第5章相似矩阵及二次型

1、线性代数5 51 1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型5 53 3 相似矩阵相似矩阵5 52 2 方阵的特征与特征向量方阵的特征与特征向量5 55 5 二次型及其标准型二次型及其标准型5 54 4 对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化5 56 6 用配方法化二次型为标准型用配方法化二次型为标准型5 56 6 正定二次型正定二次型第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型5-1 5-1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性一、向量的内积一、向量的内积 定义定义 设有设有n维向量维向量令令1 1、内积、内积1122,nnxy

2、xyxyxy1122 , nnx yx yxx yy 称为向量称为向量 与与 的的内积。内积。 , x y xy第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型说明说明 , Tx yx y 内积是两个向量之间的一种运算，若内积是两个向量之间的一种运算，若 、 都是都是列向量时，内积可用矩阵相乘表示：列向量时，内积可用矩阵相乘表示：xy2 2、内积的运算性质、内积的运算性质 , )(1 ,x yy x , (, 2)x yy x , (3), , xy zx zy z ,(4)0 x x ，且当，且当 时，时， , 0 xOx x 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型二、向量的长度二、向

3、量的长度 定义定义 令令22212 , nxx xxxx x 称为向量称为向量 的长度（或范数）。的长度（或范数）。x向量的长度具有下述性质：向量的长度具有下述性质：（1 1）非负性非负性：（2 2）齐次性齐次性：（3 3）三角不等式：三角不等式：0 x xxxyxy第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型单位向量单位向量当当 时，称时，称 为为单位向量。单位向量。x1x 向量间的夹角向量间的夹角 , arccosx yxy 当当 时时 0,0 xy称为向量称为向量 与与 的的夹角夹角。xy , arccosx yxyxy 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型三、正交向量组三、

4、正交向量组1 1、向量正交的定义、向量正交的定义当当 时，称为向量时，称为向量 与与 正交正交。xy , 0 x y 显然显然 若若 则则 与任何向量都正交与任何向量都正交。xOx、正交向量组的概念、正交向量组的概念若一若一非零向量组非零向量组中的向量中的向量两两正交两两正交，则称该向量组为，则称该向量组为正交向量组正交向量组。第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型、正交向量组的性质、正交向量组的性质 定理定理5-15-1 若若n维向量维向量 是一组两两正交的非零是一组两两正交的非零向量向量 则则 线性无关线性无关。12,ra aa 12,ra aa 注意：注意：此定理反之不一定成立此

5、定理反之不一定成立 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 解解 例例5-15-1 已知已知3 3维向量空间维向量空间R3 3中两个向量中两个向量 正交，试求一个非零向量正交，试求一个非零向量 ，使，使 两两正交两两正交 。12111 ,211aa 3a123,a a a 3123(,)ax xx设设 ，则，则 应满足应满足3a130,Ta a 230Ta a 即即 应满足齐次线性方程组应满足齐次线性方程组3a1231110121xxx第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型r由于由于111121101010齐次线性方程组的通解：齐次线性方程组的通解：101xc3101a第五章第

6、五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型、向量空间的正交基和规范正交基、向量空间的正交基和规范正交基 若若 是向量空间是向量空间V的一个基，且的一个基，且 是两两正交的非零向量组，则称是两两正交的非零向量组，则称 是向量空间是向量空间V的的正交基正交基。raaa,21raaa,21raaa,21 设设 是向量空间是向量空间V 的一个基，如果的一个基，如果 两两正交两两正交，且都是，且都是单位向量单位向量，则称，则称是向量空间是向量空间V的一个的一个规范正交基规范正交基。reee,21)(nRV reee,21reee,21规范正交基规范正交基正交基正交基第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二

7、次型.212100,212100,002121,0021214321eeee例如：例如：向量在规范正交基中的坐标向量在规范正交基中的坐标 若若 是是V的一个规范正交基的一个规范正交基 那么那么V中任一向量中任一向量 应能由应能由 线性表示线性表示 并且并且reee,21reee,21arreeea2211 其中其中1 1、2 2、r 是是 在规范正交基中坐标：在规范正交基中坐标：a,iTiieaae第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型5 5、施密特正交化方法施密特正交化方法设设 是向量空间是向量空间V中的一个基中的一个基 取向量组（取向量组（正交化正交化） raaa,2111ab11

