D9_8极值与最值20160318

1、目录 上页 下页 返回 结束 第九章 第八节第八节一、多元函数的极值一、多元函数的极值 二、最值应用问题二、最值应用问题 三、条件极值三、条件极值 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 多元函数的极值多元函数的极值 定义定义: 若函数则称函数在该点取得极大值例如例如 :在点 (0,0) 有极小值;在点 (0,0) 有极大值;在点 (0,0) 无极值.极大值和极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22yxzyxz ),(),(00yxyxfz在点的某邻域内有xyzOx

2、yzOxzyO(极小值).目录 上页 下页 返回 结束 在点 (0,0) 无极值.yxz 目录 上页 下页 返回 结束 提示提示: 由题设 例例1. 已知函数(D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点.则( )0 , 0(),(在点yxf的某个邻域内连续, 且.),()0 , 0()(的极值点不是点yxfA, 1)(),(lim22200yxyxyxfyx.),()0 , 0()(的极大值点是点yxfB.),()0 , 0()(的极小值点是点yxfC0lim,1)(),(00222yxyxyxyxf其中222222)()(),(yxyxyxyxf确定的正负由的邻近，在

3、yxyxf),()00(A(2003 考研)00lim ( , )0 xyf x y目录 上页 下页 返回 结束 提示提示: 取两条路径:例例1. 已知函数(D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点.则( )0 , 0(),(在点yxf的某个邻域内连续, 且.),()0 , 0()(的极值点不是点yxfA, 1)(),(lim22200yxyxyxfyx.),()0 , 0()(的极大值点是点yxfB.),()0 , 0()(的极小值点是点yxfC,yx244(0 0)( , )4()f x xxxo x在 ，的邻近A(2003 考研),yx 244(0 0)( ,)

4、4()f xxxxo x 在 ，的邻近0,0,故点(0, 0)不是f (x,y) 的极值点.应选(A)目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如,定理定理1 (必要条件) 函数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得极值 ,取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.且在该点取得极值 , 则有),(),(00yxyxfz在点存在),(),(00yxyxfz在点因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 目录 上页 下页 返回 结

5、束 极值点的几何意义极值点的几何意义： 若曲面z=f(x,y)在点 处有切平面，则切平面使函数的各偏导数同时为0的点，称为驻点.),(000zyx)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx成为平行于xoy坐标面的平面00 zz说明：具有偏导数的函数的极值点必定是驻点，但驻点不一定是极值点。 极值点也可能是偏导数不存在的点。 极值点只可能在驻点或使偏导数不存在的点中产生.例如,有驻点( 0, 0 )yxz 目录 上页 下页 返回 结束 时, 具有极值定理定理2 (充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 令则: 1) 当A0 时取极小值.2) 当3) 当证明见 第九节(P1

6、22) . 时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC且目录 上页 下页 返回 结束 求极值的步骤求极值的步骤第一步 解方程组0),( 0),( 0000yxfyxfyx得一切驻点;第二步 对所求的驻点),(00yx求出二阶偏导数),(),(00 00 yxfyxfxyxx、),(00 yxfyy和. ),( 00，是极大值还是极小值是否是定判由充分条件定理的符号，定出第三步yxf极值 ACB2目

7、录 上页 下页 返回 结束 例例2.2. 求函数解解: 第一步第一步 求驻点求驻点. .得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点(1,0) 处为极小值;解方程组ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值.求二阶偏导数,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233目录 上页 下页 返回 结束 在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.,66),( xyxfxx,0),

8、(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在点(1,2) 处不是极值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC目录 上页 下页 返回 结束 练习练习. .求函数解解: 第一步第一步 求驻点求驻点. .得驻点:第二步第二步 判别判别.在点(0,0) 处不是极值;解方程组ABC),(yxfx2(62 )(4)0 xyy),(yxfy2(6)(42 )0 xxy的极值.求二阶偏导数2( , )28 ,xxfx yyy( , )4(3)(2),xyfx yxy2( ,

9、 )212yyfx yxx0,A 24,B 0,C 22240,ACB (0,0)f22( , )(6)(4)f x yxxyy(0,0);(0,4);(6,0);(6,4);(3,2)目录 上页 下页 返回 结束 在点(6,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.2( , )28 ,xxfx yyy( , )4(3)(2),xyfx yxy2( , )212yyfx yxx0,A 24,B 0,C 22240,ACB (6,0)f8,0,18ABC (3,2)36f21440,ACB,0A在点(0,4) 处不是极值;0,24,0ABC (0,4)f22240,ACB ABC在点(6,4

10、) 处不是极值;0,A 24,B 0,C 22240,ACB (6,4)f综上所述，函数的极大值为36，无极小值.驻点:(0,0);(0,4);(6,0);(6,4);(3,2)目录 上页 下页 返回 结束 例例3.讨论函数及是否取得极值.解解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.因此,022时当 yx222)(yxz0)0 , 0( z为极小值.正正负负033yxz222)(yxz在点(0,0)并且在 (0,0) 都有 02 BAC33yxz可能为0)()0 , 0()0 , 0(222yxzOxyz目录 上页 下页 返回 结束

