计算方法 第六章

1、1 引言 拉格朗日插值 牛顿插值 埃尔米特插值 分段低次插值 三次样条插值三次样条插值2 分段插值 由n+1个控制节点，分为n个小段 约束： n+1个控制节点的函数值 n-1个内部节点的导数连续性注意：只要求导数连续，但对导数值没有要求注意：只要求导数连续，但对导数值没有要求还需要边界条件 正是对连续倒数的阶数连续倒数的阶数的要求决定了样条函数的次数次数3 二次：每一小段都是二次多项式 样条：导数连续（一阶）,)(1121cxbxaxf+= 10 xxx ,2222cxbxa+= 21xxx . . . ,2nnncxbxa+= nnxxx-1 4 每一个小段3个未知数 n个小段，需要n个函数

2、 3n个未知数需要确定 需要3n个约束条件，怎么来？5 2n个（每个小段的两端）)(0101201xfcxbxa=+ )(1111211xfcxbxa=+ . . . )(1121-=+iiiiiixfcxbxa )(2iiiiiixfcxbxa=+ . . . )(1121-=+nnnnnnxfcxbxa )(2nnnnnnxfcxbxa=+ 6 对第一段(x0,x1)有a1x2+b1x+c1的导函数为2a1x+b1 对第二段(x1,x2)有a2x2+b2x+c2的导函数为2a2x+b2 则对节点x1导数连续有21211122bxabxa+=+ 022212111=-+bxabxa 7 n-

3、1个a022323222=-+bxabxa . . . 02211=-+iiiiiibxabxa . . . 0221111=-+-nnnnnnbxabxa 022212111=-+bxbxa 8 要求3n个未知数 已有的条件有2n+(n-1)=3n-1个 条件还差一个 怎么构造3n个约束条件附加条件 a1=0 边界点导数：更改条件9 一种炮耳（轴或耳轴，尤指炮两边形成旋转中轴的两个圆柱形小突起）被冷却，温度从800F到-3400F，下表给出不同温度下的热膨胀系数。请采用二次样条插值的方法确定T =-140F 温度下的热膨胀系数。温度 (oF)热膨胀系数(in/in/oF)806.47 x 1

4、0-606.00 x 10-6-605.58 x 10-6-1604.72 x 10-6-2603.58 x 10-6-3402.45 x 10-6Coefficient of Thermal Expansion vs Temeparture01234567-400-300-200-1000100200Tempearture (F)Coefficient of Thermal Expansion 10-6 (in/in/F)10 有6个插值节点，所以分为5个小段进行插值。二次样条插值函数形式为：,)(1121cTbTaT+=a260340-T ,2222cTbTa+=160260-T ,332

5、3cTbTa+=60160-T ,4424cTbTa+= 060-T ,5525cTbTa+= 800T 30020010001003456yl0.05 h+y00.05 h-yfquadraticrange()fquadraticxdesiredxl0.05 w+x00.05 w-x rangexdesired11第一段样条第一段样条1121cTbTa+ 经过 T = -340 and T = -260, -6112110 x 45.2)340()340(=+-+-cba (1) -6112110 x 58.3)260()260(=+-+-cba (2) 类似的类似的,有有 -6222210

6、 x 58.3)260()260(=+-+-cba (3) -6222210 x 72.4)160()160(=+-+-cba (4) -6332310 x 72.4)160()160(=+-+-cba (5) -6332310 x 58.5)60()60(=+-+-cba (6) -6442410 x 58.5)60()60(=+-+-cba (7) -6442410 x 00.6)0()0(=+cba (8) -6552510 x 00.6)0()0(=+cba (9) -6552510 x 47.6)80()80(=+cba (10) 12 在内部节点（4个）导数连续 追加一个附加条件在

7、 T = -260 0)260(2)260(22211=-+-baba (11) 在 T = -160 0)160(2)160(23322=-+-baba (12) 在 T = -60 0)60(2)60(24433=-+-baba (13) 在 T = 0 0)0(2)0(25544=-+baba (14) 假定第一段的样条函数 1121cTbTa+是线性的,01=a (15) 13=-0000047. 600. 600. 658. 558. 572. 472. 458. 358. 345. 20000000000000010100100000000000000112001120000000

8、000000013200132000000000000001520015201806400000000000000100000000000000000100000000000000160360000000000000000016036000000000000001160256000000000000000001160256000000000000001260676000000000000000001260676000000000000001340510*156. 16-6-6-6-6-6-6-6-6-655544433322211110 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 1

9、0 x 10 x 10 x 10 x cbacbacbacbacba14上述上述15个方程求解可确定个方程求解可确定15个未知数，结果如下：个未知数，结果如下：i ia ib ic 1 0 0.014125-610 x 7.2525-610 x 2 -2.725 x 10-11 -4.5 x 10-11 5.4104-610 x 3 -7.5 x 10-13 0.008435-610 x 6.0888-610 x 4 -2.5417 x 10-11 0.005475-610 x 6-610 x 5 5 x 10-12 0.005475-610 x 6-610 x 15于是，二次于是，二次 样条

10、插值函数得以确定样条插值函数得以确定 ,10 x 2525. 710 x 014125. 0)(-6-6+=TTa 260340-T ,10 x 4104. 510 x 5 . 410 x 725. 2-6-112-11+-=TT 160260-T ,10 x 0888. 610 x 008435. 010 x 5 . 7-6-62-13+-=TT 60160-T ,10 x 610 x 005475. 010 x 5417. 2-6-62-11+-=TT 060-T ,10 x 610 x 005475. 010 x 5-6-62-12+=TT 800 T 在在 T = -14 -6-62-

11、1110 x 6)14(10 x 005475. 0)14(10 x 5417. 2)14(+-+-=-a Finin=-/10 x 9184. 514-6a 此处一次插值和二次插值的相对误差为：此处一次插值和二次插值的相对误差为： 10010 x 8761. 510 x 9184. 510 x 8761. 56-6-6-=a %71987. 0= 16 三次：每一小段都是三次多项式 样条：导数连续（二阶） 如果不说次数，只是说“样条”，默认为三次 因为：“早期工程师制图时,把富有弹性的细长木条(所谓样条)用压铁固定在样点上,在其它地方让它自由弯曲,然后画下长条的曲线,称为样条曲线样条曲线.” 它其实是节点上要求二阶导数连续的分段三次曲线171819书上的表述方法略有不同书上的表述方法略有不同20212223 方法一：利用三次埃尔米特方法需要一阶导数值没有先假定构造好了之后再把它们当未知数解出来 方法二：假定二阶导数值解三弯矩方程 b 方法三：调用24 example205注：matlab默认的边界条件是not-a-knot边界条件，也就是第一个点的三次导数和第二点的三次导数一样第一个点的三次导数和第二点的三次导数一样；最后最后一个点的三次导数和倒数第二个点一样一个点的三次导数和倒数第二个点一样。 25 e