111正弦定理 (2)

1、1.1.1正弦定理ABC3C2C1CBC的长度与角A的大小有关吗?三角形中角A与它的对边BC的长度是否存在定量关系?在RtABC中,各角与其对边的关系:caA sincbB sin1sinC不难得到:CcBbAasinsinsinCBAabccc在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?AcbaCB(1) 若直角三角形,已证得结论成立.bADcADCBsin,sin所以AD=csinB=bsinC, 即,sinsinCcBb同理可得,sinsinCcAaCcBbAasinsinsin即：DAcbCB图1过点A作ADBC于D,此时有(2)若三角形是锐角三角形, 如图1,由(1)(2)(3)知，结论成

2、立CCbADsinsin ）（且CcBbAasinsinsin仿(2)可得D(3) 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 此时也有cADB sin交BC延长线于D,过点A作ADBC，CAcbB图2正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.CcBbAasinsinsin即AasinBbsinCcsin（2R为为ABC外接圆直径）外接圆直径）2R思考求证:证明：证明：OC/cbaCBARCcRcCCCCCBA2sin2sinsin,90RCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,证明：BacAbcCabSABCsi

3、n21sin21sin21BACDabcaABCahS21而CbBcADhasinsinCabBacSABCsin21sin21同理BacAbcCabSABCsin21sin21sin21haAbcSABCsin21证明:剖析定理、加深理解正弦定理可以解决三角形中哪类问题： 已知两角和一边，求其他角和边. 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.CcBbAasinsinsin定理的应用例 1在ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。求 a , b (精确到0.01）.解： 且 105C)(A180 BCcBbsinsin b = CBcsinsin

4、19.32=30sin105sin10已知两角和任意边，已知两角和任意边，求其他两边和一角求其他两边和一角CcAasinsina = CAcsinsin14.14=21030sin45sin10BACbc)26(5a在ABC中，已知 A=75，B= 45，c= 求a ， b.23在ABC中，已知 A=30，B=120，b=12 求a ， c.a= ,c= 3434练习32, 33ba例 2 已知a=16， b= ， A=30 .求角B，C和边c已知两边和其中一边已知两边和其中一边的对角的对角,求其他边和角求其他边和角解：由正弦定理BbAasinsin得231630sin316sinsinaAb

5、B所以60,或120当 时60C=90.32cC=30.16sinsinACac316当120时B16300ABC16316变式: a=30, b=26, A=30求角B，C和边c300ABC2630解：由正弦定理BbAasinsin得30133030sin26sinsinaAbB所以25.70,C=124.30,57.49sinsinACaca b A B ,三角形中大边对大角已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其他边和求其他边和角角1.根据下列条件解三角形 (1)a=13，b=26，A=30.B=90，C=60，c= 313(2) b=40，c=20，C=45.练习无解已知

6、两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其求其他边和角时他边和角时,三角形三角形什么情况下有什么情况下有一解一解,二解二解,无解无解?ACababsinA无解无解ACaba=bsinA一解一解ACabbsinA a b 两解两解BB1B2BACbaab一解一解aBABabCABabCABabCab 一解一解;135,70,52)4(;60,10, 9)3(;150,10, 5)2(;120, 4, 511CbcAbaAbaAba）（三角形的个数：不解三角形，判断下列例正弦定理的综合应用正弦定理的综合应用的形状，试判断中，已知：在变式训练ABCAbBaABC,tantan122的形状。判

7、断的对角，试、为边、的两边，是、两根之和，且的两根之积等于：已知方程例题ABCaBAABCaBaxAbxbb0cos)cos(220coscoscoscoscoscos3222222ACacCBcbBAbaABC中，求证：在例0)sin(sin)sin(sin)sin(sin2BAcACbCBaABC中，求证：在变式训练3., ,2 cos(60).oABCABCa b cbcaCA在中，设所对的边分别为，若，求.120150302103030.21)30sin(1cossin30sinsinsin)cossin3(cossin3cossinsinsincoscossin)sin(sin)si

8、n60sincos60(cossin2sinsin000000000AAAAAACCCAACACACCACACABCCACB又即略解：由正弦定理得2214.().4ABCSbcABC已知的面积，试确定的形状.20sin10)sin1 (21, 0)(410)sin1 (21)(41sin21)(412222为等腰直角三角形且解：ABCcbAAcbAbccbAbccbAbccbS)62sin()2( ,sin) 1 (54cos, 2, 35BBAbaABC求求中，已知、在本节小结本节小结:正弦定理的证明1.结构：正弦定理正弦定理的应用解三角形2.方法、技巧、规律(1)正弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系， 是解三角形的重要工具;(2)两类问题：一类已知两角和一边； 另一类是已知