MATLAB第3章Z变换

1、第三章 Z变换数字信号处理第3章 Z变换第三章 Z变换数字信号处理第三章学习目标第三章学习目标l 掌握z变换及其收敛域，掌握因果序列的概念及判断方法l 会运用任意方法求z反变换l 理解z变换的主要性质l 理解z变换与Fourier变换的关系l 掌握离散系统的系统函数和频率响应，因果/稳定系统的收敛域第三章 Z变换数字信号处理3.1 Z变换的定义和收敛域一. Z变换的定义( ) ( )( )nnX zZT x nx n z双边双边z变换变换 其中：其中：z为复变量，以其实部为横坐标，虚部为纵坐为复变量，以其实部为横坐标，虚部为纵坐标构成的平面称为标构成的平面称为z平面平面。0( ) ( )( )

2、nnX zZT x nx n z单边单边z变换变换第三章 Z变换数字信号处理二Z变换的收敛域1收敛域的定义：收敛域的定义：对任意给定序列对任意给定序列x(n)，使其，使其z变换收敛的所有变换收敛的所有z值的集合称为值的集合称为X(z)的收敛域。的收敛域。 2. 收敛条件：收敛条件：( )( )nnX zx n z| ( )|nnx n zM 的级数收敛的充的级数收敛的充分必要条件是满足绝对可和的条件，即要求分必要条件是满足绝对可和的条件，即要求 要满足此不等式，要满足此不等式，|z|值必须在一定范围之内值必须在一定范围之内才行，这才行，这个范围就是收敛域。个范围就是收敛域。 第三章 Z变换数字

3、信号处理z平面上的收敛域一般可用环状域表示，即平面上的收敛域一般可用环状域表示，即 Rx-|z|Rx+收敛域是分别以收敛域是分别以Rx-和和Rx+为半径的两个圆所围成的环为半径的两个圆所围成的环状域，状域， Rx-和和Rx+称为收敛半径。称为收敛半径。Rx-可以小到零，可以小到零，Rx+可以大到无穷大。可以大到无穷大。图图3-1 环形收敛域环形收敛域第三章 Z变换数字信号处理由于( )( )( )P zX zQ z，收敛域总是用极点限定其边界。X(z)X(z)=0( )0( )( ) ( )P zQ zP zQ z则的零点：使的点， 即和当阶次高于时X(z)X(z)( )0( )( )( )Q

4、 zP zQ zP z 的极点：使的点， 即和当阶次高于时3z变换的零极点变换的零极点第三章 Z变换数字信号处理（1 1）有限长序列）有限长序列: : 三几种序列的收敛域12( ),( )0,x nnnnx nn其他21( )( )nnn nX zx n z其其z变换为变换为收敛域为收敛域为0z 图图3-2 有限长序列及其收敛域有限长序列及其收敛域 （ 除外）除外） 120,00,nnzz ；第三章 Z变换数字信号处理另外另外 ，由，由21)()(nnnnznxzX 可见，可见，0与与两点是否收敛与两点是否收敛与n1、n2取值情况有关，取值情况有关，如果如果n10，则收敛域不包括，则收敛域不包

5、括|z|=0；如果如果n20，则收敛域不包括，则收敛域不包括|z|=。具体有限长序列的收敛域表示如下：具体有限长序列的收敛域表示如下： 12120|,00|,00|,0,0znznznn 第三章 Z变换数字信号处理（1）求矩形序列）求矩形序列的的 z变换变换例题例题3-1 nRN（2）求序列）求序列 的的z变换变换)10()(2)(nununxn第三章 Z变换数字信号处理01)()()()(11nnnnnnnnznxznxznxzX（2 2）右边右边序列序列: : 11, 0),()(nnnnnxnx其其z变换为变换为xRZ xRZ 0Z 其中：其中：Rx-为收敛域的最小半径。为收敛域的最小半

