流体力学第五章5--1讲

1、 流体力学教案流体力学教案(第五章第五章涡旋动力学基础涡旋动力学基础 ) 第五章 涡旋动力学基础 在自然界中流体的运动，大多数都是有旋的流动。例如，在大气中的龙卷风、台风以及涡轮机内的流体运动等其它方面。但是，涡旋的形成与变化对流体运动有着重要的影响。涡旋的产生对实际工程问题有利有弊。如飞机、汽车等交通工具在行驶中，尾部产生的旋涡消耗着动能，从而形成了阻力。飞机在降落的过程中，又需要在飞机尾部形成涡旋，加大阻力使飞机减速，达到安全降落入的目的等等。 第一章己引入了涡度和速度环流的概念。实际上，流体涡度场是速度场的一个派生物理量场，它用于表示流动中的旋转特征。由流体涡度矢的定义式，有：V(5-1

2、) 其中 表示涡度矢。在矢量分析中，任一标量函数 的梯度再取旋度恒为零，即0(5-2) 一般来讲，流体运动的速度场都包含两部分的流动状态：有涡旋运动特征的变化速度场 rV和无旋流动的变化速度场 V，即： VVVr(5-3) 其中： V(5-4) rV(5-5) 因此，凡是引起流场中 rV变化的作用，也就是 导致流体涡度或速度环流变化的原因，这也是本章讨论涡动力学基础的主要内容。 第5-1 环流定理由式(1-42)可知，速度环流定义为：lldV(5-6) 这首先由汤普森提出的。虽是标量，但是其值的正负且反映了一定的方向性。一般取定封闭曲线的方向，那么顺封闭曲线方向的环流为正，反之，逆封闭曲线方向

3、的环流为负。应用斯托克斯线面积分转换公式，有： ddVnl dVnl(5-7) 其中式(5-7)也称开尔文关系式，其微分形式为：ddn(5-8) 上述两式建立了涡度与速度环流之间的关系。 一、开尔文定理 假设流体是理想的正压的流体在有势外力作用下，则沿任一封闭曲线的速度环流在运动过程中恒定不变。其证明如下： 对(5-6)式求微商得： llldtldVldtVdldVdtddtd(5-9) 首先考虑右边积分的第二积分，由于积分路径曲线为流体质点组成的物质线，所以流动以前及以后仍构成封闭曲线，仅其形状和长短变化。 Vdtlddtld(5-10) 022lllVVVdtldV(5-11) 再利用理想

4、流体运动的欧拉方程，即式(2-55)： pFdtVd1(5-12) 考虑到外力有势，则有： FlllpldtVd1(5-13) 流体正压，即pf(5-14) 则得: 01lllPlpldtVd(5-15) 其中 pfppP/0dtd或 =常数 (5-16) 对于粘性可压流体，纳维斯托克斯方程(2-51)为：三、环流的起源VVgraddivpFdtVd2311(5-17)引入流体散度 VVdivD和涡度 V，于是 DVVV2(5-18) 则式(5-17)可改写为： DpFdtVd341(5-19) 如果式(5-9)右端第一积分以(5-19)代入，则有lllllplFdtd1(5-20)其中上式已

5、考虑到： llD034式(5-20)表明引起环流变化的作用有以下三类：1.非有势力的作用；2.压力密度力或压力梯度力的作用；3.粘性涡度扩散的影响。b.若流体是正压的，则式(5-20)右端第二项积分为零。但是对于斜压流体，则有:a.大气科学中，科里奥利力就是一个非有势力，且在气象学中必须考虑的，不可以忽略。lppplp11/1(5-22) 考虑到任一物理量的梯度再取旋度为零，则上式右端第二项积分等于零。若流体理想，且外力有势，则式(5-22)可改写成为：pdtd1(5-23) 上式又称作皮耶克尼斯定理，它表明压力密度力引起的环流变化。 二、亥姆霍兹定理首先引入几个概念：1.涡线的定义：在同一时

6、刻，涡旋场中存在这样的曲线，其曲线上每一点的切线方向和该点的涡旋方向重合。2.涡面的定义：在涡旋场内取一非涡线的曲线，过曲线的每一点作涡线，则这些涡线将组成一曲面称涡面。 3.涡管的定义：在涡旋场内取一曲线L是封闭的且不自相交的曲线，过曲线的每一点作涡线，则这些涡线将组成一封闭曲面称涡管。a.涡面保持定理：假如流体是理想正压的，且外力有势，则在某一时刻组成的涡面的流体质点在以前或以后任一时刻也永远组成涡面。 证明如下：初始时刻 0tt 时，流体中有一涡面，则根据涡面的定义， 涡面上的涡旋矢量 在涡面法线单位矢量 n上的投影 n等于零，即0n(5-16-1) 今在涡面上任取一封闭曲线L，由L所包

7、围涡面的面积为，则根据斯托克斯定理：Lndl dV(5-16-2) 因式(5-16-1)可知，推出在初始时刻 0tt ，沿面上任一 封闭曲线L的速度环量为零。 LldV0(5-16-3) 设在初始时刻以前或以后的某一时刻，组成涡面的流体质点移动到新的位置并组成新的曲面，而封闭曲线L上的流体质点则移动到面的封闭曲线L上。兹证亦为一涡面。 因流体是理想正压的，且外力有势，则根据开尔文定理推出0LLldVldV(5-16-4) 再利用斯托克斯定理：0LsnldVds(5-16-5) 其中s是面上曲线L所包围的面积。因s是任取的，则由此推出： 0n根据定义s是一涡面。证毕。 涡管是涡面的一个特例，因此

8、由涡面的保持定理立即可推出涡管保持定理。b. 涡管保持定理: 假如流体是理想正压的，且外力有势，则在某时刻组成涡管的流体质点在以前或以后任一时刻也永远组成涡管。c.涡线保持定理(亥姆霍兹第一定理): 假如流体是理想正压的，且外力有势，则在某时刻组成涡线的流体质点在以前或以后任一时刻也永远组成涡线。 证明： 设初始时刻 0tt 时，流体中有一条涡线L，通过L可以作 两个不同的涡面S，T (因为过L可作两条不是涡线的曲线，过这两条曲线的每一点作涡线即得两个涡面)。设在初始时刻以前或以后的某一时刻，S，T上的流体质点组成新的曲面S，T。根据涡面保持定理推出，S，T必为涡面。设S，T的交线为L，显然，组成L的流体质点既要在S上又要在T上故一定组成L，现证L是涡线。亦即欲证曲线L上各点的涡旋矢量与该点的切线方向重合。 又因为S， T都是涡面，所以L点上的涡旋矢量即在S的切平面上又在T的切平面上。亦即在两个切平面的交线上。而两个切平面的交线就是L的切线。于是L上各点的旋涡矢量 的确 与该点的切线方向重合。根据定义，L为涡线。定理证毕。 d.涡管强度保持定理(亥姆霍兹第二定理)： 假如流体是理想正压的，且外力有势，则涡管的强度在运动过程中不变。证明： 涡管强度等于沿包围涡管且在涡管上的封闭曲线L的速度环量： lldV而速度环量在定理条件成立的前提下，根