第四章机械振动课件

1、第四章第四章 振动振动 简谐振动简谐振动 阻尼振动、受迫振动、共振阻尼振动、受迫振动、共振 简谐振动的合成简谐振动的合成 1、掌握简谐振动方程，以及方程中各物理量掌握简谐振动方程，以及方程中各物理量 （特别是相位）的物理意义，各量之间的相互（特别是相位）的物理意义，各量之间的相互 关系。关系。 2、掌握矢量图示法（旋转矢量法）。掌握矢量图示法（旋转矢量法）。3、掌握简谐振动的基本特征。掌握简谐振动的基本特征。 能根据给定的初能根据给定的初 始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理 解其物理意义。解其物理意义。 4、理解两个同方向、同频率简谐振动的合成规理解两

2、个同方向、同频率简谐振动的合成规 律，以及合振动振幅极大和极小的条件。律，以及合振动振幅极大和极小的条件。 5、了解阻尼振动、受迫振动、共振了解阻尼振动、受迫振动、共振 6、了解垂直方向简谐振动的合成。了解垂直方向简谐振动的合成。物体在一定位置附近作来回往复的运动，称物体在一定位置附近作来回往复的运动，称 为振动。为振动。振动的传播过程，称为波动。振动的传播过程，称为波动。推广推广 振动：振动：任意物理量在某一定值附近作反复任意物理量在某一定值附近作反复 变化（如电学量）。变化（如电学量）。振动的种类：振动的种类：机械振动（位移）机械振动（位移） 电磁振动（电磁振动（i，u) 第一节第一节 简

3、谐振动简谐振动复杂的振动可以近似地看作是许多简谐振复杂的振动可以近似地看作是许多简谐振 动的合振动动的合振动一、简谐振动方程一、简谐振动方程弹簧振子模型弹簧振子模型kSF弹簧振子所受的力称为弹簧振子所受的力称为弹性力弹性力(又称恢复力又称恢复力),满足胡克定律满足胡克定律:弹簧振子的质量弹簧振子的质量m很小，运动过程中不考虑摩擦，很小，运动过程中不考虑摩擦，是理想模型。是理想模型。kxtxmmaF22dd2.2.微分方程微分方程 022xmktxddm/k2令1.1.胡克定律胡克定律 kxF0 xtx222dd3.3.简谐振动方程简谐振动方程 1cos()xAt2sin()xAt待定常数待定常

4、数决定于系统本身的常量决定于系统本身的常量Ox 简谐振动动力学方程简谐振动动力学方程简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程212tx1.1.用时间的用时间的余弦（或正弦）余弦（或正弦）函数来描述的运动，函数来描述的运动， 称为称为简谐振动简谐振动。 2. 质点在质点在线性回复力线性回复力的作用下围绕平衡位置的运动的作用下围绕平衡位置的运动3. 物体振动时如果加速度对于平衡位置的位移成正物体振动时如果加速度对于平衡位置的位移成正 比，而方向相反。比，而方向相反。线性回复力：线性回复力：若作用于质点的力总与质点相对于若作用于质点的力总与质点相对于平衡位置的位移成正比，且指向平衡位置，则此作平衡位

5、置的位移成正比，且指向平衡位置，则此作用力称为线性回复力。用力称为线性回复力。xmktx22ddkxF1cos()xAt 二、描述简谐振动的特征量二、描述简谐振动的特征量 1. 振幅振幅A(m)：离开平衡位置的最大距离：离开平衡位置的最大距离 2. 周期和频率周期和频率周期周期T （s） 振动物体完成一次全振动所需的时间振动物体完成一次全振动所需的时间 频率频率n (n (Hz ) 振动物体在振动物体在1 秒内所完成全振动的次数秒内所完成全振动的次数圆频率圆频率（角频率）（角频率）T-1 振动在振动在2秒内完成全秒内完成全 振动的次数振动的次数n21TmkT2 三者关系三者关系k km m2