6、径。 右边序列的右边序列的收敛域收敛域第三章 Z变换数字信号处理 图图3-3 右边序列及其收敛域右边序列及其收敛域（n1|a| 这是一个无穷项的等比级数求和，只有在这是一个无穷项的等比级数求和，只有在|az-1|a|处收敛处收敛如图如图3-4所示所示。 111zazza解解 这是一个因果序列，其这是一个因果序列，其z变换为变换为 由于由于 ， 故在故在z=a处有一极点处有一极点(用用“”表示表示)，收敛域为极点所在圆，收敛域为极点所在圆|z|=|a|的外部。的外部。 第三章 Z变换数字信号处理图图3-4 的收敛域的收敛域 ( )( )nx na u n 收敛域上函数必须是解析收敛域上函数必须是

7、解析的，因此收敛域内不允许有极的，因此收敛域内不允许有极点存在。所以，点存在。所以，注意：注意：右边序右边序列的列的z变换如果有变换如果有N个有限极点个有限极点 存在，那么收敛存在，那么收敛域一定在模值最大的有限极点域一定在模值最大的有限极点所在圆以外，也即所在圆以外，也即但在但在 处是否收敛，则需处是否收敛，则需视序列存在的范围另外加以讨视序列存在的范围另外加以讨论。对于因果序列，论。对于因果序列，处也不处也不能有极点。能有极点。12,Nz zz12max|,|,|xNRzzzz 第三章 Z变换数字信号处理例题例题3-3 求求 的的Z变换及其收敛域。变换及其收敛域。(1/ 2)5( )04n

8、nx nn第三章 Z变换数字信号处理2210)()()()(nnnnnnnnznxznxznxzX（3 3）左边左边序列序列: : 22( ),( )0,x nnnx nnn其其z变换为变换为左边序列的左边序列的收敛域收敛域0|z|0|z| Rx+ 0 |z| Rx+其中：其中：Rx+为收敛域的最大半径。为收敛域的最大半径。注意：注意：若若 n2 0，收敛域包括，收敛域包括|z|=0，即，即|z| 0，故，故 z=0除外）除外）第三章 Z变换数字信号处理 例例3-4： x(n)=-anu(-n-1), 求其求其z变换及收敛域。变换及收敛域。 解：解： 这是一个左边序列。其这是一个左边序列。其z

9、变换为变换为 1111( )(1)()nnnnnnnnnnnX za unza za za z 此等比级数在此等比级数在|a-1z|1，即，即|z|a|处收敛。处收敛。 因此因此 1111( )| |11a zzX zzaa zzaaz序列序列z变换的收敛域变换的收敛域如图如图2-6所示所示。函数函数 在在z=a处有一极点，整个收敛域在极点所在圆以内的处有一极点，整个收敛域在极点所在圆以内的解析区域。解析区域。 111azazz第三章 Z变换数字信号处理ojImzReza|z|a|图图2-6 的收敛域的收敛域 ( )(1)nx na un 注意注意1：左边序列的左边序列的z变换如果变换如果有有

10、N个有限极点个有限极点 存存在，在，12,Nz zz12min|,|,|xNRzzz0z 注意注意2：z变换后，只给出变换后，只给出z变换的闭合表达式是不够变换的闭合表达式是不够的的,必须同时给出收敛域必须同时给出收敛域,才能唯一地确定一个序列。才能唯一地确定一个序列。 那么收敛域一定在模值最小那么收敛域一定在模值最小的有限极点所在圆之内，即的有限极点所在圆之内，即但在但在 处是否收敛处是否收敛,需视序列需视序列存在的范围另外加以讨论。存在的范围另外加以讨论。第三章 Z变换数字信号处理例题例题3-5求求 的的z z变换及其收敛域。变换及其收敛域。( )3(1)nx nun 第三章 Z变换数字信

11、号处理 双边序列指双边序列指n为任意值时，为任意值时，x(n)皆有值的序列，皆有值的序列，可以把它看作一个左边序列和一个右边序列之和，即可以把它看作一个左边序列和一个右边序列之和，即nnnnnnznxznxznxzX01)()()()(（4 4）双）双边边序列序列: : 如果如果Rx-Rx+，则无公共收敛区域，则无公共收敛区域，X(z)无收敛域无收敛域,故不存在故不存在z变换的解析式。变换的解析式。|z|Rx+Rx-|z|Rx-第三章 Z变换数字信号处理图图2-7 双边序列及收敛域双边序列及收敛域 第三章 Z变换数字信号处理例题例题3-6( )x n( )(1/3)( )(1/2)(1)nnx

