整数的乘除法课件

1、1 23v 4 定义定义 b（大于（大于1的整数）个相同加数的整数）个相同加数a的和的和c叫做叫做a与与b的积，就是：的积，就是： 求两个数的积的运算叫做求两个数的积的运算叫做乘法乘法。记作：。记作： 或或 读作读作“a乘以乘以b等于等于c”或或“b乘乘a等于等于c”。数数a叫做叫做被乘数被乘数，数，数b叫做叫做乘数乘数，被乘数和乘数也，被乘数和乘数也叫做积的叫做积的因数因数，有时也简称因数。符号，有时也简称因数。符号“”或或“ ”叫做叫做乘号乘号。也可简记为。也可简记为 。1 1、乘法的定义、乘法的定义 个baaaccbacbaab5最小乘数为最小乘数为2。00a当乘数是当乘数是0时，时，a

2、a1当乘数是当乘数是1时，时，6 1 1、在乘法定义中，对、在乘法定义中，对“b b个相同加数个相同加数”中的中的b b为什么要限定是（大于为什么要限定是（大于1 1的整数）？在的整数）？在5 50=00=0和和0 05=05=0中，哪个计算是根据乘法的中，哪个计算是根据乘法的补充定义？补充定义？ 2 2、把十进制计数单位写成、把十进制计数单位写成1010的幂的形式，的幂的形式，并用并用1010的幂的形式分别把的幂的形式分别把1573615736和和304075304075表示表示出来。出来。 7 封闭性：封闭性：整数集对于乘法运算是封闭的；整数集对于乘法运算是封闭的；唯一性：唯一性：积是唯一

3、的。积是唯一的。8（2）几个数的积）几个数的积 先求出第一个数与第二个数的先求出第一个数与第二个数的积，再求所得的积与第三个数的积。积，再求所得的积与第三个数的积。 在加减乘混合运算中，规定先在加减乘混合运算中，规定先算乘，再算加减。算乘，再算加减。9例例1 1： cababc)(dcababcd)(dcbadcba)(102 2、乘法的运算性质、乘法的运算性质 （1 1）乘法交换律）乘法交换律 两个数相乘，交换因数的两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变，就是：位置，它们的积不变，就是： baab 11（2 2）乘法结合律）乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数三个数相乘，先把前两个数相乘，

4、再乘上第三个数，或者先相乘，再乘上第三个数，或者先把后两个数相乘，再乘上第一个把后两个数相乘，再乘上第一个数，它们的积不变。就是：数，它们的积不变。就是： )()(bcacab12（3 3）乘法对于加法的分配律）乘法对于加法的分配律（简称乘法分配律）（简称乘法分配律） 两个数的和与一个数相乘的积，两个数的和与一个数相乘的积，等于每一个加数分别与这个数相乘，等于每一个加数分别与这个数相乘，再把所得的积加起来。就是：再把所得的积加起来。就是：bcaccba )(cbcabac)( 或或 13 推广到若干个数的和与一个数相乘的积推广到若干个数的和与一个数相乘的积bababaann11nnbabaaa

5、b11或或 14（4）乘法交换律和结合律）乘法交换律和结合律 推广到若干数相乘：推广到若干数相乘： 若干个数相乘，任意交换因数若干个数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中的任意几个的位置，或者先把其中的任意几个因数作为一组先乘起来，再与其他因数作为一组先乘起来，再与其他因数相乘，它们的积不变。因数相乘，它们的积不变。15 （5 5）若干个数的和与若干个数的和相）若干个数的和与若干个数的和相乘，可以把第一个和中的各个加数与第乘，可以把第一个和中的各个加数与第二个和中的每一个加数相乘，再把所得二个和中的每一个加数相乘，再把所得的和加起来。就是：的和加起来。就是： mnmmnnmnbabababa

