《线性代数》电子教程10(向量组的线性相关性)

1、1线线 性性 代代 数数 电子教案之十2第十讲第十讲 向量组的线性关系向量组的线性关系 主要内容主要内容v 维向量、向量组的概念维向量、向量组的概念nv线性组合与线性表示；线性组合与线性表示；v线性相关与线性无关；线性相关与线性无关；v向量组线性相关性的重要结论向量组线性相关性的重要结论. 基本要求基本要求v理解向量组的线性组合的概念，理解一个向量能理解向量组的线性组合的概念，理解一个向量能 由一个向量组线性表示的概念并熟悉这一概念与由一个向量组线性表示的概念并熟悉这一概念与 线性方程组的联系；线性方程组的联系；v理解理解 维向量的概念，理解向量组的概念及向量维向量的概念，理解向量组的概念及向

2、量 组与矩阵的对应；组与矩阵的对应；n3v理解向量组能由向量组线性表示的概念及其矩理解向量组能由向量组线性表示的概念及其矩 阵表示式，知道这一概念与矩阵方程的联系阵表示式，知道这一概念与矩阵方程的联系. 知道两个向量组等价的概念；知道两个向量组等价的概念；v理解向量组线性相关、线性无关的概念，并熟理解向量组线性相关、线性无关的概念，并熟 悉这一概念与齐次线性方程组的联系悉这一概念与齐次线性方程组的联系.4一、一、 维向量维向量n第一节第一节 向量组及其线性组合向量组及其线性组合定义定义 个有次序的数个有次序的数 所组成的数组所组成的数组称为称为 维向量维向量，nnaaa,21n 这这 个数称为

3、该向量的个数称为该向量的 个个分量分量，第，第 个数个数 称为称为第第 个分量个分量.nniiai说明说明向量分为实向量和复向量，分量全为实数的向量向量分为实向量和复向量，分量全为实数的向量 称为称为实向量实向量，分量全为复数的向量称为，分量全为复数的向量称为复向量复向量. 个数组成的有序数组可以写一行，也可以写成个数组成的有序数组可以写一行，也可以写成 一列，写成一行称为一列，写成一行称为行向量行向量，写成一列称为，写成一列称为列向列向 量量，也就是行矩阵和列矩阵，也就是行矩阵和列矩阵.n 规定行向量和列向量规定行向量和列向量都按矩阵的运算规则进行运算都按矩阵的运算规则进行运算.列向量常用小

4、写黑体字母列向量常用小写黑体字母 表示，或用表示，或用 希腊字母希腊字母 表示表示. 行向量则用列向量行向量则用列向量 的转置表示的转置表示. ,cba ,5二、向量组二、向量组1.定义定义 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做所组成的集合叫做向量组向量组.6三、向量组的线性组合三、向量组的线性组合定义定义 给定向量组给定向量组 ，对于任何一组，对于任何一组实数实数 ，表达式，表达式mA ,:21mkkk,21mmkkk 2211称为向量组称为向量组 的一个的一个线性组合线性组合， 称为这称为这个个线性组合的系数线性组合的系数.Amk

5、kk,21说明说明向量组的线性组合就是向量的线性运算的表达式向量组的线性组合就是向量的线性运算的表达式.线性组合的系数可以是任意实数线性组合的系数可以是任意实数.7四、线性表示的概念四、线性表示的概念定义定义 给定向量组给定向量组 和向量和向量 ，如果如果存在一组数存在一组数 ，使得，使得mA ,:21mkkk,21 ,2211mmkkk 即即 是向量组是向量组 的线性组合，则称向量的线性组合，则称向量 能由向量能由向量组组 线性表示线性表示. A A8五、线性表示与方程的联系五、线性表示与方程的联系根据以上说明，线性表示与方程的联系为：根据以上说明，线性表示与方程的联系为：向量向量 能由向量

6、组能由向量组 线性表示线性表示 m ,21线性方程线性方程 有解有解. mmxxx22119六、线性表示的判定六、线性表示的判定定理定理1 向量向量 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示的充分必要条件是矩阵的充分必要条件是矩阵 的秩等的秩等于矩阵于矩阵 的秩的秩. m ,21),(21mA ),(21 mB 根据线性表示与方程的联系和方程组的理论，得根据线性表示与方程的联系和方程组的理论，得（上章定理（上章定理5）10例例1 设设,1301,0411,3121,2211321 证明向量证明向量 能由向量组能由向量组 线性表示，并求线性表示，并求出表示式出表示式. 321, 解解 析：此题的目