6、22 2T T 无阻尼自由振动完全决定于无阻尼自由振动完全决定于振动系统本身振动系统本身的性质的性质固有（本征）角频率固有（本征）角频率3.相位和初相位相位和初相位(rad)相位：相位：t时刻运动质点的状态时刻运动质点的状态初相位：计时起点质点的运动状态初相位：计时起点质点的运动状态tcos()xAt相位：相位：)02)0txtxA当（时，当（时，)cos()2cos()sin(1tAtAtAtxdd)cos()cos()cos(222222tAtAtAtxadd三、简谐振动的速度和加速度三、简谐振动的速度和加速度)cos(tAx 1 1）速度和加速度也随时间作周期性变化；）速度和加速度也随时

7、间作周期性变化； 2 2）加速度和位移成正比而反向。）加速度和位移成正比而反向。 思考：简谐振动是一种什么样的运动？思考：简谐振动是一种什么样的运动？20)2, 1,0()12()2, 1,0(21212121212nnnn振动振动2超前超前1振动振动1超前超前2初相位用于两同频率振动相位比较初相位用于两同频率振动相位比较设有下列两个简谐振动设有下列两个简谐振动)cos(111tAx)cos(222tAx任意时刻的相位差都等于初相位差与任意时刻的相位差都等于初相位差与时间无关。时间无关。同步同步反相反相tx()2vA COSt2()aACOStxACOStva 四：初始条件四：初始条件(ini

8、tial condition) (initial condition) cos0Ax A0sin22020 xA00arctanxAAx0cossin0A1)()(2020AAx0000)/()(tanxAxA)cos(tAxA 和和 决定于决定于t = 0 时的位移和速度。时的位移和速度。 令令t = 0 例例 1：有一劲度系数为有一劲度系数为32.0 N m-1 的轻弹簧的轻弹簧, 放置放置在光滑的水平面上，其一端被固定在光滑的水平面上，其一端被固定, 另一端系一质量另一端系一质量为为500 g的物体。将物体沿弹簧长度方向拉伸至距平的物体。将物体沿弹簧长度方向拉伸至距平衡位置衡位置10.0

9、 cm 处，然后将物体由静止释放处，然后将物体由静止释放, 物体将物体将在水平面上沿一条直线作简谐振动。分别写出振动在水平面上沿一条直线作简谐振动。分别写出振动的位移、速度和加速度与时间的关系。的位移、速度和加速度与时间的关系。 解：解：设物体沿设物体沿x 轴作简谐振动轴作简谐振动 A = 10.0 cm = 0.100 m 1 -1srad008srad5000032.mk当当t = 0 时时 ，x = A ，cos =1 ， 即即 = 0 所以所以 x = 0.100 cos 8.00 t m 速度、加速度的最大值为速度、加速度的最大值为 vm = A = 8.000.100 m s 1

10、= 0.800 m s 1 am= 2 A = (8.00)2 0.100 m s 2 = 6.40 m s 2 v = 0.800 sin 8.00 t m s 1 a = 6.40 cos 8.00 t m s 2 所以所以 例例 2：已知某简谐振动的振动曲线如图所示，试已知某简谐振动的振动曲线如图所示，试写出该振动的位移与时间的关系。写出该振动的位移与时间的关系。 解：解：由图知由图知 A = 4.0102 m 当当 t =0 时，时， 0,2=00vAx由式由式 x0 = A cos v0 = A sin 解得解得 3)3(cos100 . 42tx所以所以 m 又由曲线知又由曲线知

11、当当 t =1s 时时, ,x =0, ,代入上式得代入上式得 04 01032.cos()m 2.0-2.0 x/cmt/s-4.0 4.01OP即即()2356rad srad s-1-1简谐振动的表达式为简谐振动的表达式为254.0 10cos()63xt23, 0问题问题: : 匀速率旋转的矢量匀速率旋转的矢量A的末端的末端在在x x轴上的投影长轴上的投影长 为多少为多少? ?是什么运动是什么运动? ?五、简谐振动的矢量图示法五、简谐振动的矢量图示法t = tt = 0 t + xAO投影长为投影长为: :所以所以: :匀速旋转矢量的末端的投影点的匀速旋转矢量的末端的投影点的 运动就是