6、babababbbaaa21221111212116 bcaccba )( cbcabac)(17 计算计算32321212时，有以下三种算法，时，有以下三种算法，请在括号内注明理论根据。请在括号内注明理论根据。 324+328；（；（ ） （326）2；（；（ ） 3210+322；( ） 你认为哪一种算法最简便？你认为哪一种算法最简便？乘法分配律乘法分配律乘法分配律乘法分配律乘法结合律乘法结合律18 3、乘法的运算法则、乘法的运算法则（1）表内乘法）表内乘法 两个一位数相乘，可以根据乘法的定两个一位数相乘，可以根据乘法的定义用同数连加的方法求出它们的积。通常义用同数连加的方法求出它们的积。

7、通常是把两个一位数相乘和它们的结果编成乘是把两个一位数相乘和它们的结果编成乘法口诀，或一个乘法表，计算时直接使用法口诀，或一个乘法表，计算时直接使用这些结果求出积。这些结果求出积。 乘法口诀表又叫九九表分为乘法口诀表又叫九九表分为 “大九九大九九表表”与与“小九九表小九九表”。 19（2）多位数乘法）多位数乘法 多位数乘以一位数多位数乘以一位数 多位数乘以一位数可以把多位数写成多位数乘以一位数可以把多位数写成不同计数单位的数之和的形式，然后根据不同计数单位的数之和的形式，然后根据乘法分配律的推广，归结为表内乘法来计乘法分配律的推广，归结为表内乘法来计算。算。20例如：例如： 3642 （3百百

8、+6十十+4）2 6百百+12十十+8 6百百+（1百百+2十）十）+8 （6百百+1百）百）+2十十+8 728用竖式表示为用竖式表示为:3 6 4 2 7 2 821多位数乘一位数的计算法则多位数乘一位数的计算法则: 先用乘数去乘被乘数每一位上先用乘数去乘被乘数每一位上的数，哪一位上乘得的数满几十，的数，哪一位上乘得的数满几十，就向它的前一位进几，最后把每次就向它的前一位进几，最后把每次乘得的结果相加。乘得的结果相加。22多位数乘以一个数字后面带有多位数乘以一个数字后面带有若干个零的数若干个零的数 这可以先把乘数改写成一位数与这可以先把乘数改写成一位数与10，100，的积，然后根据乘法结的

9、积，然后根据乘法结合律，以及多位数乘以一位数的法则合律，以及多位数乘以一位数的法则计算，最后根据乘法交换律乘以计算，最后根据乘法交换律乘以10，100，。23例如：例如：234300 = 234（3100） = 2343100（乘法结合律）（乘法结合律） = 702100 （乘法法则（乘法法则2） = 1百百702 （乘法交换律）（乘法交换律） = 702百百 = 7020000207003432用竖式表示为：用竖式表示为：24多位数乘以一个数字后面带有若干个多位数乘以一个数字后面带有若干个零的数的乘法的计算法则零的数的乘法的计算法则： 先用乘数中先用乘数中0前面的一位数去乘前面的一位数去乘被

10、乘数，再在所得的积后面添上乘数被乘数，再在所得的积后面添上乘数末尾所有的末尾所有的0。25多位数乘以多位数多位数乘以多位数 两个多位数相乘，可以先把乘数两个多位数相乘，可以先把乘数改写成不同计数单位的数之和的形式，改写成不同计数单位的数之和的形式，然后根据乘法分配律的推广与上述乘然后根据乘法分配律的推广与上述乘法法则（法法则（2）的）的、来计算。来计算。 26例如：例如： 532461 = 532(400+60+1) = 532400+53260+5321 (乘法分配律的推广乘法分配律的推广) = 212800+31920+532 (乘法法则乘法法则(2)的的) = 24525227多位数乘以

11、多位数的计算法则多位数乘以多位数的计算法则: 先用乘数各先用乘数各个数位上的数个数位上的数去乘被乘数的去乘被乘数的每一位每一位,再把所再把所得的结果相加得的结果相加.通常写成竖式进行计算通常写成竖式进行计算: 5 3 2 4 6 1 5 3 2 3 1 9 2 2 1 2 8 2 4 5 2 5 228 计算计算21323先从乘数的先从乘数的最高位乘起行不行？最高位乘起行不行？291 1、除法的定义、除法的定义 （1）定义）定义 已知两个数已知两个数a、b，求一，求一个整数个整数q，使，使q与与b的积等于的积等于a，这种运，这种运算叫做除法。记作：算叫做除法。记作： qba读作读作“a除以除以