8、12122,bbbabab111122221111,rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab容易验证容易验证 两两正交两两正交 且且 与与 等价等价 raaa,21rbbb,21rbbb,21第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型把把 单位化单位化 即得即得V的一个规范正交基：的一个规范正交基：rbbb,21,111bbe,222bberrrbbe,第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 例例5-25-2设设 试用施密特正交化过程把其规范正交化。试用施密特正交化过程把其规范正交化。 014,131,121 321aaa 解解 正交化正交化 11121ba111212

9、2,bbbabab1216413111135132333121122 , ,b ab ababbb bb b 2021113512162014第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型将其单位化将其单位化 121661111bbe111331222bbe101221333bbe 即为所求。即为所求。321,eee第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型.,111 321321两两正交两两正交使使求一组非零向量求一组非零向量已知已知aaaaaa 例例5-35-3 解解 即即应应满满足足方方程程, 0,132xaaaT110,101210321xxx其基础解系为：其基础解系为：第五章第五

10、章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型把基础解系正交化，即合所求。亦即取把基础解系正交化，即合所求。亦即取12a1112123,a于是得于是得其中其中, 2, , 1,122,1012a.12121101211103a第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型四、正交矩阵与正交变换四、正交矩阵与正交变换1 1、正交矩阵、正交矩阵 定义定义 如果如果n阶矩阵阶矩阵A满足：满足： ATA E (即即A 1 AT) 那么称那么称A为为正交矩阵正交矩阵 简称简称正交阵正交阵。（1）方阵方阵A为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是A的列的列( (行行) )向量向量都是单位向量都是单位向量 且

11、两两正交且两两正交。（2）n阶正交阵阶正交阵A的的n个列个列( (行行) )向量构成向量空间向量构成向量空间Rn的一的一个规范正交基个规范正交基。v重要结论：重要结论：第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型v正交矩阵的性质正交矩阵的性质 (1)(1)若若A为正交阵为正交阵 则则A 1 AT也是正交阵也是正交阵 且且|A| 1 (2)(2)若若A和和B都是正交阵都是正交阵 则则AB也正交阵也正交阵 例例5-45-4证明下列矩阵是正交阵证明下列矩阵是正交阵1111222211112222110022110022P 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型2 2、正交变换、正交变换 定

12、义定义若若P为正交矩阵为正交矩阵 则线性变换则线性变换 称为称为正交变换正交变换。 xPy性质性质 正交变换保持向量的长度不变。即正交变换保持向量的长度不变。即xxxxPPxyyyTTTT则有则有为为正正交交变变换换若若xPy 这说明这说明 经正交变换经正交变换线段的长度保持不变线段的长度保持不变( (从而三角形的形状从而三角形的形状保持不变保持不变) ) 这是正交变换的优良特性这是正交变换的优良特性。第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型5-2 5-2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念Axx则称则称 为方阵为方阵A的的特

13、征值特征值 为为A 的对应于特征值的对应于特征值 的的特征向量特征向量 x说明说明1 1、特征向量特征向量 ，仅对方阵才有，仅对方阵才有特征值特征值问题。问题。xO 2 2、n阶方阵阶方阵A的特征值，就是使齐次线性方程组的特征值，就是使齐次线性方程组 有非零解的有非零解的值，即满足方程值，即满足方程 的的都是矩阵都是矩阵A的的特征值特征值。()0AE x0AE 定义定义 设设A是是n阶矩阵阶矩阵 如果存在数如果存在数 和和n维非零向量维非零向量 满足：满足：x第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型0AE1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa3 3、 称为以称为以为未知

14、数的一元为未知数的一元n次次方程组方程组 为为A的的特征方程特征方程。0AE 记记 ，它是，它是的的n次多项式，称其为方阵次多项式，称其为方阵A的的特征多项式特征多项式。( )fAE第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型二、特征值与特征向量的求法二、特征值与特征向量的求法求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤：EA0 xEAi1、计算计算A的特征多项式：的特征多项式：2、求特征方程求特征方程A- - E=0的全部根的全部根 1， 2， ， n即为即为A的全部特征值的全部特征值3、对于特征值对于特征值 i ，求齐次方程组，求齐次方程组的的非零解解非零解解，就是对应特征

15、值，就是对应特征值 i 的特征向量。的特征向量。第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 例例5-55-5求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。 3113A 解解 的的特特征征多多项项式式为为A3113)2)(4(. 4, 221的特征值为的特征值为所以所以A0)2(,21xEA对对应应的的特特征征向向量量应应满满足足时时当当11 1p方程的基础解系为：方程的基础解系为：)0(,21111kpk对对应应的的全全部部特特征征向向量量为为时时第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型0)4(,42xEA对对应应的的特特征征向向量量应应满满足足时时当当11 2p方程的基础解