12、 nu nun （1） ，a为实数，为实数， 求求 的的z变换及其收敛域。变换及其收敛域。（2）求序列）求序列 的的z变换及其收敛域。变换及其收敛域。( )nx na第三章 Z变换数字信号处理归纳右序列的收敛域是：左序列的收敛域是：有限长序列的收敛域是：双边序列的收敛域:Z平面的全平面；Z平面内某个圆的外部；Z平面内某个圆的内部；如果存在，是Z平面内环形区域。第三章 Z变换数字信号处理定义定义:已知函数已知函数X(z)及其收敛域，反过来求序列及其收敛域，反过来求序列x(n)的变换称为的变换称为z反变换反变换，表示为，表示为xxnnRzRznxzX|)()(则则 ),()(21)(1xxncRR

13、cdzzzXjnx3.2 z3.2 z反变换反变换一、一、 z反变换的定义反变换的定义2. z反变换的一般公式反变换的一般公式1( )( )x nZX z若若第三章 Z变换数字信号处理图图2-8 围线积分路径围线积分路径 ojImzRez|z| Rxc|z| Rx 积分路径积分路径c为环形解析域（即收敛域）内为环形解析域（即收敛域）内环绕原点的一条逆时针闭合单围线。环绕原点的一条逆时针闭合单围线。第三章 Z变换数字信号处理围线积分法（留数法）围线积分法（留数法）;部分分式展开法部分分式展开法;幂级数展开法（长除法）幂级数展开法（长除法）.二二z反变换方法反变换方法 直接计算围线积分是比较麻烦的

14、，实际上直接计算围线积分是比较麻烦的，实际上, 求求z反变换时，往往可以不必直接计算围线积分。反变换时，往往可以不必直接计算围线积分。一般求一般求z反变换的常用方法有三种：反变换的常用方法有三种：第三章 Z变换数字信号处理111( )( )Re ( )2knnz zckx nX z zdzs X z zj 根据留数定理，若函数根据留数定理，若函数X(z)zn-1在围线在围线c以内有以内有K个极点个极点zk，而在，而在c以外有以外有M个极点个极点zm（M、K为有限为有限值），则有值），则有留数法留数法111( )( )Re ( )2mnnz zcmx nX z zdzs X z zj 其中：其中

15、： 表示函数表示函数X(z)zn-1在极点在极点z=zk（c以内极点）上的留数。以内极点）上的留数。 表示函数表示函数X(z)zn-1在极点在极点z=zm（c以外极点）上的留数。以外极点）上的留数。1Re ( )knz zs X z z1Re ( )mnz zs X z z第三章 Z变换数字信号处理如何求如何求X(z)zn-1在任一极点在任一极点zk处的留数？处的留数？ 1. 设设zk是是X(z)zn-1的单（一阶）极点，则有的单（一阶）极点，则有 2. 如果如果zk是是X(z)zn-1的多重极点，如的多重极点，如N阶极点，则有阶极点，则有 11Re ( )()( )kknnz zkz zs

16、X z zzzX z z11111Re ( )()( )(1)!kkNnknz zkz zNds X z zzzX z zNdz(3-1)(3-2)第三章 Z变换数字信号处理注意：注意：以上两式都可以用于计算以上两式都可以用于计算z反变换，应根据具体反变换，应根据具体情况来选择。例如，情况来选择。例如，如果如果当当n大于某一值大于某一值时，函数时，函数X(z)zn-1在围线的外部可能在围线的外部可能有多重极点，这时选有多重极点，这时选c的外部极点计算留数就比较麻烦，的外部极点计算留数就比较麻烦，而而通常选通常选c的内部极点求留数的内部极点求留数则较简单。则较简单。如果如果当当n小于某一值小于某