12、b（或（或b除除a）等于）等于q”。a叫叫做被除数，做被除数，b叫做除数，叫做除数，q叫做叫做a与与b的的商，符号商，符号“”叫做除号。叫做除号。30由定义可以知道：由定义可以知道：如果如果 ，那么，那么 。 除法是乘法的逆运算，就是除法是乘法的逆运算，就是已知积与一个因数求另一个因数。已知积与一个因数求另一个因数。abq qba31特殊情况：特殊情况：ab aa11aa时，时， ， 1baa1aa1时，时， ， 0, 0ba00b00b时，时， ， 32这是因为，如果这是因为，如果 ，那么，那么当当 时，由于任何数乘以时，由于任何数乘以0都不可能等于都不可能等于自然数，所以自然数，所以 的商

13、是不存在的；的商是不存在的； 思考思考当当 时，因为任何数乘以时，因为任何数乘以0都等于都等于0， 所以所以 的商是不确定的。的商是不确定的。0aba0a0aqba除数能等于除数能等于0 0吗？为什么？吗？为什么？为保证商唯一，规定除法中除数不能为零。为保证商唯一，规定除法中除数不能为零。 因此非负整数集对除法是不封闭的。因此非负整数集对除法是不封闭的。331 1、甲说：、甲说：“因为因为0 00=00=0，所以，所以0 00=00=0。” 乙说：乙说：“因为因为0 01=01=0，所以，所以0 00=10=1。” 他们说的对吗？为什么？他们说的对吗？为什么？2 2、写出表示、写出表示 282

14、825=70025=700的逆运算的等式。的逆运算的等式。 ； （4）3 3、判断下列各式是不是正确：、判断下列各式是不是正确： )0(; 00aa99111 (199 个）nbbbbbn 个）() 0(; 1aaa34（2）除法定义的推论）除法定义的推论推论推论1 某数除以一个自然数，再乘以某数除以一个自然数，再乘以同一个自然数，仍得原数。就是：同一个自然数，仍得原数。就是：abba )(推论推论2 某数乘以一个自然数，再除以某数乘以一个自然数，再除以 同一个自然数，仍得原数。就是：同一个自然数，仍得原数。就是：abba )(35 在连除、乘除混合运算中，规在连除、乘除混合运算中，规定定从左

15、到右依次运算从左到右依次运算。 做四则混合运算，规定做四则混合运算，规定先进行先进行第二级运算，后进行第一级运算。第二级运算，后进行第一级运算。362、有余数的除法、有余数的除法定义定义 整数整数a除以自然数除以自然数b，如果能够得，如果能够得到整数商到整数商q（或者说，如果存在整数（或者说，如果存在整数q，能使能使 ），这里就叫做），这里就叫做b能整除能整除a（或者（或者a能被能被b整除），记作整除），记作（1）有余数除法的定义）有余数除法的定义abq ab |ba 或者或者 742 例如：例如：7能整除能整除42，记作，记作7|42或或37 定义定义 已知两个数已知两个数a、b（b是自然是

16、自然数），要求两个整数数），要求两个整数q、r，使，使q、r满满足以下条件：足以下条件：rbqa并且并且 br 这样的运算叫做这样的运算叫做。一般记作：。一般记作： )(rqba余rqba或或 读作读作“a除以除以b等于等于q余余r”，a还叫做还叫做被除被除数数，b还叫做还叫做除数除数，q叫做叫做不完全商不完全商（有（有时为了简便也简称商），时为了简便也简称商），r叫做叫做余数余数。38 在在 中，如果中，如果 ，那么，那么 ，也就是也就是 ，这样整除可以看作是，这样整除可以看作是有余数除有余数除法的特殊情况。法的特殊情况。 rbqa0rbqa ab | 在有余数的除法里，不完全商和余数都在有