16、系为：方程的基础解系为：)0(,42222kpk对对应应的的全全部部特特征征向向量量为为时时第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 例例5-65-6求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。 201034011A 解解 的的特特征征多多项项式式为为A201034011EA2)1)(2(1, 2321的的特特征征值值为为A由由解解方方程程时时当当. 0)2(,21xEA0010140132EA000010001r第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型得得基基础础解解系系100 1p的的全全部部特特征征值值是是对对应应于于2)0(1111kpk由由解解方方程程时时当当.

17、 0)(,132xEA101024012EA000210101r得得基基础础解解系系121 2p)0(:122232kpk的的全全部部特特征征值值对对应应于于第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 例例5-75-7求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。 314020112A 解解 314020112EA2)2)(1(2, 1321的特征值为的特征值为A111030414AE101010000r当当 。由。由 11,()0AE x解解方方程程111(0)k p k 对应对应1 1=1=1的全部特征值为：的全部特征值为：第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型4112

18、000411AE411000000r当当 。由。由 232,(2)0AE x解解方方程程得基础解系：得基础解系：2.011,014 pp 223323(,0)不全为k pk pkk对应对应2 2= =3 3=2=2的全部特征值为：的全部特征值为：第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型三、特征值与特征向量的性质三、特征值与特征向量的性质性质性质1 1 若若是矩阵是矩阵A的特征值，则的特征值，则(1) (1) m是矩阵是矩阵Am的特征值的特征值(m是正整数）是正整数）(2)(2)若若A可逆，则可逆，则 -1-1是是A-1-1特征值特征值(3) (3) ()是是 (A)的特征值的特征值,其中

19、其中2012( )mmAaa Aa Aa A2012( )mmaaaa 是是矩阵多项式矩阵多项式是是多项式多项式第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型121122(1)nnnaaa12(2)nA 性质性质2 2、设设n阶方阵阶方阵A的特征值为的特征值为1，2，n，则，则 例例 设矩阵设矩阵 则则A的特征值为的特征值为( )( )110101011A (A) 1,0,11,0,1 (B)1,1,2;1,1,2; (C) -1,1,2; -1,1,2; (D)-1,1,1-1,1,1第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 例例5-95-9设设3阶矩阵阶矩阵A的特征值为的特征值为1

20、1 2 求求|A* 3A 2E| 解解 因为因为A的特征值全不为的特征值全不为0 0 知知A可逆可逆 故故A* |A|A 1 而而|A| 1 2 32 所以所以2A 1 3A 2E A* 3A 2E 把上式记作把上式记作 (A) 故故 (A)的特征值为的特征值为 有有 ( )2 1 3 2 (1)1 ( 1)3 (2) 3 9 ( 1)( 3) 3 于是于是 |A* 3A 2E| 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 性质性质3 3 定理定理5-25-2设设 1 2 m是方阵是方阵A的的m个不同特征值个不同特征值 是对应的特征向量是对应的特征向量 则则 线性无关线性无关。mppp,2

21、1mppp,21 说明：说明：矩阵矩阵A不同特征值对应的特征向量之间线性无关；不同特征值对应的特征向量之间线性无关； 例例5-105-10设设 1和和 2是方阵是方阵A两两个不同特征值个不同特征值 对应的特对应的特征向量为征向量为 和和 证明证明 不是不是A的特征向量的特征向量。21pp21pp第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型5-3 5-3 相似矩阵相似矩阵一、相似矩阵与相似变换的概念一、相似矩阵与相似变换的概念 定义定义 设设A B都是都是n阶矩阵阶矩阵 若有可逆矩阵若有可逆矩阵P 使使P 1AP B则称则称B是是A的的相似矩阵相似矩阵 或说矩阵或说矩阵A与与B相似相似。 对对

22、A进行运算进行运算P 1AP称为对称为对A进行进行相似变换相似变换 可逆可逆矩阵矩阵P称称为把为把A变成变成B的相似变换矩阵的相似变换矩阵。 注：注：相似矩阵一定是等价矩阵相似矩阵一定是等价矩阵。等价矩阵具有相同的秩，而。等价矩阵具有相同的秩，而相似矩阵不仅具有相同的秩，而且具有相同的行列式和特征值。相似矩阵不仅具有相同的秩，而且具有相同的行列式和特征值。第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 定理定理5-35-3 若若n阶矩阵阶矩阵A与与B相似相似 则则A与与B具有相同的特征值具有相同的特征值。 推论推论11若若n阶矩阵阶矩阵A与与B相似相似 则则|A| = |B| 。 推论推论22

