八年级上册《分式方程的实际应用-工程、行程问题》课件与练习

第十五章

分式15.3分式方程15.2.2分式方程的实际应用——工程、行程问题

1.通过使学生经历用分式方程解决实际问题的过程，体会分式方程是刻画现实世界问题的有效数学模型，培养学生的建模思想。2.通过学生列分式方程解决具体实际问题，培养学生数学应用意识，提高分析问题和解决实际问题的能力。3.通过列分式方程解应用题，进一步掌握列方程解应用题的方法和步骤，体会检验的必要性，渗透方程的思想方法。学习重点：会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.学习难点：实际问题中相等关系的提炼及转化为方程的过程.1.解分式方程：

；解：方程两边都乘以2（x-2)，得2+2（x-2）=x+1解得：x=3检验：当x=3时，2（x-2）=2≠0，∴x=3是原方程的解.2.列方程解决实际问题的步骤：

；

3.我们所学过的应用题类型：(1)行程问题：基本公式：

；(2)数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法；(3)工程问题：基本公式：

；审、设、列、解、答路程=速度×时间以及它的两个变式工作量=工时×工效以及它的两个变式(4)顺水逆水问题：顺水速度＝

，逆水速度＝

；(5)利润问题：基本公式：

.轮船速度+水流速度轮船速度-水流速度利润率=利润÷进价利润=售价-进价，问题：一艘轮船顺水航行40千米所用的时间与逆水航行30千米所用的时间相同，若水流速度为3千米/时，求轮船在静水中的速度.学生活动一

【一起探究】分析：设轮船在静水中的速度为x千米/时，则顺水航行的速度为____千米/时，逆水航行的速度为____千米/时，顺水航行的时间为____时，逆水航行的时间为_______时，根据题意，可得方程_______________.x+3x-3解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据题意列方程得解这个方程得：x=21.检验：当x=21时，（x+3）（x-3）≠0，并且也符合题意.答：轮船在静水中的速度为21千米/时.检验是必须的一步骤，而且是两方面的检验.列分式方程解应用题的一般步骤1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.3.列:根据数量和相等关系,正确列出方程.4.解:认真仔细解这个分式方程.5.验:检验.6.答:注意单位和语言完整.问题：两个工程队共同参加一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？学生活动二

【一起探究】分析：甲队1个月完成总工程的

,设乙队如果单独施工1个月完成总工程的

,那么甲队半个月完成总工程的_____,乙队半个月完成总工程的_____,两队半个月完成总工程的_______.解：设乙队如果单独施工1个月完成总工程的.依题意得方程两边同乘6x,得2x+x+3=6x，解得：x=1检验:当x=1时6x≠0,x=1是原分式方程的解，且符合题意.答：由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务,而甲队1个月完成总工程的,可知乙队施工速度快.探究：某列列车平均提速v千米/时．用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度是多少？学生活动三

【一起探究】分析：这里的字母v,s表示已知数据,设提速前列车的平均速度为xkm/h,那么提速前列车行驶skm所用时间为

h,提速后列车的平均速度为

km/h,提速后列车运行(s+50)km所用时间为

h.根据行驶时间的等量关系可以列出方程.

(x+v)解:设提速前这次列车的平均速度为xkm/h,则提速前它行驶skm所用时间为h;提速后列车的平均速度为(x+v)km/h,提速后它行驶(s+50)km所用时间为h.根据行驶时间的等量关系,得.方程两边乘x(x+v),得s(x+v)=x(s+50).解得：.检验:由v,s都是正数,得x=时x(x+v)≠0.所以原分式方程的解为x=.答:提速前列车的平均速度为km/h.(1)在实际问题中,有时题目中包含多个相等数量关系,在列方程时一定要选择一个能够体现全部(或大部分)题意的相等关系；(2)在检验过程中,不仅检验所得的根是否为原分式方程的根,还要检验这个根在实际问题中是否具有实际意义,如时间非负、人数为正整数等.1.某小区为了排污,需铺设一段全长为720米的排污管道,为减少施工对居民生活的影响,需缩短施工时间,实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%,结果提前2天完成任务.设原计划每天铺设x米,下面所列方程正确的是(

)A

2.农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度.

汽车所用的时间＝自行车所用时间－2/3

可解得x=15经检验，x=15是原方程的解，并符合题意，由x＝15得3x=45答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时.3.一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?解：设规定日期为x天，根据题意，得解得：x=12.经检验：x=12是原方程的解且符合题意.答：规定日期为12天.本节课探究了分式的哪些问题？在探寻分式方程的应用时，你经历了哪些数学活动？在这些活动过程中用到了哪些数学方法？积累了哪些数学经验？对于分式方程的知识，后续我们还会研究哪些内容？1.在5月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为孤岛.当时洪水流速为10千米/时,张师傅奉命用冲锋舟去救援,他发现沿洪水顺流以最大速度航行2千米所用时间与以最大速度逆流航行1.2千米所用时间相等.请你计算出该冲锋舟在静水中的最大航速为____.

