金融工程郑振龙第3章远期与期货的定价

1、2022-4-211第三章第三章远期和期货定价远期和期货定价 2022-4-212一、一、远期价值、远期价格与期货价格远期价值远期价值是指远期合约本身的价值。关于远期价值的讨论要分远期合约签订时和签订后两种情形。 在签订远期合约时，如果信息是对称的，而且合约双方对未来的预期相同，对于一份公平的合约，多空双方所选择的交割价格应使远期价值在签署合约时等于零。 在远期合约签订以后，由于交割价格不再变化，多空双方的远期价值将随着标的资产价格的变化而变化。 第一节远期价格与期货价格2022-4-213远期价格远期价格是指使远期合约签订时价值为零的交割价格。远期价格是理论上的交割价格。关于远期价格的讨论也

2、要分远期合约签订时和签订后两种情形。 一份公平合理的远期合约在签订的当天应使交割价格等于远期价格。如果实际交割价格不等于这个理论上的远期价格，该远期合约价值对于多空双方来说就都不为零 ，实际上隐含了套利空间。在远期合约签订以后，交割价格已经确定，远期合约价值不一定为零，远期价格也就不一定等于交割价格。 2022-4-214类似地，在期货合约中，我们定义期货价格（期货价格（Futures Futures PricesPrices）为使得期货合约价值为零的理论交割价格。但值得注意的是，对于期货合约来说，一般较少谈及“期货合约价值”这个概念。基于期货的交易机制，投资者持有期货合约，其价值的变动来源于

3、实际期货报价的变化。由于期货每日盯市结算、每日结清浮动盈亏，因此期货合约价值在每日收盘后都归零。 2022-4-215二、远期价格与期货价格的关系当无风险利率恒定且对所有到期日都相同时，交割日相同的远期价格和期货价格应相等。 当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期价格。 这是因为当标的资产价格上升时，期货价格通常也会随之升高，期货合约的多头将因每日结算制而立即获利，并可按高于平均利率的利率将所获利润进行再投资。而当标的资产价格下跌时，期货合约的多头将因每日结算制而立即亏损，但是可按低于平均利率的利率从市场上融资以补充保证金。相比之下，远期合约的多头将不会因利率的变动而受到上述影响。在

4、此情况下，期货多头比远期多头更具吸引力，期货价格自然就大于远期价格当标的资产价格与利率呈负相关时，远期价格就会高于期货价格。 (dao)2022-4-216远期价格和期货价格的差异幅度还取决于合约有效期的长短。当有效期只有几个月时，两者的差距通常很小。此外，税收、交易费用、保证金的处理方式、违约风险、流动性等方面的因素或差异都会导致远期价格和期货价格的差异。远期价格与期货价格的定价思想在本质上是相同的，其差别主要体现在交易机制和交易费用的差异上，在很多情况下常常可以忽略，或进行调整。因此在大多情况下，我们可以合理地假定远期价格与期货价格相等，并都用F来表示。 2022-4-217为分析简便起见

5、，本章的分析是建立在如下假设前提下的：1没有交易费用和税收。2市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金。3远期合约没有违约风险。4允许现货卖空。5当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动，从而使套利机会消失，我们得到的理论价格就是在没有套利机会下的均衡价格。 6期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率。这意味着任何人均可不花成本地取得远期和期货的多头和空头地位。三、基本的假设与符号2022-4-218本章将要用到的符号主要有：T：远期和期货合约的到期时间，单位为年。t：现在的时间，单位为年。变量T 和t 是从合约生效之前的某个日期开始计算的，T-t 代表远期和期货合约中以年为单位的距离到