23、若若n阶矩阵阶矩阵A与一个对角矩阵与一个对角矩阵diag( 1 2 n) 相似相似 则则 1 2 n即是即是A的的n个特征值个特征值。说明说明(1)(1)推论推论2 2为求矩阵特征值提供了新的方法；为求矩阵特征值提供了新的方法；(2)(2)若若n阶矩阵阶矩阵A与对角矩阵相似，则称矩阵与对角矩阵相似，则称矩阵A可对角化。可对角化。第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型二、利用相似变换将方阵对角化二、利用相似变换将方阵对角化使使若若可可找找到到可可逆逆矩矩阵阵阶阶方方阵阵对对, PAn)(1对角阵对角阵APP.对对角角化化就就称称为为把把方方阵阵 A 定理定理44n阶矩阵阶矩阵A可对角化的

24、充分必要条件是：可对角化的充分必要条件是：什么样的矩阵什么样的矩阵A可对角化？如何对角化？下面的定理给出回答。可对角化？如何对角化？下面的定理给出回答。 A有有n个个线性无关线性无关的特征向量。的特征向量。第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型证明证明,1为为对对角角阵阵使使假假设设存存在在可可逆逆阵阵APPP.,21npppPP用用其其列列向向量量表表示示为为把把 nnnppppppA212121,即即.,2211nnppp,1PAPAPP得得由由第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型121122,nnnAp ApApppp., 2 , 1nippAiii于于是是有有., 的

25、的特特征征向向量量的的对对应应于于特特征征值值就就是是的的列列向向量量而而的的特特征征值值是是可可见见iiiApPA,.nPAPP这 个特征向量即可构成矩阵使12,.npppP又由于线性无关 所以 可逆,即A与对角矩阵相似，因此可对角化命题得证。命题得证。第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 推论推论 如果如果n阶矩阵阶矩阵A的的n个特征值个特征值互不相等互不相等 则则A一定可以对角一定可以对角化化。（。（充分条件充分条件） 说明说明 如果如果A的特征方程有重根，此时不一定有的特征方程有重根，此时不一定有n 个线性无关个线性无关的特征向量，从而矩阵的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化

26、。但如果能找到不一定能对角化。但如果能找到n个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量， A还是能对角化还是能对角化第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型163053064AA能否对角化？若能对角化，求出可逆阵能否对角化？若能对角化，求出可逆阵P，使使为对角称。为对角称。 例例5-115-11设设APP1解解 163053064EA 212 . 2, 1321 的的全全部部特特征征值值为为所所以以A第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型得得方方程程组组代代入入将将0121xEA 063063063212121xxxxxx解之得基础解系解之得基础解系,0121.1002得得方方程

27、程组组的的基基础础解解系系代代入入将将, 02 3xEA.1113第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型.,321线性无关线性无关由于由于110101102, 321P令令.200010001 1APP则则有有第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型注意注意(1)(1)n阶方阵阶方阵A对角化：即存在可逆阵对角化：即存在可逆阵P使使nAPP211 1 2 n为为A的的n个特征值个特征值。 为为特征值特征值 i对应的特征向量，且对应的特征向量，且inppppP),( 21线线性性无无关关nppp,21第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型, ,213P若若令令111 012

28、100. 1 APP则则有有00 00002 11即矩阵即矩阵P的列向量和对角矩阵中特征值的的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互位置要相互对应对应(2)(2)第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型三、利用相似矩阵求矩阵多项式三、利用相似矩阵求矩阵多项式 若矩阵若矩阵A与对角阵相似。即存在可逆阵与对角阵相似。即存在可逆阵P，使使1、求矩阵乘幂、求矩阵乘幂AkAPP1knkkk21则则 Ak P kP 1其中其中n21第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型2、求、求A的多项式的多项式(A) 若矩阵若矩阵A与对角阵相似。即存在可逆阵与对角阵相似。即存在可逆阵P，使使APP1则则(A

