法解题方法(是数学的灵魂是数学的灵魂)2. 数学方法

2、的含义数学方法的含义二二. “高等数学方法高等数学方法”的结构与学习方法的结构与学习方法(参考前言第二、三段参考前言第二、三段)第一部分第一部分 (第一至第七章)每节包含: 方法指导, 实例分析, 相关问题第二部分第二部分 (第八至第十一章)包括综述和提高(从古典数学向近代数学靠拢 )学习方法学习方法:1. 将数学内容和数学方法相结合2. 重视分析问题和解决问题的方法3. 学习要纵横结合 , 着眼于提高数学素养华罗庚华罗庚 （1910 - 1985）“聪明在于勤奋聪明在于勤奋, , 天才在于积累天才在于积累”“学而优则用学而优则用, , 学而优则创学而优则创”“由薄到厚由薄到厚 , ,由厚到薄

3、由厚到薄”注意问题注意问题：认真听课，扼要记录，认真听课，扼要记录， 多做题目，总结规律多做题目，总结规律。参 考 书张晓宁、李安昌张晓宁、李安昌： 高等数学方法高等数学方法 中国矿业大学出版社教学安排参考教学安排参考第一、二讲第一、二讲 高等数学中的方法综述第三讲第三讲 研究函数与极限的基本方法第四讲第四讲 导数的计算方法及微分中值定理应用第五讲第五讲 导数应用的方法第六讲第六讲 积分学的概念、性质和不定积分的 计算法第七讲第七讲 定积分的计算、证明和解应用问题 的方法第八讲第八讲 几类常微分方程的求解法第九讲第九讲 空间解析几何方法及其应用第十讲第十讲 研究多元函数微分学概念的方法第十一讲

4、第十一讲 多元函数微分法及其应用第十二讲第十二讲 二重及三重积分的计算法第十三讲第十三讲 线面积分的计算法第第十四十四讲讲 级数的收敛、求和及展开法第十五讲第十五讲 试题类型及解题方法分析第一、二讲第一、二讲 高等数学高等数学中的中的 分析问题分析问题 和和 解决问题的解决问题的 方法方法一一. 数学模型及数学建模方法数学模型及数学建模方法 ( P511 , 第一节第一节 )数学模型数学模型客观实际问题内在规律性的数学具有形式化形式化、符号化符号化、简洁化简洁化的特点.是一种高度抽象的模型. 有狭义狭义和广义广义两种解释 .数学建模方法数学建模方法 实验归纳法 理论分析法 ( P514 )物理

5、模型数学模型求解和分析结构.可无限逼近可无限逼近例如例如 , 为什么用为什么用N及语言定义极限语言定义极限 ? 用圆内接正多边形面积逼近圆面积用圆内接正多边形面积逼近圆面积 A .orn圆内接正 n 边形的面积为nA),5,4,3(n,0N(正整数) ,当Nn 时, 有, AAn记作记作.limAAnn精度要求精度要求边数足够多边数足够多找出找出利用极限知识可求出 :nAlim2rnncossinn2rnnrcossin2n 测量圆面积测量圆面积2rA直接观测量为 r间接观测量为 A半径真值为0r面积真值为0A测量圆半径得r计算圆面积为2)(rrf任给精度,0要使0)(Arf寻找精度,0让0r

6、r记作20200lim)(limrrrfrrrr又如又如 , 为什么用增量比的极限定义导数为什么用增量比的极限定义导数 ?运动规律)(tss 平 均 速 度ts0limt瞬 时v速度函数)(tvv 平 均 加速度tv0limt瞬 时a转动规律)(t平 均 角速度t0limt瞬 时电量函数)(tqq 平 均 电流强度tq0limt瞬 时I质量分布)(xmm 平均线密度xm0limx光滑曲线)(xyy 割 线 斜 率xy0limx切 线k抽象抽象: 定义导数xyyx0lim( 描述变化率问题 )再如再如 , 椅子稳定问题椅子稳定问题 (P515P516)假设假设: 四条腿一样长 ; 地面为连续曲面

7、 .建模建模:设 A , C 两脚与地面的距离之和为,0)(2CgB , D 两脚与地面的距离之和为,0)(2CfABCDABCD不妨设,0)0(g,0)0(f且对任意有,0)()(gf证明存在, ),0(02使.0)()(00gf证明证明: 设)()()(gfh,0)0(h, ,0C2又,0)(h2由连续函数零点定理可知 , 存在, ),0(02使0)(0h即)()(00gf又知,0)()(00gf所以0)()(00gf思考思考: 对长方形板凳的稳定问题如何考虑?二二 .几种常用的分析问题的方法几种常用的分析问题的方法 (P444-455)1. 简化方法简化方法 2. 直观分析法直观分析法3

8、. 逆向分析法逆向分析法 4. 类比法类比法 5.归纳思维归纳思维 6.发散思维发散思维1. 简化方法简化方法复杂问题 简单问题分解法分解法变换法变换法换元法换元法递推法递推法转化法转化法6ln6ln3ln)(23xxxxf单调递减。 提示提示: 令,ln xt )663()(23tttetgt)0(0)(3ttetgt31)(xxxfx)1(x则转化为讨论下述函数在 t 0 时单调递减 . 注意说明说明 1. ) 1()()(33xxxfxg与具有相同的极值点 , 故可用后者代替前者讨论极值问题与单调性问题 . 2. 有些复合函数的单调性问题 , 可利用组成它的简单函数链的单调性传递得出 .