12、简谐振动。运动就是简谐振动。cos()xAt矢量的大小表示简谐振矢量的大小表示简谐振动动 的振幅；的振幅；矢量旋转的角速度矢量旋转的角速度表示表示 简谐振动的角频率；简谐振动的角频率；矢量与矢量与x轴的夹角表示为轴的夹角表示为 简谐振动的相位；简谐振动的相位；矢量图表示法矢量图表示法（几何表（几何表示法）：用旋转矢量在坐示法）：用旋转矢量在坐标轴上的投影来描述简谐标轴上的投影来描述简谐振动的方法。振动的方法。t = tt = 0 t + xAO)cos(tAx2TA 振幅矢量振幅矢量初相为零的振动：初相为零的振动：初相为初相为的振动：的振动：六、简谐振动的能量六、简谐振动的能量)(sin212

13、12222tAmmEk)(cos2121222tkAkxEp2222121kAAmEEEpk动能动能势能势能总机械能总机械能1）动、势能均随时间变化；）动、势能均随时间变化；2）动、势能相互转换；）动、势能相互转换；3）总机械能守恒）总机械能守恒AkEpE221kAE Ao势能曲线势能曲线动能曲线动能曲线结论：（结论：（1）简谐振动是周期性振动）简谐振动是周期性振动 （2）简谐振动由）简谐振动由A、 决定，振动频率由决定，振动频率由 系统本身决定，系统本身决定， A、决定于初始条件。决定于初始条件。思考题：思考题：简谐运动的速度和加速度的表达式中都有个简谐运动的速度和加速度的表达式中都有个负号

14、，这是否意味着速度和加速度负号，这是否意味着速度和加速度总是负值？总是负值？是否意是否意味着二者总是同方向？味着二者总是同方向？)sin(tAtxddxtAtxa2222)cos(dd)cos(tAx比较时应化为同一余弦函数形式比较时应化为同一余弦函数形式)cos(tAx2)cos()sin(tAtAtxdd)cos()cos(2222tAtAtxadd12345t101001：已知如图，两个同方向、同频率的简谐振动：已知如图，两个同方向、同频率的简谐振动 x-t 曲曲 线。线。 写出简谐振动方程；比较二者相位关系写出简谐振动方程；比较二者相位关系xS12345T(s)10100)2t2cos

15、(10 x)23t2cos(10 xt2cos10 x2T2s4T10A221或超前？第二节第二节 阻尼振动、受迫振动和共振阻尼振动、受迫振动和共振一、阻尼振动一、阻尼振动 (damped vibration)振幅随时间减小的振动称为振幅随时间减小的振动称为阻尼振动阻尼振动。以物体受流体阻力作用下的振动为例以物体受流体阻力作用下的振动为例阻力为阻力为物体的振动方程物体的振动方程txvfdd0dddd22xktxtxm令令 则有则有,mmk220dddd220220 xtxtx式中式中0称为振动系统的称为振动系统的固有角频率固有角频率，称为称为阻阻尼常量尼常量。讨论：讨论：1. 当当 2 02

16、时，阻尼较小时，阻尼较小 ，上式，上式的解为的解为 )(costAxte0其中其中 220振动曲线如图，是一种准周期性运动。振动曲线如图，是一种准周期性运动。 周期为周期为22022T2. 当当 2 02 时时， 阻尼较大，即过阻阻尼较大，即过阻尼，不再是周期性的了尼，不再是周期性的了, 如图。如图。3. 当当 2 02时，临界阻尼状态，如图。时，临界阻尼状态，如图。t欠阻尼欠阻尼)(txt过阻尼过阻尼)(txt临界阻尼临界阻尼)(tx二、受迫振动二、受迫振动 (forced vibration)在周期性外力作用下发生的振动，称为在周期性外力作用下发生的振动，称为受迫振动受迫振动。引起受迫振动