17、一值时，函数时，函数X(z)zn-1在围线的内部可能在围线的内部可能有多重极点，这时选用有多重极点，这时选用c外部的极点求留数外部的极点求留数就方便得多。就方便得多。111( )( )Re ( )2knnz zckx nX z zdzs X z zj111( )( )Re ( )2mnnz zcmx nX z zdzs X z zj 第三章 Z变换数字信号处理例例3-7：已知：已知 |11)(1azazzX求求z反变换。反变换。 解：解： 1111( )1nnnzX z zzazza当当n0时时,在围线在围线c以内有一个单极点以内有一个单极点z=a ；如图如图2-9所示所示。应用公式应用公式(

18、3-1)，则，则( )Re()nnnz az azzx nszaazaza当当n|a| jImzRezcoa第三章 Z变换数字信号处理( )( )nx na u n注意：注意：在具体应用留数法时，若能从收敛域判定序在具体应用留数法时，若能从收敛域判定序列是因果的，就可以不必考虑列是因果的，就可以不必考虑n0时出现的极点了，时出现的极点了， 因为它们的留数和一定总是零。因为它们的留数和一定总是零。因此因此 Re,0( )0,0nnz azsanz ax nn即即 第三章 Z变换数字信号处理例例3-8 已知已知 |11)(1azazzX求求z反变换。反变换。 解解 由于极点由于极点a处在围线处在围

19、线c以外以外(见图见图2-13），），当当n0时围线时围线c内无极点，因此内无极点，因此 ；1111( )1nnnzX z zzazza而而n2收敛域为|z|3( )x n ( )X z 1111(1 2)(1 3)zz2( )nu n( 3)(1)nun ( )11(2)(3)X zzzz(2)(3)zzzz收敛域为2|z|32( )( 3)(1)nnu nun 第三章 Z变换数字信号处理幂级数展开法（长除法）幂级数展开法（长除法）把X(z)展开成幂级数( )( )nnX zx n z1012( 1)(0)(1)(2)xzxzxzxz级数的系数就是序列x(n)第三章 Z变换数字信号处理根据收

20、敛域判断根据收敛域判断x(n)的性质，在展开成相应的的性质，在展开成相应的z的幂级数的幂级数 将将X(z) X(z)的的 x(n) 展成展成z的的 分子分母分子分母 按按z的的 右边序列右边序列 负幂级数负幂级数 降幂排列降幂排列 左边序列左边序列 正幂级数正幂级数 升幂排列升幂排列xzRxzR第三章 Z变换数字信号处理解：由解：由Roc判定判定x(n)是因果序列，用是因果序列，用长除法展成长除法展成z的负的负幂级数幂级数11( ) (1)X zzaaz例：，求z反变换122330( )1nnnX zaza za za z ( )( )nx na u n11112222223333111 az

21、azazaza za za za za z122331aza za z第三章 Z变换数字信号处理11( ) (1)X zzaaz例：，求z反变换122331( )nnnX za za za za z -( )(1)nx na un 解：由解：由Roc判定判定x(n)是左边序列，用是左边序列，用长除法展成长除法展成z的正的正幂级数幂级数111122221 11 aza za za za za z12233a za za z第三章 Z变换数字信号处理nnznxnxZTzX)()()(jrez njnnnnjjernxrenxreX)()()(1rjez 1,z变换等效成傅里叶变换即 z)()(nn

22、jjenxeX结论：在Z平面中单位圆上定义的序列Z变换即为序列的傅3.3 Z3.3 Z变换与傅里叶变换的关系变换与傅里叶变换的关系Z变换表达式： 令 ，代入上式得到：当时， 即里叶变换。Z在单位圆上取值即即z变换等效成序列的傅里叶变换变换等效成序列的傅里叶变换第三章 Z变换数字信号处理3.4 z3.4 z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理 1. 1. 线性线性 Z变换是一种线性变换，它满足叠加原理，即若有变换是一种线性变换，它满足叠加原理，即若有: ZTx(n)=X(z) Rx-|z|R x+ ZTy(n)=Y(z) Ry-|z|Ry+ 那么对于任意常数那么对于任意常数a、b，z变换都能