9、 如 P445例1.例例1. 证明 设, 求提示：将函数化为提示：将函数化为xy4cos4143则)24cos(41)(nxynnxxy44cossin.)(ny例例2.的解. 例例3.设函数),()(在xyy,)()(, 0的反函数是xyyyxxy内具有连续二阶导(1) 试将 xx( y) 所满足的微分方程 变换为 yy(x) 所满足的微分方程 ;(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 0)dd)(sin(dd322yxxyyx, 0)0(y数, 且23)0( y解解: ,1ddyyx, 1ddyxy即上式两端对 x 求导, 得 (1) 由反函数的导数公式知(2003考研考研)0)dd)(s

10、in(dd322yxxyyx,1ddyyx0)(dddd222 yyxyxy222)(ddddyyxyyx 3)(yy 代入原微分方程得 xyysin (2) 方程的对应齐次方程的通解为 xxCCYee21设的特解为 ,sincosxBxAy代入得 A0,21B,sin21xy故从而得的通解: xCCyxxsin21ee21由初始条件 ,23)0(, 0)0(yy得1, 121CC故所求初值问题的解为 xyxxsin21ee思考思考: 设0( )e()d ,(0)0,xxxxxuu?)(x如何求提示提示: 对积分换元 ,uxt 令则有xxttx0d)(e)()(e)(xxx 解初值问题: xx

11、xe)()( ,0)0(1)0(答案:xxxxe41) 12(e41)(2. 直观分析法直观分析法 通过特例或图形，寻找规律、方法和结论. 与几何形体有关的问题应尽量画图寻求启示. 有关几何应用题尽量画出图形找几何关系 . 填空题和选择题可用增强条件的方法找结论.)(xf的图形关于例例1. 设定义在实数域上的函数直线ax 及)(abbx对称 , 试证)(xf为周期函数 . ( P.447 例例4 )oyxax bx x)(xfxa2)(2abx证证:, ),(x有)(2(abxf)2(abxbf) (bf)2(xaf)(xaaf)2(abx) (af)(xa)(xf因此)(xf是周期为)(2a

12、b的函数 .例例2 证明拉格朗日中值定理时如何设辅助函数证明拉格朗日中值定理时如何设辅助函数?分析分析:)(xfy Cxyabafbf)()(由图可知 , 设辅助函数CxabafbfxfxF)()()()(C 为任意常数 )都可使 F( x ) 在 a , b 上满足罗尔定理条件 ,因此所设辅助函数不唯一 .oyxab例例3.3.如何求函数如何求函数)(xfy 的斜渐近线?bxay分析分析: :oyxx)(xfy bxay由图可知, 若曲线)(xfy 有斜渐近线,bxay则必有0)()(limbxaxfx从而xxlimxbxxfa)(0 xlimxbxxfa)(0,lim)(xxfxa)(li

13、mxaxfbx例如例如 , 求曲线求曲线21xexy 的斜渐近线解解:xxfxa)(lim)(limxxfbx21limxex11lim21xexx21limxxx0所以曲线有斜渐近线.xy )(xf),(ba)(xf )(,(),(,(bfbBafaA)(xfy ,)(,(cfcC,bca),(ba 在,ba上连续, 在内存在 , 连接两点的直线交曲线于且试证至少存在一点使.0)( f提示提示:如图所示, 有),(),( )()()()(2121bccaabafbfff)(xf 在,21上应用Rolle定理1 2 CacbAB对（ P118 题题7 ）例例4.4.已知( )0( )0fxf

14、x，证明不等式( )( )() ()( )()22 baabf bf aba ff x dxba例例5.5.已知逆向思维反推 执果溯因反证 利用正命题与逆否命题等价， 多用于否命题反例 找反例说明原命题不正确3. 逆向分析法逆向分析法在 上连续,在 内可导,且,试证至少存在一点 使得)(xf,ba),(ba( )( )0f af b( )2( )ff分析分析:转化为证( )2( )0fxxf x可见只要对22( )2ln( )( )( )xfxxf xxf xef x2( )( )xxef x( ,)ab上用 罗尔 中值定理.由于,ba在例例1. 设函数在 上连续,在 内可导,且,试证存在 使

15、得)(xf,ba),(ba0)( xfeabeeffab)()(分析分析:转化为证efeeabfab)()(上满足 Lagrange 定理条件 ,使,)()()(abfafbf则只需证明efeeafbfab)()()(可见只要对)(xf)(xf),(ba ,),(ba上用 Cauchy 中值定理.( P450,考研考研98 )由于在,ba则有xe,ba及在例例2. 设函数0!100!211002xxx无实根.( P451 例例7 )分析分析:用反证法. 假设有实根) 10(!101!100!211011002 xexxxexx代入,0 xx 1010!10100 xeexx 上式两边异号上式两

16、边异号, 矛盾, 假设不真!,00 x,0 x利用显然则有例例3. 证明方程 )(xf在 可导, 则在 处必连续 ,答答: 不一定不一定 . 例如设函数xxfxf0)0()(问在 的充分小的邻域内 是否连续 ?例例4.已知函数0 x0 x0 x)(xfxxxxf,0,)(2有理数有理数无理数无理数0)0()(lim)0(0 xfxffx但00 x时, )()(lim00 xfxfxx即00 x时,)(xf都间断 .0 类比是找相似性, 是发现问题和解决问题的重要方法。两个问题有一部分特征相似，推想其他特征也相似；从某个问题解决过程，联想到一类问题的解题方法 例如,定义、性质、应用、计算等4. 类