第3章 空间力系

1、2022-4-221第三章第三章空间力系空间力系2022-4-222第三章第三章 空间力系空间力系 31 空间汇交力系空间汇交力系 32 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩 33 空间力偶空间力偶 34 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化 主矢和主矩主矢和主矩 35 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程 36 重心重心重点内容：重点内容：空间力系的简化和平衡条件；空间力系的简化和平衡条件；基本要求：基本要求：1、掌握力在空间直角坐标的两种投影方法；、掌握力在空间直角坐标的两种投影方法；2、理解力矩和力偶矩的概念；、理解力矩和力偶矩的概念；3、会应用空间汇交力系的

2、平衡方程求解平衡问题；、会应用空间汇交力系的平衡方程求解平衡问题；4、理解平行力系中心、重心和形心的概念；会确定重心的位置。、理解平行力系中心、重心和形心的概念；会确定重心的位置。2022-4-2233131空间汇交力系空间汇交力系平面汇交力系合成的力多变形法则对平面汇交力系合成的力多变形法则对空间汇交力系是否适用？空间汇交力系是否适用？2022-4-224cosyFFcoszFF对空间多个汇交力是否好用？对空间多个汇交力是否好用？ 用解析法用解析法直接投影法直接投影法1 1、力在直角坐标轴上的投影、力在直角坐标轴上的投影cosFFx2022-4-225间接（二次）投影法间接（二次）投影法si

3、nxyFFsincosxFFsin sinyFFcoszFF2 2、空间汇交力系的合力与平衡条件、空间汇交力系的合力与平衡条件RiFFRxixxFFFRyiyyFFFRzizzFFF合矢量（力）投影定理合矢量（力）投影定理空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力 2022-4-226合力的大小合力的大小222()()()RxyzFFFF（3131）空间汇交力系平衡的充分必要条件是：空间汇交力系平衡的充分必要条件是：0 xF 0yF 0zF 称为空间汇交力系的平衡方程。称为空间汇交力系的平衡方程。( (3-2)3-2)0RF该力系的合力等于零，即该力系的合力等于零，即 由式（由式（3131）cos(

4、, )xRRFFiF方向余弦方向余弦RyRFFjF),cos(RzRFFkF),cos(2022-4-227例例3-13-1 已知：已知：nF、求：力求：力 在三个坐标轴上的投影。在三个坐标轴上的投影。nFsinnzFFcosnxyFFsincossinnxyxFFFcoscoscosnxyyFFF2022-4-228例例3-23-2 已知：已知：物重物重P=P=10kN10kN，CE=EB=DECE=EB=DE；030，求：杆受力及绳拉力求：杆受力及绳拉力解：画受力图如图，解：画受力图如图，列平衡方程列平衡方程0 xF045sin45sin21FF0yF030cos45cos30cos45c

5、os30sin21FFFA0zF030cos30sin45cos30sin45cos21PFFFA结果：结果：kN54. 321 FFkN66. 8AF2022-4-2291 1、 力对点的矩以矢量表示力对点的矩以矢量表示 力矩矢力矩矢32 32 力对点的矩和力对轴的矩力对点的矩和力对轴的矩( )OM Fr F （3333）(3)(3)作用面：力矩作用面。作用面：力矩作用面。(2)(2)方向方向: :转动方向转动方向(1(1）大小）大小: :力力F F与力臂的乘积与力臂的乘积三要素：三要素：r2022-4-2210力对点力对点O O的矩的矩 在在三个坐标轴上的投影为三个坐标轴上的投影为: :(

6、 )OMFxyzFF iF jF k( )ozyxMFyFzF ( )oxzyMFzFxF ()oyzzMFxFyF （3535）rxiyjzk又又( )()() ()OxyzMFrFxiyjzkFiF jFk则则zyxFFFzyxkji（3434）kyFxFjxFzFi )-zF(yFxyzxyz)()(2022-4-22112.2.力对轴的矩力对轴的矩力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零。面内），力对该轴的矩为零。（3-6 6）dFFMFMOZxyxy)(）（2022-4-2212( )()()()xxxxyxzMFMFMFMF=