7、的是运用定理析：此题的目的是运用定理1证明向量能否由一证明向量能否由一个向量组线性表示，另外，此题涉及个向量组线性表示，另外，此题涉及线性表示式线性表示式的的求法求法. 由定义知，向量由定义知，向量 能由向量组能由向量组 线性线性表示表示 321, 方程方程 有解，即有解，即 有解，有解，332211 xxx Ax 这表明这表明 由向量组由向量组 线性表示的表线性表示的表示式与方程示式与方程 的解是一一对应的的解是一一对应的.321, Ax例题讲解例题讲解11),(321 B),(321 A记记12rr 132rr 142rr 23rr 24rr 可见可见),()(BRAR 因此，向量因此，向

8、量 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示.321, 21rr 例题讲解例题讲解 1032341201211111B 1210121012101111 0000000012101111 000000001210230112由上述行最简形，可得方由上述行最简形，可得方程程 的的通解为通解为332211 xxx ,1223012123321 ccccxxx因而，所求的表示式为因而，所求的表示式为,) 12() 23(321 ccc .Rc 例题讲解例题讲解 000000001210230113一、线性相关与线性无关的概念一、线性相关与线性无关的概念第二节第二节 向量组的线性相关性向量组的线性相关性

9、定义定义 给定向量组给定向量组 ，如果，如果存在存在不全不全为零的数为零的数 ，使，使mA ,:21mkkk,21, 02211 mmkkk 则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关.A说明说明说向量组说向量组 线性相关，通常是指线性相关，通常是指 的情形，但上述定义也适用的情形，但上述定义也适用 的情形：的情形：m ,212 m1 m当当 时，向量组只含一个向量时，向量组只含一个向量.1 m 向量组向量组 ，当，当 时是线性相关的，当时是线性相关的，当 时是线性无关的时是线性无关的. 0 0 14二、线性相关与齐次方程组的联系二、线性相关与齐次方程组

10、的联系v 向量组向量组 线性相关线性相关m ,21齐次线性方程组齐次线性方程组有非零解有非零解.02211 mmxxx v 向量组向量组 线性无关线性无关m ,21齐次线性方程组齐次线性方程组只有零解只有零解.02211 mmxxx 15三、线性相关与线性无关的判定三、线性相关与线性无关的判定定理定理4 向量组向量组 线性相关线性相关的充要条件的充要条件是它所构成的矩阵是它所构成的矩阵 的秩的秩小于小于向向量个数量个数 ，即，即 ；向量组；向量组 线线性无关性无关的充要条件是它所构成的矩阵的秩的充要条件是它所构成的矩阵的秩等于等于向量向量个数个数 ，即，即 .m ,21),(21mA mmAR

11、 )(mmAR )(m ,2116例例 已知已知 ,742,520,111321 试讨论向量组试讨论向量组 及向量组及向量组 的线性相关性的线性相关性.321, 21, 证证析：此题是一个具体问题，根据定理析：此题是一个具体问题，根据定理4，需，需要计算要计算 和和 .),(321 R),(21 R),(321 12rr 13rr 22 r235rr 751421201 550220201 000110201由此可见由此可见, 2),(321 R, 2),(21 R所以所以321, 线性相关；线性相关；线性无关线性无关.21, 例题讲解例题讲解17例题讲解例题讲解注意：注意：r),(321 0

12、00110201),(31 ,001021 r),(32 r,001120 可见可见, 2),(32 R, 2),(31 R所以所以31, 向量组向量组 线性相关；线性相关； 向量组向量组 线性无关线性无关.32, 18例例7 已知向量组已知向量组 线性无关，线性无关， 试证向量组试证向量组 线线性无关性无关.321, ,211 ,322 ,133 321, 证证 析：此例具有典型意义，它讨论在给定线性无析：此例具有典型意义，它讨论在给定线性无关的向量组关的向量组 的条件下，由它们的若干个线性组合的条件下，由它们的若干个线性组合所构成的向量组所构成的向量组 的线性相关性的线性相关性. AB 对