23、满足以下等式变换都能满足以下等式： ZTax(n)+by(n)=aX(z)+bY(z) R-|z|R+ 注意：注意：1）通常两序列和的）通常两序列和的z变换的收敛域为它们各自变换的收敛域为它们各自收敛域的公共区域，即收敛域的公共区域，即 R-=max(Rx-, Ry-) R+=min(Rx+, Ry+)2）如果线性组合中某些零点与极点相互抵消，则收敛）如果线性组合中某些零点与极点相互抵消，则收敛域可能扩大。域可能扩大。 第三章 Z变换数字信号处理2. 序列的移位序列的移位() T ()( ),|mxxZx nmzX zRzR式中：式中：m为正为延迟为正为延迟(右移右移)， m为负为超前为负为超

24、前(左移左移)。 若序列若序列x(n)的的z变换为变换为 T ( )( ),xxZx nX zRzR则有则有 nkmkmnzXzzkxzzmnxmnxZ)()()()(证明：证明： 第三章 Z变换数字信号处理10232221T ( )( ),111T (3),1111T ( ),011nnnnzZu nu n zzzzzzzZu nzzzzzzzzZx nzzzz其中：例：例：求序列求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的的z变换。变换。解：解：( ) ( )(3)X zZT u nu n ( ) (3)ZT u nZT u n第三章 Z变换数字信号处理T( ),| |nxxzZa x nXa

25、 Rza Ra3. 乘以指数序列（乘以指数序列（z域尺度变换）域尺度变换） 若若( )T ( ),xxX zZx nRzR则则4. 序列的线性加权（序列的线性加权（z域求导数）域求导数）若已知若已知则则( )T ( ),xxX zZx nRzR( )( )dZT nx nzX zdz xxRzR第三章 Z变换数字信号处理5. 共轭序列共轭序列式中，符号式中，符号“*”表示取共轭复数。表示取共轭复数。 若若( )T ( ),xxX zZx nRzR则则111T (),|xxZxnXzzRR6. 翻褶序列翻褶序列 若若( )T ( ),xxX zZx nRzR则则*T ( )Z x n *()xx

26、XzRzR，第三章 Z变换数字信号处理对于因果序列对于因果序列x(n)，即，即x(n)=0, n0, 有有 )0()(limxzXz7. 初值定理初值定理 8. 终值定理终值定理 设设x(n)为因果序列，且为因果序列，且X(z)=Zx(n)的全部极的全部极点，除有一个一阶极点可以在点，除有一个一阶极点可以在z=1 处外，其余都在处外，其余都在单位圆内，则单位圆内，则 1( )lim ( )lim(1)( )nzxx nzX z 1Re ( )zs X z第三章 Z变换数字信号处理9. 序列的卷积和（时域卷积和定理）序列的卷积和（时域卷积和定理）()mmnhmxnhnxny)()()()()(则

27、则 ( ) ( )( )( ),max, | min,xhxhY zZ y nX z H zRRzRR设设( ) ( ),( ) ( ),xxhhX zZ x nRzRH zZ h nRzR注意：注意：1）若时域为卷积和，则若时域为卷积和，则z变换域是相变换域是相乘的关系；乘的关系；2） 乘积乘积Y(z)的收敛域为的收敛域为X(z)、H(z)收敛域的公共部收敛域的公共部分。分。 若有极点被抵消，收敛域可扩大。若有极点被抵消，收敛域可扩大。 第三章 Z变换数字信号处理 在线性移不变系统中，如果输入为在线性移不变系统中，如果输入为x(n)，系统，系统的单位脉冲响应为的单位脉冲响应为h(n)，则输出

28、，则输出y(n)是是x(n)与与h(n)的的卷积卷积;利用利用时域卷积和定理时域卷积和定理，通过求出，通过求出X(z)和和H(z)，然后求出乘积然后求出乘积X(z)H(z)的的z反变换，从而可得反变换，从而可得y(n)。具体步骤如下：具体步骤如下：时域卷积和定理的应用时域卷积和定理的应用 求线性移不变系统输出响应求线性移不变系统输出响应1( ), ( )( ),( )( )( )( )( )( )x n h nX zH zY zX z H zy nZY z第三章 Z变换数字信号处理例例 3-12： 设设x(n)=anu(n), h(n)=bnu(n)-abn-1u(n-1)求求y(n)=x(n