6、期的剩余时间。S：远期（期货）标的资产在时间t时的价格。ST：远期（期货）标的资产在时间T时的价格（在t时刻这个值是个未知变量）。K：远期合约中的交割价格。f：远期合约多头在t时刻的价值，即t时刻的远期价值。2022-4-219F：t时刻的远期合约和期货合约中的理论远期价格和理论期货价格，在本书中如无特别注明，我们分别简称为远期价格和期货价格。r：T时刻到期的以连续复利计算的t时刻的无风险利率（年利率），在本书中，如无特别说明，利率均为连续复利的年利率。2022-4-2110第二节 无收益资产远期合约的定价2022-4-2111本章所用的定价方法为无套利定无套利定价法价法。基本思路为：构建两种

7、投资组合，令其终值相等，则其现值一定相等；否则就可进行套利，即卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的投资组合，并持有到期末，套利者就可赚取无风险收益。众多套利者这样做的结果，将使较高现值的投资组合价格下降，而较低现值的投资组合价格上升，直至套利机会消失，此时两种组合的现值相等。这样，我们就可根据两种组合现值相等的关系求出远期价格。 2022-4-2112例如，为了给无收益资产的远期合约定价，我们构建如下两个组合：组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（Tt）的现金；组合B：一单位标的资产。远期合约现金组合A标的资产组合B一、无套利定价法2022-4-2113在组合A中，Ke-r（Tt）

8、的现金以无风险利率投资，投资期为（Tt）。到T时刻，其金额将达到K。这是因为：Ke-r（Tt）er（Tt）=K在远期合约到期时，这笔现金刚好可用来交割换来一单位标的资产。这样，在T时刻，两种组合都等于一单位标的资产。根据无套利原则：终值相等，则其现值一定相等，这两种组合在t时刻的价值必须相等。即： f+ Ke-r（Tt）=S f=SKe-r（Tt） （3.1） 该公式表明，无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值的差额。或者说,一单位无收益资产远期合约多头等价于一单位标的资产多头和Ke-r（Tt）单位无风险负债的资产组合。 2022-4-2114由于远期价格就是使远期合约

9、价值为零的交割价格 ，即当 =0时， = 。据此可令式（3.1）中的 =0，则 (3.2) ffKKF()r T tFSe这就是无收益资产的现货-远期平价定理（Spot-Forward Parity Theorem），或称现货期货平价定理（Spot-Futures Parity Theorem）。 二、现货远期平价定理2022-4-2115为了证明无收益资产的现货-远期平价定理 ，我们用反证法证明等式不成立时的情形是不均衡的。若KSer（Tt），即交割价格大于现货价格的终值。在这种情况下，套利者可以按无风险利率r 借入S现金，期限为Tt。然后用S购买一单位标的资产，同时卖出一份该资产的远期合约

10、，交割价格为K。在T时刻，该套利者就可将一单位标的资产用于交割换来K现金，并归还借款本息Se r（Tt），这就实现了 KSer（Tt） 的无风险利润。2022-4-2116若Krl 。这时远期和期货的价格区间为：()()1,1r T tr T tSY eSY e()(),lbr T tr T tSeSe二、非完美市场条件下的远期定价2022-4-21333. 存在卖空限制的时候，因为卖空会给经纪人带来很大风险，所以几乎所有的经纪人都扣留卖空客户的部分所得作为保证金。假设这一比例为X，那么均衡的远期和期货价格区间应该是：如果上述三种情况同时存在，远期和期货价格区间应该是：完全市场可以看成是 的特

11、殊情况。)()1,r T tr T tXSeSe（）0,0,lbXYrrr11,1lbrTr TXSY eSY e（）2022-4-2134本书的讨论焦点是金融标的资产的衍生产品，金融标的资产属于投资性资产。所谓投资性资产投资性资产是指投资者主要出于投资目的而持有的资产，如股票、债券等金融资产和黄金、白银等资产。由于投资性资产的投资决策不受消费等其他目的的影响，投资者所关注的是金融资产中所蕴涵的风险收益特征而非金融产品本身，因此标的资产及其期货之间存在高度的可替代性，只要相对价格水平不合理，投资者随时可在这两者之间进行转换。所以，在这样的市场上，只要没有其他的制度制约套利行为，期货的定价就成为

