历届高考数学中的随机变量及其分布试题选编自我测试

1、历届高考中的“随机变量及其分布”试题选编（自我测试）一、选择题1.（2007安徽理）以欠x）表示标准正态总体在区间（g,x）内取值的概率，若随机变量服从正态分布N（N,。2）,则概率P（WH<。）等于（）一1L（A）由"+仃）-。）（B）*（1）-*（-1）（C）欠）（D）2*（-<t）2.（2007山东理）位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为1向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是万.质点P移动5次后位于点（2,3）的概率为（）1 52153132315（A）（/C；（05（C）C53（-）3（D）或点万）53. （2007浙江文

2、）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为3局2胜”，即以先赢2局者为胜.根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6,则本次比赛甲获胜的概率是（）（A10.216（B）0.36（C）0.432（D）0.6484. （2007浙江理）已知随机变量服从正态分布N（2,仃2）,P仁W4）=0.84,则P（W0）=（）A.0.16B.0.32C.0.68D,0.845. （2006江西文）袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（）c102c3c4C2。1C3C4。2C3。1C4。103c4c2C4

3、C8c12c16C4C8c12c16厂C4C8C12c16C4C8C12c16a,cB-c"cD,cC40C40C40C406. （2004广东）一台X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（D）0.972810位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连）0.15360.18080.56327.（2004重庆理）某校高三年级举行一次演讲赛共有班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序,而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（A.2B

4、.工C.D，102040120匕12345678910P23232233234235236237238239m8.（2004辽宁）已知随机变量亡的概率分布如下:贝UP(=10)K)2A-939.填空题：9.（2007福建理）两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则a邮箱的信件数t的数学期望E?=10. （2007浙江理）随机变量巴的分布列如下:-101Pabc1.其中a,b,c成等差数列，若E1=，则DU的值是311. （2007全国n理）在某项测量中，测量结果X服从正态分布N（1,O-2）（仃）0）,若z在（0,1）内取值的概率为0.4,则在（0,2）内取值的概率为。12.（2006福建理）一

5、个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0,两个面上标以数1,一个面上标以数2,将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是13. （2005天津理）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%,一旦失败,一年后将丧失全部资金的50%,下表是过去200例类似项目开发的实施结果:投资成功投资失败192次8次则该公司一年后估计可获收益的期望是（元）14. （2004全国H卷理）从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有E个红球，则随机变量E的概率分布为012P三、解答题:15. （2007陕西理）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一

6、轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为9、9、2,且各轮问题能否正555确回答互不影响.（I）求该选手被淘汰的概率；（n）该选手在选拔中回答问题的个数记为e求随机变量E的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示）16. （2007全国n理）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A:“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96.（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p;（2）若该批产品共有100件,从中任意抽取2件，表示取出的件产品中二等品的件数，求的分布列.17. （2006山东理）袋中装着标有数字1,2,

7、3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用E表示取出的3个小球上的最大数字，求:（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）随机变量E的概率分布和数学期望；（3）计分介于20分到40分之间的概率.18. （2006湖南理）某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）.若安检不合格，则必须进行整改.若整改后经复查仍不合格，则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5,整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01）:（I）恰好有两家煤矿必须整改的概率；（n）平均有

8、多少家煤矿必须整改；（出）至少关闭一家煤矿的概率.19. （2005湖南理）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响，设E表示客人离开该城市时游览的景点数与没游览的景点数之差的绝对值。（I）求E的分布及数学期望；（II）记“函数f（x）=x23Ex+1在区间2,+8）上单调递增”为事件A,求事件A的概率。20. (2004福建理)甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答又其中的8题。规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格。(I)求甲答对试题数E

9、的概率分布及数学期望；(n)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。历届高考中的“随机变量及其分布”试题选编(自我测试)参考答案、选择题：(每小题5分，计40分)题号12345678答案BBDADDDC二.填空题：9.2:10.5:11.0.8;12.-;13.4760;14.0.1,0.6,0.33旦9三、解答题：15.(I)解法一：记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为A(i=1,2,3),-432则P(A),P(A,),P(A)=,555,该选手被淘汰的概率p=P(AAAA)=P(QP(A)P&)p(A)p(A)p(A)142433101=+M+MM=555555125,(i)