29、) * h(n) 。 解：解： 1011( ) ( ),| |1( ) ( ),| |nnnzX zZ x na zzaazzazzH zZ h nazzbzbzazazbzbzbzb所以所以 ( )( )( )|zzazY zX z H zzbza zbzb其其z反变换为反变换为1( )( )( ) ( )( )ny nx nh nZY zb u n第三章 Z变换数字信号处理 显然，在显然，在z=a处，处，X(z)的极点被的极点被H(z)的零点所抵消，的零点所抵消，如果如果|b|a|，则，则Y(z)的收敛域比的收敛域比X(z)与与H(z)收敛域的重叠部收敛域的重叠部分要大。分要大。 obaj

30、ImzRez图图 2-14 Y(z)的零极点及收敛域的零极点及收敛域 第三章 Z变换数字信号处理例题1.已知 ， 的z变换，求 及 的z变换。2.已知某因果序列 的z变换 求 的初值 和 及终值。 )()(nuanxn10 a)( nx )(nnx)(nx)231)(1 (21)(112zzzzX)(nx)(lim)(nxxz(0)x第三章 Z变换数字信号处理3.53.5离散系统的系统函数，系统的频率响应离散系统的系统函数，系统的频率响应 在时域中，一个线性时不变系统完全可以由它在时域中，一个线性时不变系统完全可以由它的单位脉冲响应的单位脉冲响应h(n)来表示，即来表示，即 ( )( )( )

31、y nx nh n)()()(zXzHzY)()()(zXzYzH一、系统函数一、系统函数取取z变换变换 ( )( )nnZT h nh n z线性移不变系统线性移不变系统的的系统函数，系统函数，单单位冲激响应的位冲激响应的z变变换换 第三章 Z变换数字信号处理1. 因果系统因果系统| zRx二、因果稳定系统二、因果稳定系统单位脉冲响应单位脉冲响应h(n)为因果序列的系统是因果系为因果序列的系统是因果系统，因果系统的系统函数统，因果系统的系统函数H(z)具有包括具有包括z=点的点的收敛域，即收敛域，即 线性移不变系统是因果系统的充要条件是线性移不变系统是因果系统的充要条件是:( )0,0h n

32、n即因果系统的收敛域是半径为即因果系统的收敛域是半径为 的圆的外部，且的圆的外部，且必须包括必须包括|z|=在内。在内。xR第三章 Z变换数字信号处理 z变换的收敛域由满足变换的收敛域由满足 的的那些那些z值确定，因此值确定，因此稳定系统的系统函数稳定系统的系统函数H(z)必必须在单位圆上收敛，须在单位圆上收敛，即收敛域包括单位圆即收敛域包括单位圆|z|=1的系统是稳定的。的系统是稳定的。nnznh|)(|2. 稳定系统稳定系统线性移不变系统稳定的充要条件是单位线性移不变系统稳定的充要条件是单位冲激响应冲激响应h(n)绝对可和绝对可和:nnh| )(|第三章 Z变换数字信号处理 因果稳定系统的

33、系统函数因果稳定系统的系统函数H(z)必须在从单位圆必须在从单位圆到到的整个的整个z域内收敛，即收敛域必须包括域内收敛，即收敛域必须包括 也就是说，系统函数的也就是说，系统函数的全部极点必须在单位圆内全部极点必须在单位圆内。 3. 因果稳定系统因果稳定系统xRz,01xR且第三章 Z变换数字信号处理注意：注意：1）同一个系统函数，收敛域不同，所代表的系统）同一个系统函数，收敛域不同，所代表的系统就不同，所以给出系统函数时必须同时给定系统就不同，所以给出系统函数时必须同时给定系统的收敛域才行。的收敛域才行。2）对于稳定系统，其收敛域必须包括单位圆，因）对于稳定系统，其收敛域必须包括单位圆，因而，在而，在z平面以极点、零点图描述系统函数，通常平面以极点、零点图描述系统函数，通常都画出单位圆以便看出极点