7、 （3-7）zyF yF z 3 3、 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 已知：力已知：力 , ,力力 在三根轴上的分力在三根轴上的分力 ， ， ，力，力 作作用点的坐标用点的坐标 x, y, zFxFyFzFFFF求：力求：力 对对 x, y, z轴的矩轴的矩yz-0zyFF2022-4-2213xFz= =+ +0 0zFx- -= = （3-83-8）xzF z Fx ( )()()()zzxzyzzMFMFMFMF= -= -yFxxFy+ 0+ 0yxF x F y = = （3-93-9）( )( )ozyxxMFyFzFMF ( )( )o

8、xyyMFzFxFMF ( )( )oyzzzMFxFyFMF 比较（比较（3-53-5）、（）、（3-73-7）、（）、（3-83-8）、（）、（3-93-9）式可得）式可得即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。等于力对该轴的矩。( )()()()yyxyyyzMFMFMFMF2022-4-2214例例3-33-3 已知：已知：, alF求：求：FMFMFMzyx,cosalFFMxcosFlFMysinlFFMz解：把力解：把力 分解如图分解如图F2022-4-221533 33 空间力偶空间力偶1 1、力偶矩以矢量表示、力偶矩以

9、矢量表示 力偶矩矢力偶矩矢1212FFFF空间力偶的三要素空间力偶的三要素（1 1） 大小：力与力偶臂的乘积；大小：力与力偶臂的乘积；（3 3） 作用面：力偶作用面。作用面：力偶作用面。 （2 2） 方向：转动方向；方向：转动方向；2022-4-2216B AM rF力偶矩矢力偶矩矢 （310310）2022-4-2217( ,)()()oooABMF FMFMFrFrF ( ,)()oABMF FrrFM 2 2、力偶的性质、力偶的性质BAMrF力偶矩力偶矩FF因因（2 2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。改变而改变。(1(1）力

10、偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 。2022-4-2218（3 3）只要保持力偶矩矢不变，力偶可在其作用面）只要保持力偶矩矢不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。(,)RRBARM FFrF 12()BArFF12BABArFrF111(,)BArFM F F=111),(FrFFMBA2022-4-2219(4)(4)只要保持力偶矩矢不变，力偶可从其所在平只要保持力偶矩矢不变，力偶可从其所在平面移至另一与此

11、平面平行的任一平面，对刚体面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。的作用效果不变。211FFF332FFF=2022-4-2220(5)(5)力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。定位矢量定位矢量力偶矩矢相等的力偶等效力偶矩矢相等的力偶等效力偶矩矢是自由矢量力偶矩矢是自由矢量自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）滑移矢量滑移矢量2022-4-22213 3力偶系的合成与平衡条件力偶系的合成与平衡条件111222,.,nnnMrF MrFMrF=RiFFiMM有有M为合力偶矩矢，等于各分为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢

12、的矢量和。力偶矩矢的矢量和。如同右图如同右图RF2022-4-2222简写为简写为 （31111）222()()()xixiyizMMMM合力偶矩矢的大小和方向余弦合力偶矩矢的大小和方向余弦,xixyiyzizMMMMMM称为空间力偶系的平衡方程。称为空间力偶系的平衡方程。000 xyzMMM有有空间力偶系平衡的充分必要条件是空间力偶系平衡的充分必要条件是 : :合合力偶矩矢等于零，即力偶矩矢等于零，即 0M MMixcosMMiycosMMizcos0ixM0iyM0izM2022-4-2223例例3-43-4, ,x y z,xyzMMM求：工件所受合力偶矩在求：工件所受合力偶矩在 轴上的

13、投影轴上的投影 。已知：在工件四个面上同时钻已知：在工件四个面上同时钻5 5个孔，每个孔所受个孔，每个孔所受切削力偶矩均为切削力偶矩均为8080NNm。解：把力偶用力解：把力偶用力偶矩矢表示，平偶矩矢表示，平行移到点行移到点A A 。mN1 .19345cos45cos543MMMMMixxmN802MMMiyymN1 .19345cos45cos541MMMMMizz列力偶平衡方程列力偶平衡方程2022-4-2224圆盘面圆盘面O1垂直于垂直于z轴，轴，求求: :轴承轴承A,BA,B处的约束力。处的约束力。例例3-53-5已知：已知：F F1 1=3N=3N，F F2 2=5N=5N，构件自