17、的周期性外力称为引起受迫振动的周期性外力称为驱动力驱动力。设驱动力为设驱动力为 F cos t，则振动方程，则振动方程 22ddcosddxxmk xFttt 此式表示此式表示, 受迫振动是由阻尼振动受迫振动是由阻尼振动 和简谐振动和简谐振动 两项叠加而成的。两项叠加而成的。 )(costAte0)cos(tA或或2202dd2cosddxxxhtttFhm(1)其解其解)(cos)(costAtAxte0(2)可见，可见，稳定状态的受迫振动是一个与简谐驱动力稳定状态的受迫振动是一个与简谐驱动力同频率的简谐振动同频率的简谐振动。 将将(3)式代入式代入(1)得得thtAtAcos)sin()c

18、os()(2220由此得由此得将将cos ( t ) 和和 sin ( t ) 展开，则展开，则 thtAAtAAcossincos2sin)(+cossin2cos)(220220hAAsin2cos)(220(4)受迫振动达到受迫振动达到稳定状态稳定状态时时)cos(tAx(3)0cos2sin)(220AA(5)由由(6)式求得式求得2222204)(2sin2222202204)(cos由式由式(6)和式和式(7)看出，受迫振动的初相位看出，受迫振动的初相位 和振和振幅幅A不仅与振动系统自身的性质有关，而且与驱不仅与振动系统自身的性质有关，而且与驱动力的频率和幅度有关。动力的频率和幅度

19、有关。 将上两式代入将上两式代入(4)式得式得2222204)(hA(7)由由(5)式求得式求得2202tanarc(6)三、共振三、共振 (resonance) 当驱动力的角频率接近系统的固有角频率时，当驱动力的角频率接近系统的固有角频率时，受迫振动振幅急剧增大的现象受迫振动振幅急剧增大的现象 ，称为，称为共振共振。振幅振幅达到最大值时的角频率达到最大值时的角频率称为称为共振角频率共振角频率。 222220()4hA (2222242242200022222422000222204242220 对对(7)式求极大值得共振角频率为式求极大值得共振角频率为可见，可见，系统的共振角频率既与系统的共

20、振角频率既与系统自身的性质有关，也与阻系统自身的性质有关，也与阻尼常量有关尼常量有关。 将将(8)式代入式代入(7)式得共振时振幅峰值为式得共振时振幅峰值为220r2hA220r2(8)越小，则越小，则A0越大，越大，022r002r220022hhA 第三节第三节 简谐振动的合成简谐振动的合成一、两个同方向、同频率简谐振动的合成一、两个同方向、同频率简谐振动的合成设两个在同一直线上进行的同频率的简谐振动的表达设两个在同一直线上进行的同频率的简谐振动的表达式分别为式分别为)cos(111tAx)cos(222tAx合振动合振动)cos()cos(221121tAtAxxx简谐振动的矢量图示法简

21、谐振动的矢量图示法 )cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinarctanAAAABC)cos(tAxk21221AAA) 12(12k21AAAAAA21)(21AA 为任意值时为任意值时1）2）3）如何求合运动？如何求合运动？方法：方法：二、同方向、不同频率的简谐振动的合成二、同方向、不同频率的简谐振动的合成影响因素：影响因素：分振动的分振动的频率、振幅、初相位频率、振幅、初相位 1）.合振动不是简谐振合振动不是简谐振动，但是周期振动，主周动，但是周期振动，主周期期 2）. 合振动周期是分振动合振动周期是分振动周期的最小公倍数。周期的最小公倍数。整数21

22、1.2.2.考虑两个频率不同，但是很接近，振幅和初相位相同的两考虑两个频率不同，但是很接近，振幅和初相位相同的两个振动的合成个振动的合成 )cos()cos(2211tAxtAx利用三角学中的和差化积公式利用三角学中的和差化积公式 ttAttAxxx2cos2cos2)cos()cos(12122121振幅振幅角频率角频率余弦函数绝对值的周期等于余弦函数绝对值的周期等于 ，振幅变化的周期为，振幅变化的周期为 TttAx2cos2cos21212121221nnnT121222TT即(t22Acos2tcos12Atcos12AAAAAt )cos(21212122112212221合合AAAA