11、二、最值应用问题二、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个只有一个极值点P 时, )(Pf为极小值)(Pf为最小值( (大大) )( (大大) )依据目录 上页 下页 返回 结束 例例4 4.解解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yy

12、xA因此可断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为高为时, 水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成解解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x积最大. )0,120:(2 xD为问怎样折法才能使断面面目录 上页 下页 返回 结束 cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由题意知,最大

13、值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点, 故此点即为所求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x目录 上页 下页 返回 结束 三、条件极值三、条件极值极值问题无条件极值:条 件 极 值 :条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其他条件限制例如 ,转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz )(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz目录 上页 下页 返回 结束 ,0

14、),(下在条件yx方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.分析：分析：如方法 1 所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极故极值点必满足记.),(的极值求函数yxfz 0),(yx设, )(xy)(,(xxfz例如例如,值问题, 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有目录 上页 下页 返回 结束 引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格极值点必满足0 xxf0yyf0),(yx则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.),(),(yxyxfF目录 上页 下页 返回 结束 (1) 构

15、造拉格朗日函数：( ,)( ,)( ,)L x yfx yx y其中 为参数，称之为拉格朗日乘子(2) 联解方程组，求出问题问题的所有可能的极值点。求函数 z = f ( x , y ) 在约束条件 ( x , y ) = 0 下的极值。( , , )xLx y( , )( , )0 xxfx yx y( , , )yLx y( , )( , )0yyfx yx y( , , )Lx y( ,)0 x y(3) 进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判断。拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法：目录 上页 下页 返回 结束 推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束

16、条件的情形. 设解方程组可得到条件极值的可疑点 . 例如例如, 求函数下的极值.在条件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F01F目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 要设计一个容量为0V则问题为求x , y ,令解方程组解解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z 使在条件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱, 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20Vzyxyxz

17、yzxFxyz试问目录 上页 下页 返回 结束 得唯一驻点,2230Vzyx3024V由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.因此 , 当高为,340Vxyz思考思考:1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?提示提示: 利用对称性可知,30Vzyx2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示提示:)()(20VzyxyxzyzxF2长、宽、高尺寸相等 .最省,目录 上页 下页 返回 结束 则问题为求x , y ,令解方程组解解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,长方体容积最大.z 使在条件3

18、+22360,0,0 xyxzyzxyz，Vxyz (32()36)Lxyzxyxzyzxyz六、应用题（满分10分）: 要造一个长方体无盖容器，底部造价为每平方米3元，侧面造价为每平方米1元，如果用36元造一个容积最大的容器，如何设计它的尺寸。(32 )0,(32 )0,(22 )0,32236,xyzLyzyzLxzxzLyxyxxyxzyz下得唯一驻点 (2，2，3).目录 上页 下页 返回 结束 由问题本身可知最大值一定存在，知该点为最大值点，即当容器的长宽高分别为2、2、3米时，容器体积最大. 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 函数的极值问题函数的极值问题第一步 利

19、用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .2. 函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数(2) 一般问题用拉格朗日乘数法目录 上页 下页 返回 结束 设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步 判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件)3. 函数的最值问题函数的最值问题在条件求驻点 . ),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0F目录 上页 下页 返回

20、结束 P121 2，3，5，7，9，11习题课 作业作业 预习预习 第十章重积分第十章重积分 目录 上页 下页 返回 结束 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆圆周上求一点 C, 使ABC 面积 S最大.解答提示解答提示: 设 C 点坐标为 (x , y),思考与练习思考与练习 21031013yxkji)103, 0,0(21yx)0, 0(14922yxyx则 ACABS2110321yxCBAyxEDO目录 上页 下页 返回 结束 设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形面积最大.)491 ()103(222y

21、xyxF092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646. 1S,54,53yx,5 . 3,2EDSS点击图中任意点动画开始或暂停目录 上页 下页 返回 结束 注 备用题备用题 1. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.解解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x, y, z, ,2zyxzyx它们所对应的三个三角形面积分别为,sin2211xRS ,sin2212yRS zRSsin22130,0,0zyx设拉氏函数)2(sinsinsinzyxzyxF解方程组0cosx, 得32zyx故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为 32sin322maxRS.4332

22、R0cosy0cosz02zyx注则 目录 上页 下页 返回 结束 注因此前者不可能为圆内接三角形中面积最大者. BCA1A若ABC 位于半圆内(如图) , 则其BC 边上的高小于A1BC 同边上的高, 故前者的面积小于后者， 目录 上页 下页 返回 结束 为边的面积最大的四边形 ,试列出其目标函数和约束条件 ?提示提示: sin21sin21dcbaS)0,0(目标函数目标函数 :cos2cos22222dcdcbaba约束条件约束条件 :dcba,abcd答案答案:,即四边形内接于圆时面积最大 .2. 求平面上以目录 上页 下页 返回 结束 3. 设某电视机厂生产一台电视机的成本为c, 每