14、重不计。构件自重不计。两盘面上作用有力偶，两盘面上作用有力偶，圆盘面圆盘面O2垂直于垂直于x轴，轴，AB AB =800mm,=800mm,两圆盘半径均为两圆盘半径均为200200mmmm，解：取整体，受力图如图解：取整体，受力图如图b b所示。所示。解得解得由力偶系平衡方程由力偶系平衡方程0 xM08004002mmmmBzFF0yM08004001mmmmBxFFN5 . 1BxAxFFN5 . 2BzAzFF2022-4-222534 34 空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化主矢和主主矢和主矩矩1 1空间任意力系向一点的简化空间任意力系向一点的简化一空间汇交与空间力偶系等效

15、代替一空间任意力系一空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系其中，各其中，各 ，各，各iiFF）（i0iFMM2022-4-2226RiixiyixFFF iF jF k 称为空间力偶系的主矩称为空间力偶系的主矩()oioiMMMF( )( )( )oxyzMMF iMF jMF k称为力系的主矢称为力系的主矢空间力偶系的合力偶矩空间力偶系的合力偶矩由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有式中，式中， 分别表示分别表示各力各力对对 ， ， , ,轴的矩。轴的矩。( ),( ),( )xyzMFMFMFxyz空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力2022-4-2227

16、有效推进力有效推进力RxF飞机向前飞行飞机向前飞行RyF有效升力有效升力飞机上升飞机上升RzF侧向力侧向力飞机侧移飞机侧移OxM滚转力矩滚转力矩飞机绕飞机绕x x轴滚转轴滚转OyM偏航力矩偏航力矩飞机转弯飞机转弯OzM俯仰力矩俯仰力矩飞机仰头飞机仰头2022-4-22281 1） 合力合力ORMdFORMdF最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为最后结果为一合力。合力作用线距简化中心为2 2 空间任意力系的简化结果分析（最后结果）空间任意力系的简化结果分析（最后结果）0,0,ROROFMFM当当 时，时，0,0ROFM 当当 最后结果为一个合力。最后结果为一个合力。合力作用点过简化中心。合力

17、作用点过简化中心。2022-4-2229()( )OROROMdFMFMF合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的矢量和。之矩的矢量和。合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。（2 2）合力偶）合力偶当当 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化时，最后结果为一个合力偶。此时与简化中心无关。中心无关。0,0ROFM （3 3）力螺旋）力螺旋 当当 时时0,0,RORFMFOM力螺旋中心轴过简化中心力螺旋中心轴过简化中心2022-4-2230当当 成角成角 且且 既不平行也不垂直时既不平行也不垂

18、直时0,0,ROROFMF M,ROF M,力螺旋中心轴距简化中心为力螺旋中心轴距简化中心为sinORMdF（4 4）平衡）平衡当当 时，空间力系为平衡力系时，空间力系为平衡力系0,0ROFM 2022-4-223135 35 空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程空间任意力系平衡的充分必要条件：空间任意力系平衡的充分必要条件：1.空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程000 xyzFFF000 xyzMMM（312312）空间平行力系的平衡方程空间平行力系的平衡方程000zxyFMM（313313）2.2.空间约束类型举例空间约束类型举例3.3.空间力系平衡问题举例空间力系平衡问

19、题举例主矢、主矩分别为零主矢、主矩分别为零2022-4-22321、球形铰链、球形铰链二、空间约束二、空间约束 观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有可能的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。约束反力。阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。例例2022-4-2233球形铰链球形铰链2022-4-22342、向心轴承，蝶铰链，滚珠、向心轴承，蝶铰链，滚珠(柱柱)轴承轴承2022-4-22353、滑动轴承、滑动轴承 2022-4-22364、止推轴