29、)P()P1)()()()(21n其中其中第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型.)(,)(OAfAf则则的的特特征征多多项项式式是是矩矩阵阵设设定理定理证明证明.与对角矩阵相似的情形与对角矩阵相似的情形只证明只证明A使使则则有有可可逆逆矩矩阵阵与与对对角角矩矩阵阵相相似似若若,PA),(211ndiagAPP), 2 , 1(0)(,nifAii的的特特征征值值为为其其中中有有由由,1PPA)(Af.1OPOP1)(PPf11)()(PffPn第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型5-4 5-4 对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化 一个一个n阶方阵可以对角化的充分必要条件是具阶

30、方阵可以对角化的充分必要条件是具有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 可见并非所有可见并非所有n阶方阵阶方阵都能对角化都能对角化。 但有一类矩阵却例外，即所有但有一类矩阵却例外，即所有实对称矩阵实对称矩阵都是都是可以对角化的可以对角化的。 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型一、对称矩阵的特征值和特征向量的性质一、对称矩阵的特征值和特征向量的性质说明：说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵实对称矩阵 定理定理5-55-5对称矩阵的特征值为对称矩阵的特征值为实数实数。0)( xEAi 是实系数方程组是实系数方程组 由系

31、数矩阵的行列式由系数矩阵的行列式|A iE| 0知必有实知必有实的基础解系的基础解系 所以对应的所以对应的特征向量特征向量可以取可以取实向量实向量 显然显然 当特征值当特征值 i为实数时为实数时 齐次线性方程组齐次线性方程组第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型., 21212121正正交交与与则则若若特特征征向向量量是是对对应应的的的的两两个个特特征征值值是是对对称称矩矩阵阵设设ppppA 定理定理5-65-6证明证明11122212,AppAppA为对称阵，即为对称阵，即A= =AT。故有。故有11111TTTppAp11,TTTp Ap A于是于是11212122TTTp pp

32、Appp 212,Tp p 12120 Tp p 1212pp与与正正交交120Tp p 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 定理定理5-75-7设设A为为n阶对称阵阶对称阵 则必有正交阵则必有正交阵P 使使P 1AP PTAP 其中其中 是以是以A的的n个特征值为对角元的对角矩阵。个特征值为对角元的对角矩阵。该定理表明：该定理表明： 对称矩阵对称矩阵正交相似正交相似于对角矩阵。于对角矩阵。 推论推论 设设A为为n阶对称阵阶对称阵 是是A的特征方程的的特征方程的k重根重根 则矩则矩阵阵A- - E的秩的秩R(A- - E)=n- -k , ,从而对应特征值从而对应特征值 恰有恰有k

33、个线性个线性无关无关的特征向量的特征向量。 v说明：说明： 此性质是此性质是对称矩阵所特有对称矩阵所特有的，即的，即n阶对称阵恰好有阶对称阵恰好有n个个线性无关的特征向量线性无关的特征向量。第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型二、对称矩阵的对角化方法二、对称矩阵的对角化方法根据上述结论，利用根据上述结论，利用正交矩阵正交矩阵将将对称阵对称阵A对角化对角化，具，具体步骤体步骤为：为：（1 1）求出求出A的全部互不相等的的全部互不相等的特征值特征值1 1, ,2 2, , ,s , ,它们的重它们的重数依次为数依次为k1 1, ,k2 2, , ,ks ( (k1 1+ +k2 2+ +

34、 +ks = =n) )。（2 2）对每个对每个ki重特征值重特征值s , ,求方程求方程 的基础解系，的基础解系，得得ki个线性无关的个线性无关的特征向量特征向量。再将其。再将其正交化正交化、单位化单位化，得到，得到ki个两两正交的单位特征向量。因个两两正交的单位特征向量。因 ，故总共可，故总共可得得n个两两正交的单位特征向量。个两两正交的单位特征向量。0AE x12skkkn（3 3）把这把这n个两两正交的单位特征向量构成个两两正交的单位特征向量构成正交阵正交阵P，便，便有有 . .注意注意 的对角元的排列次序与的对角元的排列次序与P中列中列向量的排列次序相对应。向量的排列次序相对应。1T

35、P APPAP第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 例例5-125-12 设设 求正交阵求正交阵 P 使使P 1AP为对角阵为对角阵 011101110A 解解(1)(1)第一步第一步 求求A的特征值的特征值111111AE 212得特征值得特征值 1 2 2 3 1. . (2)(2)第二步第二步 求求A的特征向量的特征向量 对应对应 12 解方程解方程(A+2E)x 0 由由第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型2112121112AE r101011000基础解系为：基础解系为：1111 单位化单位化111131p对应对应 2 3 1 解方程解方程 (A E)x 0 由