13、于这一类未给出分量数值对于这一类未给出分量数值的向量组的线性相关性下面给出三种方法，都具有的向量组的线性相关性下面给出三种方法，都具有一般意义一般意义. 因因 组向量没有组向量没有具体给出它们的分量，故不能具体计算出具体给出它们的分量，故不能具体计算出 组向量，组向量，也就无从通过初等行变换等方法求也就无从通过初等行变换等方法求 组的秩，进而组的秩，进而判定它是否线性相关判定它是否线性相关. ABB例题讲解例题讲解19证证 设有设有 使使 321,xxx, 0332211 xxx即即, 0)()()(133322211 xxx亦即亦即, 0)()()(332221131 xxxxxx因因 线性

14、无关，故有线性无关，故有321, . 0, 0, 0322131xxxxxx由于此方程组的系数行列式由于此方程组的系数行列式, 02110011101 例题讲解例题讲解20故方程组只有零解故方程组只有零解 ，所以向量组，所以向量组 线性无关线性无关.0321 xxx321, 例题讲解例题讲解21说明说明证法是把证明向量组证法是把证明向量组 线性无关转化为证明齐次线性无关转化为证明齐次 方程组方程组 只有零解，这是讨论只有零解，这是讨论 向量组线性相关性时常用的向量组线性相关性时常用的“标准程序标准程序”.然后完全然后完全 用方程的语言证得结论用方程的语言证得结论.B0332211 xxx22四

15、、向量组线性相关性的其它重要结论四、向量组线性相关性的其它重要结论向量组向量组 线性相关的充要条线性相关的充要条件是存在某个向量件是存在某个向量 ，使，使 能由能由其余其余 个向量线性表示个向量线性表示.)2(,21 mm j )1(mj j 1 m2. （定理（定理5）（）若向量组）若向量组 线性相关，则向量线性相关，则向量 组组 也线性相关也线性相关.s ,21mss ,121 （） 个个 维向量组成的向量组，当维向量组成的向量组，当 时时一定线性相关一定线性相关.mnnm （）设向量组）设向量组 线性无关，而向线性无关，而向量组量组 线性相关，则向量线性相关，则向量 必能由必能由向量组向

16、量组 线性表示，且表示式是唯一的线性表示，且表示式是唯一的.sA ,:21 ,21s A证明证明证明证明证明证明23说明说明定理定理5（）表明，线性相关的向量组添加向量）表明，线性相关的向量组添加向量 后，仍然是线性相关的后，仍然是线性相关的. 特别地，含有零向量的特别地，含有零向量的 向量组线性相关向量组线性相关. 反之，线性无关的向量组减少反之，线性无关的向量组减少 向量后，仍然是线性无关的向量后，仍然是线性无关的.结论结论1表明线性相关的向量组中的向量不是表明线性相关的向量组中的向量不是“独独 立立”的的. 相应地，向量组相应地，向量组 线性无关的充要条件线性无关的充要条件是是 中任意一

17、个向量均不能由其余向量线性表中任意一个向量均不能由其余向量线性表示示.AA 这形象地表明，线性无关的向量组中的向量这形象地表明，线性无关的向量组中的向量“谁也表示不了谁谁也表示不了谁”.定理定理5（）表明，向量个数超过向量维数向量）表明，向量个数超过向量维数向量 组线性相关组线性相关. 特别地，在平面中找不到三个线性特别地，在平面中找不到三个线性 无关的向量，在无关的向量，在 维超平面中找不到维超平面中找不到 个线性个线性 无关的向量无关的向量.n1 n24例题讲解例题讲解 设向量组设向量组 线性相关，向量组线性相关，向量组线性无关，证明线性无关，证明321, 432, （1） 能由能由 线性

18、表示；线性表示；1 32, （2） 不能由不能由 线性表示线性表示.4 321, 证证（1）因为）因为 线性无关，则线性无关，则 线性无关，线性无关，432, 32, 又又 线性相关，线性相关，321, 因此因此 能由能由 线性表示线性表示.1 32, （2） 用反证法用反证法 假设假设 能由能由 线性表示，即线性表示，即4 321, 存在存在 ，使，使321,kkk，3322114 kkk 又由（又由（1）知存在）知存在 ，使，使21,ll,32211 ll 从而有从而有，332122114)()( klkklk 这与这与 线性无关矛盾线性无关矛盾.432, 思考题思考题25（2）方法二）方法二321, 线性相关线性相关, 3),(321 R432, 线性无线性无关关, 3),(432 R而而3),(),(4