20、承、止推轴承 2022-4-22375、带有销子的夹板、带有销子的夹板2022-4-22386、空间固定端、空间固定端2022-4-2239例例3-73-7 已知：已知：P=P=8kN8kN, ,101kNP各尺寸如图各尺寸如图求：求：A A、B B、C C 处约束力处约束力解：研究对象：小车解：研究对象：小车受力：受力：,1DBAFFFPP列平衡方程列平衡方程0zF 0FMx 0FMy01DBAFFFPP022 . 12 . 01DFPP06 . 02 . 16 . 08 . 01DBFFPP结果：结果：kNkNkN423. 4,777. 7,8 . 5ABDFFF2022-4-2240例例

21、3-8 3-8 已知：已知：,2000NF,212FF ,60,30各尺寸如图各尺寸如图求：求：21,FF及及A A、B B处约束力处约束力解：研究对象，解：研究对象， 曲轴曲轴受力：受力：BzBxAzAxFFFFFFF,21列平衡方程列平衡方程 0 xF 0yF060sin30sin21BxAxFFFF00 2022-4-2241 0zF060cos30cos21BzAzFFFFF 0FMx040020020060cos20030cos21BzFFFF 0FMy0212FFDRF 0FMz040020060sin20030sin21BxFFF结果：结果：,6000,300021NNFF,93

22、97,1004NNAzAxFF,1799,3348NNBzBxFF2022-4-2242例例3-103-10已知：已知：F F、P P及各尺寸及各尺寸 求：求：杆内力杆内力解：研究对象，长方板解：研究对象，长方板受力图如图受力图如图 列平衡方程列平衡方程 0FMAB 0FMAE 0FMAC 0FMEF026PaaF26PF 05F022216baabFPaaF04F01F 0FMFG022bFPbFbPF5 . 12 0FMBC045cos232bFPbbFPF2232022-4-224336 36 重重 心心1 1计算重心坐标的公式计算重心坐标的公式对对y轴用合力矩定理轴用合力矩定理1122

23、.CnniiP xP xP xP xP x有有iiCPxxP对对x轴用合力矩定理轴用合力矩定理有有iiCPyyP2022-4-2244再对再对x轴用合力矩定理轴用合力矩定理1122.CnniiP zP zPzPzP z iiCPzzP则计算重心坐标的公式为则计算重心坐标的公式为iiCPzzPiiCPxxPiiCPyyP（314314）对均质物体，有对均质物体，有:iiCAxxAiiCA yyAiiCAzzA称为重心或形心公式称为重心或形心公式VxVxiicVyVyiicVzVziic对均质板状物体，有对均质板状物体，有:2022-4-22452 2确定重心的悬挂法与称重法确定重心的悬挂法与称重

24、法（1 1） 悬挂法悬挂法图图a a中左右两部分的重量是否一定相等？中左右两部分的重量是否一定相等？2022-4-2246（2 2） 称重法称重法1CP xF l1CFxlP则则有有2CFxlP22211CFFzrlHPH 整理后，得整理后，得若汽车左右不对称，如若汽车左右不对称，如何测出重心距左（或右）何测出重心距左（或右）轮的距离？轮的距离？2022-4-2247例例3-123-12求：其重心坐标求：其重心坐标已知：均质等厚已知：均质等厚Z Z字型薄板尺寸如图所示。字型薄板尺寸如图所示。解解: :厚度方向重心坐标已确定，厚度方向重心坐标已确定，则则用虚线分割如图，用虚线分割如图，为三个小矩

25、形，为三个小矩形，其面积与坐标分别为其面积与坐标分别为只求重心的只求重心的x,y坐标即可。坐标即可。mm151xmm451y21300mmAmm52xmm302y22400mmAmm153xmm53y23300mmAmm2321332211AAAxAxAxAAxAxiiCmm27321332211AAAyAyAyAAyAyiiC2022-4-2248例例3-133-13求：其重心坐标。求：其重心坐标。已知：等厚均质偏心块的已知：等厚均质偏心块的解：用负面积法，解：用负面积法，12344(),033Rrbyyy 由由iiCAyyA222123,() ,22AR Ar bAr而而得得0,Cx由对称性，有由对称性，有r3A小圆（半径为小圆（半径为 ）面积为）面积为 ，为负值。，为负值。rb2A小半圆（半径为小半圆（半径为 ）面积为）面积为 , ,为三部分组成，为三部分组成，1A设大半圆面积为设大半圆面积为 ，mmmmmm13,17,100brRmm01.40321332211