36、由111111111AE r000000111第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型基础解系为：基础解系为：23111,001 正交化正交化22110取取3233222, 1111101122102 单位化单位化211120p311162p 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型将将 构成构成正交矩阵正交矩阵P：123,p pp123111326111(,)32612036Pp pp 有：有：1200010001P AP(3)(3)第三步第三步 构成正交阵构成正交阵P第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 例例5-135-13 设设 求求An 2112A提示提示 因因A

37、为对称阵为对称阵 故故A可对角化可对角化 即有可逆阵即有可逆阵P及对角阵及对角阵 从而从而An P nP 1 于是于是A P P 1 使使P 1AP 解解(1)(1) 求求A的特征值的特征值21(1)(3)12AE得得A的特征值：的特征值：121,3第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 对应对应 1 1 解方程解方程(A-E)x 0 得基础解系：得基础解系：111 单位化单位化11112p 对应对应 2 3 解方程解方程(A-3E)x 0 得基础解系：得基础解系：211单位化单位化21112p(2)(2) 求正交阵求正交阵P使使P 1AP 12111(,)112Pp p1111112

38、TPPP第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型1003 (2)(2) 求求An111112P1P AP 1AP P1nnAPP11101111103112n1 31 312 1 31 3nnnn第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型1 1、对称矩阵的性质：、对称矩阵的性质：三、小结三、小结 (1)(1)特征值为实数；特征值为实数； (2)(2)属于不同特征值的特征向量正交；属于不同特征值的特征向量正交； (3)(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；的个数相等； (4)(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩

39、必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值阵对角元素即为特征值2 2、利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：、利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： (1)(1)求特征值；求特征值；(2)(2)找特征向量；找特征向量；(3)(3)将特征向将特征向量正交化、单位化；量正交化、单位化；(4)(4)对角化对角化第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型,111111111 A.00100100 nB思考题思考题.,是是否否相相似似判判断断下下列列两两矩矩阵阵BA第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型. 0,:321nnA的的特特征征值值为为思考题解答：思考题解答：11

40、1111111EA111111nnn111111111)(n0000111)(n1)(nn第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型使使得得存存在在可可逆逆矩矩阵阵是是实实对对称称矩矩阵阵又又,1PA00111nAPP1)()det( nnEB还还可可求求得得.有相同的特征值有相同的特征值与与即即AB第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型212BPP212111 BPPAPP从从而而BPAPPP121112 即即。BA相似相似与与故故,1, 02个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量有有对对应应特特征征值值nBn使使得得故故存存在在可可逆逆矩矩阵阵,2P00n第五章第五章 相似矩

41、阵及二次型相似矩阵及二次型5-5 5-5 二次型及其标准形二次型及其标准形在解析几何中在解析几何中 为了便于研究二次曲线为了便于研究二次曲线ax2 bxy cy2 1的几何性质的几何性质 我们可以选择适当的坐标我们可以选择适当的坐标旋转变换旋转变换cossinsincosyxyyxx把方程化为把方程化为标准形标准形mx 2 ny 2 1 化标准形的过程就是通过变量的化标准形的过程就是通过变量的线性变换线性变换化简一个二次化简一个二次齐次多项式齐次多项式 使它使它只含有平方项只含有平方项 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型一、二次型及其标准形的概念一、二次型及其标准形的概念 定义定义

42、 含有含有n个变量个变量x1 x2 xn的二次齐次函数的二次齐次函数 称为称为二次型二次型。 22212111222(,)nnnnf x xxa xa xa x121213131,1222nnnna x xa x xaxx当当aij 是实数时，称是实数时，称 f 为为实二次型实二次型； 当当aij 是复数时，称是复数时，称 f 为为复二次型复二次型； 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型, ,如如2221122nnfk yk yk y称为二次型的称为二次型的标准形标准形（或（或法式法式）例如：例如：22212312313,2454f x xxx

43、xxx x为为二次型；二次型；222123123,44f x xxxxx为二次型的标准形为二次型的标准形. . 如果二次型的标准形形如如果二次型的标准形形如f y12 y22 yp2 yp 12 yn2 称为二次型的称为二次型的规范形规范形。第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型二、二次型的表示方法二、二次型的表示方法1 1、和号表示、和号表示22212111222(,)nnnnf x xxa xa xa x121213131,1222nnnna x xa x xaxx 令令aij aji 则则11111221()nnfx a xa xa x,1nijiji ja x x2211222