10、解法二：记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为A(i=1,2,3),一432则P(A)=w，P(4)=口P(A)=n555,该选手被淘汰的概率P=1-P(AA2A3)=1-P(A)P(A2)P(A3)432101=1一一'*=.555125一一一1(n)的可能值为1,2,3,P=1)=P(A)=一,542P(=2)=P(AA)=P(A)P(A2)飞525_4312p(D=p(AA)=P(A)P(A)=4x-=.55251231812P52525L-1c8c1257E；：=1-23=525252516.解：(1)记A。表示事件“取出的2件产品中无二等品”，A表示事件“取出的2件产品中

11、恰有1件二等品”.则Ao,A互斥，且A=Ao+A,故P(A)=P(AoA)=P(A。)P(A1)=(1-p)2C2p(1-p)=1-p22于是0.96=1p.解得p=0.2,p2=-0.2(舍去)(2)的可能取值为01,2.若该批产品共100件，由(1)知其二等品有100M0.2=20件，故P(>0)=孳=竺.P(J)=用=叁.Pd=2)=隼=2C100495C100495C100495012P31616019495495495所以之的分布列为17.解：(I)解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,则P(A)3111C5C2C2C2C；0解法二：“一次取出的3个小球上

12、的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B,则事件A和事件B是互斥事件，因为P(B)=c5c；C8Cw_1所以P(A)=1-P(B)=1-=3(II)由题意巴有可能的取值为：2,3,4,5.P(=2)=c；c2c2c；Ci30130,P(=3)=cjc2c4c；C1OP(=4)=c3c2+c；c；Co310,P(=5)=Co15所以随机变量名的概率分布为32345P123830151015因此w的数学期望为£名=2工工+3M2+4父3+5父”=£301510153(m)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C,则2313P

13、(C)=P("w=3"或"w=4")=P("w=3")+P("£=4")=+=15103018 .解：(I).每家煤矿必须整改的概率是10.5,且每家煤矿是否整改是相互独立的5=一=0.31.16所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是223P1=C5(1-0.5)0.5(11) .由题设，必须整改的煤矿数之服从二项分布B(5,0.5).从而之的数学期望是E之=5M0.5=2.5,即平均有2.50家煤矿必须整改.(m).某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是P2=

14、(10.5)M(1-0.8)=0.1,从而该煤矿不被关闭的概率是0.9.由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是P3=1-0.95=0.4119 .【正确解答】(I)分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”为事件A1,A2,A3.由已知A1,A2,A3相互独立，P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,P(A3)=0.6.客人游览的景点数的可能取值为0,1,2,3.相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3,2,1,0,所以J的可能取值为1,3.P(53)=P(A1A2A3)+P(A1AA3)=P(Ai)P(A2)P(A3)+P(A)P(A2)

15、P(A3)=2X0.4>0.5>0.6=0.24,PY=1)=1-0.24=0.76.所以t的分布列为13P0.760.24E=1X0.76+3X0.24=1.48.(n)解法一因为f(x)=(x久)2十19匕2 43 .一所以函数f(x)=x2-3"x+1在区间却也)上单调递增，2要彳f仁)在2,)上单调递增，当且仅当°之M2,即之44.一.4、从而P(A)=P()=P(=1)=0.76.3解法二：U的可能取值为1,3.当-=1时，函数f(x)=x2-3x+1在区间2,+=c)上单调递增，当。=3时，函数f(x)=x2-9x+1在区间2,收)上不单调递增.0所

16、以P(A)=P(：=1)=0.76.【解后反思】这是一道初等数学与高等数学相结合的中档题.这一类题目要求学生生熟练掌握数学期望、方差的定义、性质和计算，掌握由给出的试验确定随机变量的分布，再计算有关的数字结果.将函数的单调性与高等数学相关系，具有很强的新颖性.20.本小题主要考查概率统计的基础知识，运用数学知识解决问题的能力。满分12分。解：(I)依题意，甲答对试题数E的概率分布如下：g0123F1311301026甲答对试题数E的数学期望EE=0X+1X+2X-+3X1=9.3010265(n)设甲、乙两人考试合格的事件分别为a、B,则C：C：C360202P(A)=3=，C；01203213C8c2c8565614P(B)=3=.C13012015因为事件