17、余数的除法里，不完全商和余数都是唯一的。是唯一的。 有余数除法有余数除法ba 的不完全商的不完全商q q和余数和余数 r总是存在总是存在的。的。39 3、除法和减法的关系、除法和减法的关系 乘法是同数连加来定义的，那乘法是同数连加来定义的，那 么，除法也可以用同数连减来说明。么，除法也可以用同数连减来说明。设设rbqa，也就是也就是)0(brrbqa 于是，于是， rbqarbbbabqaq个）(rbbbaq个） (404 4、除法的运算性质、除法的运算性质 （1）一个数除以两个自然数的积，）一个数除以两个自然数的积，等于这个数依次除以积的两个因数。等于这个数依次除以积的两个因数。就是：就是：

18、)()(abccbacba41 （2）一个数除以两个自然数的商，）一个数除以两个自然数的商，等于这个数先乘以商中的除数，再除以等于这个数先乘以商中的除数，再除以商中的被除数或者这个数先除以商中的商中的被除数或者这个数先除以商中的被除数，再乘以商中的除数。就是被除数，再乘以商中的除数。就是:bcacba)()(或者或者 )()()(abcbacba42 （3）两个数的积除以一个自然数，）两个数的积除以一个自然数，等于用除数先去除积的任意一个因数，等于用除数先去除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘。就是：再与另一个因数相乘。就是：)|()()(acbcacba或或 )|()()(bccbacba

19、43 （4）两个数的商除以一个自然数，）两个数的商除以一个自然数，等于商中的被除数先除以这个数，再等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数。就是：除以原来商中的除数。就是：)|()()(abcbcacba44 （5）若干个数的和除以一个自然）若干个数的和除以一个自然数，等于用除数去除和里的各个加数数，等于用除数去除和里的各个加数（在能整除的条件下），然后把所得（在能整除的条件下），然后把所得的商加起来。就是：的商加起来。就是：如果如果nababab|,|,|21，那么，那么 babababaaaann2132145 3 3、除法的运算法则、除法的运算法则 （1）表内除法：被除数、除数

20、都是）表内除法：被除数、除数都是一位数，或者被除数是两位数，除数是一位数，或者被除数是两位数，除数是一位数的除法，可以利用乘法口诀表来一位数的除法，可以利用乘法口诀表来直接求出商。直接求出商。 例如：例如：62，根据，根据23=6，得出，得出623； 328，根据，根据48=32，得出，得出328=4。 46 （2）多位数除法：）多位数除法： 除数为一位数的除法除数为一位数的除法 多位多位数除以一位数，可以把多位数写成数除以一位数，可以把多位数写成不同计数单位的数之和的形式，再不同计数单位的数之和的形式，再根据除法运算性质（根据除法运算性质（5），把它变），把它变成表内除法求出商。成表内除法求

21、出商。 47 7324 （7百百+3十十+2）4 （4百百+33十十+2）4 （4百百+32十十+12）4 4百百4 +32十十4 +124 1百百+8十十+3 183 例如：例如：48用用竖竖式式表表示示为为: :1830121232334732449多位数除以多位数多位数除以多位数 多位数除以多位数也是根据除法多位数除以多位数也是根据除法的运算性质（的运算性质（5）来进行计算的。）来进行计算的。 50例如：例如： 652832 （65百百+2十十+8）32 （64百百+128）32 64百百32 +12832 2百百+4 204 51 用用竖竖式式表表示示为为:20401281286465