44、2()nnxa xaxax1122()nnnnnnnxa xax xax2ijijijijjijia x xa x xa x x第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型2 2、用矩阵表示、用矩阵表示222111222nnnfa xa xa x121213131,1222nnnna x xa x xaxx11111221()nnfx a xa xa x22112222()nnxa xaxax1122()nnnnnnnxa xax xax11112212112222121122(,)nnnnnnnnnna xa xa xa xaxaxfxxxa xaxax第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩

45、阵及二次型1112112122221212,nnnnnnnnaaaxaaaxfx xxaaax11121121222212,nnnnnnnaaaxaaaxaaaxAx令令 则则 二次型可记作二次型可记作 ：其中其中A是一个对称矩阵是一个对称矩阵。Tfx Ax第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型对称矩阵对称矩阵A叫做叫做二次型二次型 f 的矩阵的矩阵。三、二次型的矩阵和秩三、二次型的矩阵和秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定

46、一个二次型这样，地确定一个二次型这样，二次型二次型与与对称矩阵对称矩阵之间存在一之间存在一一对应的关系：一对应的关系：f 也叫做也叫做对称矩阵对称矩阵A的二次型的二次型。对称矩阵的秩对称矩阵的秩就叫做就叫做二次型二次型 f 的秩的秩。 Tfx Ax第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型例例写出二次型写出二次型 的矩阵。的矩阵。22212312232346 fxxxx xx x解解, 3, 2, 1332211aaa, 22112 aa, 03113 aa. 33223 aa330322021A第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型四、化二次型为标准形四、化二次型为标准形1111

47、1221221122221122,nnnnnnnnnnxp yp yp yxp yp yp yxp yp yp y设设对于二次型，我们讨论的主要问题是：对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形可逆的线性变换，将二次型化为标准形xPy记记P=(Pij)，则上述可逆线性变换可记为：，则上述可逆线性变换可记为：第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 ,TxPyfx Ax将代入有将其代入二次型中，使其只含平方项，即：将其代入二次型中，使其只含平方项，即：2221122nnfk yk yk yxAxfTTTyP AP yTPyA Py 定义定义 设设A和和B是

48、是n阶矩阵，若有可逆矩阵阶矩阵，若有可逆矩阵P 使使B PTAP 则则称矩阵称矩阵A与与B合同合同 v合同矩阵合同矩阵 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型说明：说明： （1 1） 若若A与与B合同（即存在可逆阵合同（即存在可逆阵P，使，使B PTAP） 若若A为对称，为对称，则则B也为对称阵也为对称阵 且且R(B) R(A) （2 2）经可逆变换经可逆变换x Py后后 二次型二次型 f 的矩阵由的矩阵由A变为与变为与A合同的矩合同的矩阵阵PTAP 且二次型的秩不变且二次型的秩不变。（3 3）三种关系：三种关系：,BPAQ 等价关系：等价关系： P、Q可逆可逆 相似关系：相似关系：1

49、,BP AP P 可逆可逆 合同关系：合同关系：,TBP AP P可逆可逆等价等价相似相似合同合同 对称阵对称阵 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型分析分析 即要使即要使PTAP成为对角阵成为对角阵 因此因此 我们的主要问题就是我们的主要问题就是 对于对称对于对称阵阵A 寻求可逆矩阵寻求可逆矩阵P 使使PTAP为对角阵为对角阵 联想联想上节的知识上节的知识 任给对称阵任给对称阵A 总有正交阵总有正交阵P 使使P 1AP PTAP 2221122()TTTnnfx AxyP AP yk yk yk ynnnyyykkkyyy212121),(要使二次型要使二次型 f 经可逆变换经可逆

50、变换 变成标准形变成标准形 即即xCy第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 把此结论应用于二次型，可得如下定理：把此结论应用于二次型，可得如下定理：其中其中 1 2 n是是 f 的矩阵的矩阵A的特征值的特征值。2222211nnyyyf 定理定理5-85-8任给二次型任给二次型 总有正交变换总有正交变换 使使 f 化为标准形化为标准形)(1,jiijnjijiijaaxxafyPx 推论推论 任给任给n元二次型元二次型 总有可逆变换总有可逆变换 使使 为规范形为规范形。)()(AAxAxxfTTzCx)( zCf第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 例例5-145-14求一