2.某市区一条主要街道的改造工程准备招标,指挥部现接到甲、乙两个工程队的投标书,从投标书中得知:乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍;该工程若由甲队先做6天,剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成.求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天.解:设甲队单独完成这项工程需x天,则乙队单独完成这项工程需2x天,根据题意可得:

解得x=30,经检验x=30为原方程的根且符合题意.∴2x=60.答:甲队单独完成这项工程需30天,乙队单独完成这项工程需60天.

设未知数检验

课后作业

C

2.

小明和小亮相约到森林公园健身步道上参加健步走活动，他们同时

同地出发，线路长度为6公里.已知小明的速度是小亮的1.5倍，小明比

小亮提前10分钟走完全程，设小亮的速度为

x

km/h，则下列方程中正确

的是(

C

)C

乙队每天修路比甲队的2倍少30

m

22.5

4.

某市政府切实为残疾人办实事，在区道路改造中为盲人修建一条长3

000

m的盲道，根据规划设计和要求，该市工程队在实际施工时增加了

施工人员，每天修建的盲道比原计划增加50％，结果提前2天完成，求

原计划每天修建多少米？

解得

x

＝500.检验：当

x

＝500时，(1＋50％)

x

≠0.∴原分式方程的解为

x

＝500.答：原计划每天修建盲道500

m.第十五章分式15.3分式方程《第2课时分式方程的实际应用——工程、行程问题》同步练习

工程问题1.

某施工队计划修建一个长为600

m的隧道，第一周按原计划的速度修

建，一周后以原来速度的1.5倍修建，结果比原计划提前一周完成任务.

若设原计划一周修建隧道

x

m，则可列方程为(

C

)C2.

某社区积极响应正在开展的“创文活动”，组织甲、乙两个志愿工

程队对社区的一些区域进行绿化改造.已知甲工程队每小时能完成的绿

化面积是乙工程队每小时完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完成300

平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时，乙

工程队每小时完成多少平方米的绿化面积？解：设乙工程队每小时完成

x

平方米的绿化面积，甲工程队每小时

完成

平方米的绿化面积，则甲工程队完成300平方米的绿化

面积需要

小时，乙工程队完成300平方米的绿化面积需要

小时.根据题意列方程，得

⁠.2

x

解得

⁠.检验：当

x

＝

时，2

x

0，且符合题意.所以原分式方程的解为

⁠.答：乙工程队每小时完成

平方米的绿化面积.x

＝50

50

≠

x

＝50

50

行程问题3.

某次列车平均提速20

km/h，用相同的时间，列车提速前行驶400

km，提速后比提速前多行驶100

km，设提速前列车的平均速度为

x

km/h，则下列方程正确的是(

A

)A4.

某中学八年级学生去距学校10

km的景点参观，一部分学生骑自行车

先走，过了30

min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知

汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为

x

km/h，则所

列方程是

⁠.

5.

甲队修路120

m与乙队修路100

m所用天数相同，已

知甲队比乙队每天多修10

m，设甲队每天修路

x

m.依题意，下面所列

方程正确的是(

A

)A

BA.

实际每天比原计划多铺设20米，结果延迟15天完成B.

实际每天比原计划多铺设20米，结果提前15天完成C.

实际每天比原计划少铺设20米，结果提前15天完成D.

实际每天比原计划少铺设20米，结果延迟15天完成7.

甲、乙两地之间的高速公路全长200

km，比原来国

道的长度减少了20

km.高速公路通车后，某长途汽车的行驶速度提高

了45

km/h，从甲地到乙地的行驶时间缩短了一半.设该长途汽车在原来

国道上行驶的速度为

x

km/h.则下列结论正确的是(

D

)C.

在国道上的速度是80

km/hD.

在高速上的速度是100

km/hD

(1)甲同学所列方程中的

x

表示

⁠；乙同学所列方程中的

y

表示

⁠

⁠.江水的流速轮船以最大航速沿江顺流航行90

km所用

时间(或轮船以最大航速沿江逆流航行60

km所用时间)

(2)两个方程中任选一个，解方程并回答老师提出的问题.

解得

x

＝6.检验，当

x

＝6时，(30＋

x

)(30－

x

)≠0，∴

x

＝6是原分式方程的解.∴江水的流速为6

km/h；

9.

2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、

新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行.大会聚焦清洁能

源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集.

其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积

4.82平方公里，计划2025年基本建成.若甲、乙两个工程队计划参与修

建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任

务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任

务.承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支

付施工费用5万元.(1)乙队单独施工需要几个月才能完成任务？

(2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能地减少成本，承建公司决定

让甲、乙两