22、283252 从被除数的高位起，除数有几位，从被除数的高位起，除数有几位，就先看被除数的前几位；如果前几位就先看被除数的前几位；如果前几位数比除数大，就先看被除数的前几位，数比除数大，就先看被除数的前几位，如果前几位数比除数小，就再往后边如果前几位数比除数小，就再往后边多看一位；除到被除数的哪一位，就多看一位；除到被除数的哪一位，就把商写到哪一位的上面；那一位不够把商写到哪一位的上面；那一位不够商商1，就在哪一位上商，就在哪一位上商0；每次除得的；每次除得的余数必须比除数小。余数必须比除数小。多位数除法的计算法则：多位数除法的计算法则：53说明做下列除法时应该怎样试商：说明做下列除法时应该怎样

23、试商：（1）64824 ；（2）109226 54三、乘除法中各部分之间的关系三、乘除法中各部分之间的关系 1、在乘法中，一个因数等于积除以另一个、在乘法中，一个因数等于积除以另一个、因数。因数。 2、在除法中，被除数等于除数乘以商；除、在除法中，被除数等于除数乘以商；除数等于被除数除以商。数等于被除数除以商。 3、在有余数的除法中，被除数等于除数乘、在有余数的除法中，被除数等于除数乘以不完全商加余数；除数等于被除数减去余以不完全商加余数；除数等于被除数减去余数再除以不完全商。数再除以不完全商。55 按下面的图示，说一说加、减、乘、除按下面的图示，说一说加、减、乘、除四种运算间的关系。四种运算

24、间的关系。 加法加法 乘法乘法 减法减法 除法除法 56四、已知数的变化所引起的积四、已知数的变化所引起的积与商的变化与商的变化 （1）如果一个因数扩大（或缩小）一）如果一个因数扩大（或缩小）一个数，另一个因数不变，那么它们的积也个数，另一个因数不变，那么它们的积也扩大（或缩小）相同的倍数。就是：扩大（或缩小）相同的倍数。就是：1、积的变化、积的变化 如果如果 ，那么，那么 cbancbna )(或者或者 )|()(anncbna57例如：例如： 425100， 47542531003300361003600，362536（1004） 36004900又如：又如：58 （2）如果一个因数扩大若

25、干倍，另）如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同数倍，那么它们的积一个因数缩小同数倍，那么它们的积不变。就是：不变。就是： 如果如果 ，那么，那么 cba)()()(bncnbna592 2、商的变化、商的变化 （1）如果被除数扩大（或缩小）如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或缩小）同数倍。就是：也扩大（或缩小）同数倍。就是：如果如果 ，那么，那么qbanqbna )(或者或者 abnnqbna|)(60 （2）如果除数扩大（或缩小）若干）如果除数扩大（或缩小）若干倍，被除数不变，那么商反而缩小（或倍，被除数不变，那么商反而缩小（或扩

26、大）同数倍。就是：扩大）同数倍。就是： 如果如果 ，那么，那么 qbabnnqnba|)()|()(anbnqnba或者或者 61 （3 3）如果被除数和除数都扩大（或）如果被除数和除数都扩大（或缩小）同数倍，那么它们的商不变。缩小）同数倍，那么它们的商不变。就是：就是： 如果如果 ，那么，那么qbaqnbna)()(bnanqnbna|,|)()(或者或者 62 （4）在有余数的除法中，如果被除数）在有余数的除法中，如果被除数和除数都扩大（或缩小）同数倍，虽然和除数都扩大（或缩小）同数倍，虽然不完全商不变，但余数却随着扩大（或不完全商不变，但余数却随着扩大（或缩小）同数倍。就是：缩小）同数倍。就是： 如果如果)(rqba余，那么，那么 )()()(nrqnbna余或者或者 )|,|()()(bnannrqnbna余63 填空：填空： 如果如果1343（余（余1），那么），那么 13040的商是的商是 ，余数是，余数是 ； 如果如果 ，那么，那么 的商是的商是 ，余数是，余数是 。)(dcba余bmam642、选择题：、选择题：如果一个因数扩大如果一个因数扩大10倍，另一个因数也扩大倍，另一个因数也扩大10倍，它们的积倍，它们的积是（是（ ） A、扩大、扩大20倍；倍； B、扩大、扩大10倍；倍； C、扩大、扩大100倍；倍；D、不变、不变被