23、台电电视机的销售价格为p, 销售量为x, 假设该厂的生产处于平衡状态, 即生产量等于销售量. 根据市场预测, x 与p 满 足关系:(0,0)eapxMMa其中M是最大市场需求量, a是价格系数.又据对生产环节的分析, 预测每台电视机的生产成本满足:) 1, 0(ln0 xkxkcc其中c0是生产一台电视机的成本, k是规模系数. 问应如何确定每台电视机的售价 p , 才能使该厂获得最大利润？解解: 生产x台获得利润xcpu)(问题化为在条件, 下求xcpu)(的最大值点.目录 上页 下页 返回 结束 )0, 0(aMMexpa) 1, 0(ln0 xkxkccxcpu)(作拉格朗日函数xcp

24、cpxL)(),()eapxM)ln(0 xkcc令0)(xkcpLx0eappLxaM0 xLc将代入得,1a由得1x将以上结果及, 代入, 得解得kakMkcppa1ln10*因问题本身最优价格必定存在, 故此 p* 即为所求.01)(ln0kapaMkcp目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 抛物面 被平面 截成一椭圆,22zxy1xyz 求原点到这椭圆的最长与最短距离。分析：设 为椭圆上任一点, 则 到原点的距( , , )P xyzP222dxyz . 又 点既在抛物面上, 又在已知平面上,P故本题可转化为求目标函数 在约束条件222dxyz 22zxy及 下的最大值和最小值。可用

25、拉格朗日乘数法求解。 1xyz 解：设 椭圆上任一点，则它到原点的距离为 ( , , )P xyz222.dxyz下面求 在约束条件2222dxyz22zxy及1xyz 离为下的最值.目录 上页 下页 返回 结束 令 22222( , , )()(1)L xyzxyzzxyxyz 解方程组 222202202010 xyzLxxLyyLzzxyxyz 得两个驻点 11313(, , 23)22M 21313(, , 23)22M 由已知条件可知本题的最大值与最小值一定存在；而驻点只有两个,故最大值、最小值一定在这两个驻点处取得。 由于 21()95 3dM 22()95 3dM 故最长距离为

26、95 3 , 最短距离为 95 3 . 目录 上页 下页 返回 结束 例例8：求求xyzu 在条件在条件解：解：azyx1111 下的极值，下的极值，其中，其中，x 0 , y 0 , z 0 , a 0。（1）作拉格朗日函数）作拉格朗日函数)(),(azyxxyzzyxL1111 （2）联解方程组）联解方程组, 02 xyzLx 02 yzxLy , 02 zyxLz 01111 azyxL 由对称性知，由对称性知，x = y = z ，代入最后一个方程解得代入最后一个方程解得这是唯一可能的极值点这是唯一可能的极值点, azyx3 目录 上页 下页 返回 结束 例例8：求xyzu 在条件解：

27、azyx1111 下的极值，其中，x 0 , y 0 , z 0 , a 0。这是唯一可能的极值点,azyx3 （3）判断：设条件azyx1111 所确定的隐函数为),(yxz 代入目标函数中得),(yxyxu 它有唯一驻点 ( 3 a , 3 a ),经计算可得,|),(auAaaxx633 ,|),(auBaayx333 ,|),(auCaayy633 , 02722aBAC, 06aA且所以， ( 3a , 3a ) 是函数 u = x y ( x , y ) 的极小值点从而原条件极值问题有极小值点 ( 3a , 3a , 3a)对应的极小值为.327au 目录 上页 下页 返回 结束

28、例例9 9解解.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距离为的距离为到平面到平面则则上任一点上任一点为抛物面为抛物面设设.2222之之间间的的最最短短距距离离与与平平面面求求旋旋转转抛抛物物面面 zyxyxz),()22(61),(222yxzzyxzyxF 令令221(22)20,(1)31(22)20,(2)31(22)( 2)0,(3)3,(4)xyzFxyzxFxyzyFxyzzxy 目录 上页 下页 返回 结束 .81,41,41 zyx解此方程组得解此方程组得.647241414161min d),81,41,41(即得唯一驻点即得唯一驻点处取得最小值处取得最小值驻点，故必在驻点，故必在一定存在，且有唯一一定存在，且有唯一根据题意距离的最小值根据题意距离的最小值)81,41,41(目录 上页 下页 返回 结束 1314. 综合题（每小题10分，共20分）331xxyy(0,0)xy 1. 求曲线原点的最长距离与最短距离.解方程组22( , ),f x yxy22332(3)02(3)010 xyFxxyFyyxFxxyy 得驻点设曲线上的点到坐标原点的距离的平方为(1,1),故最长距离是2，解解: 上的点到坐标2233(1)Fxyx