12、一个纯粹的风险收益问题，相应地无套利原则和持有成本模型就成为远期定价的基本原理。 三、消费性资产的远期定价2022-4-2135消费性资产消费性资产则是指那些投资者主要出于消费目的而持有的资产，如石油、铜、农产品等。对于消费性资产来说，远期定价公式不再适用，而是转化为 ：原因在于消费性的标的资产具有消费价值，而远期却无法即时消费，消费性的标的资产与其远期之间并不具有完全的可替代性。因此即使在远期相对价值偏低的时候投资者也不会轻易出售现货，购买远期，从而使得单纯基于风险收益考虑的金融无套利原则不再完全有效。()c T tFSe()c T tFSe2022-4-2136第六节 远期价格与标的资产现

13、货价格的关系2022-4-2137无套利条件下 ，。可以从三个角度分析F和S之间的关系 ：第一，当标的资产在远期（期货）存续期内没有收益、已知现金收益较小、或已知收益率小于无风险利率时，当前远期（期货）价格应高于标的资产的当前现货价格；当标的资产在远期（期货）存续期内的已知现金收益较大或已知收益率大于无风险利率时，当前远期（期货）价格应小于标的资产的当前现货价格。在远期（期货）到期日，远期（期货）价格将收敛于标的资产的现货价格（这是套利行为决定的）。()c T tFSe一、同一时刻远期（期货）价格与标 的资产现货价格的关系2022-4-2138n当标的证券没有收益，或者已知现金收益较小、或者已

14、知收益率小于无风险利率时，期货价格应高于现货价格。 现货价格期货价格第三章第三章 远期和期货的定价远期和期货的定价 2022-4-2139n当标的证券的已知现金收益较大，或者已知收益率大于无风险利率时，期货价格应小于现货价格。 现货价格 期货价格第三章第三章 远期和期货的定价远期和期货的定价 2022-4-2140第二，标的资产的现货价格对同一时刻的远期（期货）价格起着重要的制约关系，正是这种制约关系决定了远期（期货）是无法炒作的。但是，如果现货市场规模不够大，现货价格无法形成对远期（期货）价格的有效制约，远期（期货）市场就迟早会因恶性投机而出问题。（案例3.7国债期货事件）2022-4-21

15、41第三，对式（3.8）进行变换，可得 从本质来看，远期（期货）是衍生产品，其价格应取决于标的资产当前现货价格S，随S变化而变化；在实际中则应该体现为远期（期货）和现货市场同时对新的信息作出反映。 但在现实生活中，大量实证研究表明，无论是商品还是金融远期（期货），由于远期（期货）市场具有低成本、高杠杆和高流动性等特征，如果远期（期货）市场发展较为完善，规模和影响力较大，在面临新的市场信息冲击时，投资者越来越多地先在远期（期货）市场上进行操作，使得新信息往往先在远期（期货）市场上得到反映，然后才传达至现货市场，从而使得F反过来具有引领S价格变化的信号功能。当前远期（期货）价格对当前现货价格的此种

16、引领作用也被称为远期（期货）的“价格发现价格发现”（Price DiscoveryPrice Discovery）功能。 ()c T tSFe2022-4-2142根据预期收益率的概念，我们有： 表示现在市场上预期的该资产在T时刻的市价；y表示该资产的连续复利预期收益率；t为现在时刻 。而远期（期货）价格 ：比较以上两式可知，y和r的大小决定了F和E(ST)孰大孰小。而y值的大小又取决于标的资产的系统性风险。 ()TE S()()y T tTE SSe()r T tFSe二、当前远期（期货）价格与标的资产预期未来现货价格的关系2022-4-2143根据资本资产定价原理， 若标的资产的系统性风险为0，则y=r，F=E(ST) ；若标的资产的系统性风险大于零，则yr， FE(ST) ；若标的资产的系统性风险小于零，则yE(ST) 。在现实生活中，大多数标的资产的系统性风险都大于零，因此在大多数情况下，F都小于E(ST)。 2022-4-2144n本