23、A振幅为正值，取绝对值振幅为正值，取绝对值CARRIERENVELOPE21212拍拍(beat) 拍频拍频（beat frequencybeat frequency） 单位时间内振动加强或减弱的单位时间内振动加强或减弱的次数次数两个分振动的频率存在微小差异而产生的合振动的振幅随时间作周期性缓慢变化的现象称为拍拍三、振动谱三、振动谱任一复杂的周期性振动都可以分解为一系列简谐振动。任一复杂的周期性振动都可以分解为一系列简谐振动。傅里叶分析傅里叶分析(Fourier analysis)：根据振动曲线或位移时间函数关系，据振动曲线或位移时间函数关系，求出振动所包含的各种简谐振动的频率和振幅的数学方法

24、。求出振动所包含的各种简谐振动的频率和振幅的数学方法。与原振动频率相同的分振动称为与原振动频率相同的分振动称为基频振动基频振动，其他称，其他称为为二次、三次谐频振动二次、三次谐频振动(或称倍频、泛频或称倍频、泛频) 。 tBtBtAtAAtF2sinsin2coscos)(21210傅里叶级数理论：任意周期性函数傅里叶级数理论：任意周期性函数都可以展开为正弦或余弦函数的级数。都可以展开为正弦或余弦函数的级数。谐振分析谐振分析（harmonic vibration analysisharmonic vibration analysis）把一个复杂的周期性振动分解为一系列简谐振动的方法把一个复杂的

25、周期性振动分解为一系列简谐振动的方法频谱图：以角频率频谱图：以角频率为横坐标，为横坐标，相应的振幅为纵坐标做出的图。相应的振幅为纵坐标做出的图。四、两个同频率、互相垂直的简谐振动的合成四、两个同频率、互相垂直的简谐振动的合成设两个频率相同的简谐振动在相互垂直的设两个频率相同的简谐振动在相互垂直的 X X、Y Y 轴轴上进行上进行 )cos(11tAx)cos(22tAy消去消去t t 得合成振动的轨迹方程得合成振动的轨迹方程 以以cos 乘以乘以(3)式，式，cos 乘以乘以(4)式，后相减得式，后相减得 )sin(sincoscostByAx（5）)(sin)cos(222222ABxyBy

26、Ax以以sin 乘以乘以(3)式，式，sin 乘以乘以(4)式后相减得式后相减得 (5)式、式、(6)式分别平方后相加得合振动的轨迹方程式分别平方后相加得合振动的轨迹方程 )sin(cossinsintByAx（6）改写为改写为sinsincoscosttAxsinsincoscosttBy（3）（4）几种特殊情形几种特殊情形 （1） 0120)AyAx(221（2）120)AyAx(221)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAxxAAy12xAAy120AAxy2AyAx212222120AAxy2AyAx212222122212cos()rAAt（3）2/12122

27、2212AyAxtAxcos1)2cos(2tAy综上所述：综上所述： 两个频率相同的互相垂直的简谐振动两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，合成后，合振动在一直线上或者在椭圆上进行合振动在一直线上或者在椭圆上进行, （直线是退化了的椭圆）当两个分振动的振幅相等（直线是退化了的椭圆）当两个分振动的振幅相等时，时，椭圆轨道就成为圆椭圆轨道就成为圆。4、 垂直方向、不同频率简谐振动的合成垂直方向、不同频率简谐振动的合成一般是复杂的运动一般是复杂的运动,轨道不是封闭曲轨道不是封闭曲线，即合成运动不是周期性的运动。线，即合成运动不是周期性的运动。下面就两种情况讨论下面就两种情况讨论1)、 当当 时，

28、可视为同频率的合成，时，可视为同频率的合成，不过两个振动的相位差在缓慢地变化，所以不过两个振动的相位差在缓慢地变化，所以质点运动的轨道将不断地从下图所示图形依质点运动的轨道将不断地从下图所示图形依次的循环变化。次的循环变化。210120212当当 时是顺时针转；时是顺时针转； 时是逆时针转。时是逆时针转。01241243124745212232 2、如果两个互相垂直的振动频率成整数比，、如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。用李萨如图形用李萨如图形在无线电技术中在无线电技术中可以测量频率：可以测量频率：在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所两个振动，已知其中一个频率