51、个正交变换求一个正交变换 把二次型把二次型 f - -2x1x2 2x1x3+2x2x3 化为标准形。化为标准形。yPx 解解 011101110A0332211aaa12112 aa13113 aa13223 aa（2 2）求矩阵求矩阵A的特征值的特征值（1 1）写出二次型的矩阵写出二次型的矩阵 111111EA)2() 1(2第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型矩阵矩阵A的特征值为的特征值为 12 2 3 1 （3 3）求矩阵求矩阵A的特征向量的特征向量 对应对应 1 - -2 解方程解方程(A+2E)x 0 得基础解系：得基础解系：1111提示提示 2112121112AE r

52、101011000对应对应 2 3 1 解方程解方程( (A- -E) )x=0 0，得基础解系：，得基础解系：111111111AE r01121013000000111第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型(4)(4)求正交矩阵求正交矩阵P将将 正交化：正交化：32,取取0112221121,2222333将将 单位化：单位化：321,111311p011212p211613p第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型将将 构成正交矩阵：构成正交矩阵：321,ppp62031612131612131),(321pppP使使100010002APPT(5)(5) 正交变换正交变换

53、32162031612131612131yyyyPx第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型则把二次型则把二次型f 化成化成规范形规范形：2322212yyyf若令若令33221121zyzyzy把二次型把二次型f 化成化成标准形标准形：232221zzzf第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型5-6 5-6 用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形用用正交变换正交变换化二次型为标准形，其特点是化二次型为标准形，其特点是保持几何形保持几何形状不变状不变问题？问题？有没有其它方法，也可以把二次型化为有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？标准形？问题的回答是肯定的。下面介

54、绍一种行之有效的方问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法法拉格朗日配方法拉格朗日配方法第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型.,62252 323121232221并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵为为标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 例例5-155-15解解32312123222162252xxxxxxxxxf 31212122xxxxx 322322652xxxx 含有平方项含有平方项 2321xxx 322322652xxxx 3223222 xxxx去掉配方后多出来的项去掉配方后多出来的项含有含有x1 1项的配方项的配方第五章第五章 相似矩阵及二次型相

55、似矩阵及二次型322322232144xxxxxxx23223212xxxxx3332232112xyxxyxxxy令令3332232112yxyyxyyyx321321100210111yyyxxx第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型32312123222162252xxxxxxxxxf2221yy 把把f 化成标准形（规范形），其中变换矩阵为化成标准形（规范形），其中变换矩阵为.01,100210111CCyCx经可逆变换经可逆变换第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型.,622 323121并求所用的变换矩阵并求所用的变换矩阵为规范形为规范形化二次型化二次型xxxxxx

56、f 例例5-165-1633212211 yxyyxyyx令令由于所给二次型中无平方项，所以由于所给二次型中无平方项，所以解解321321100011011yyyxxx即即,622323121xxxxxxf代代入入.8422 32312221yyyyyyf得得第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型再配方，得再配方，得.622223232231yyyyyf333223116)2(2)(2 yzyyzyyz令令333223116162216121zyzyzyzzy把把f 化成规范形：化成规范形：232221zzzf第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型所用变换矩阵为所用变换矩阵为6

57、10061212163212161006221061021100011011C.061C第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型（1 1）若二次型含有若二次型含有xi 的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有xi 的乘积的乘积项集中，然后配方；项集中，然后配方；1 1、二次型、二次型含有平方项含有平方项情形情形（2 2）对其余的变量同样进行配方，直到对其余的变量同样进行配方，直到都配成平方项为止都配成平方项为止；（3 3）经过线性变换，就得到标准形（规范形）。经过线性变换，就得到标准形（规范形）。拉格朗日配方法的步骤拉格朗日配方法的步骤2 2、二次型、二次型不含平方项不含平方项情形情形（1 1）若二次型中不含有平方项，但是若二次型中不含有平方项，但是 则先作则先作可逆线性变换：可逆线性变换：)(0jiaij第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型kkjijjiiyxyyxyyxjiknk, 2 , 1且且化二次型为含有平方项的二次型；化二次型为含有平方项的二次型；（2 2）再按再按1 1中（含平方项）中（含平方项）的方法配方。的方法配方。 一般，任何二次型都可用上述两种方法，找到可逆变一般，任何二次型都可用上述两种方法，找到可逆变换，把二次型化成标准形（或规范形）。换，把二次型化成标准形（或规范形）。第五章第五章 相似矩阵及二次