选修4-4 直角坐标系

1、一平面直角坐标系的建立思考思考:声响定位问题声响定位问题 某中心接到其正东、正西、正北方向某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各，已知各观测点到中心的距离都是观测点到中心的距离都是1020m，试确定，试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为度为340m/s，各相关点均在同一平面上），各相关点均在同一平面上）(2004年广东高考题年广东高考题)y yx x

2、B BA AC CP Po o 以接报中心为原点以接报中心为原点O，以，以BA方向为方向为x轴，建立轴，建立直角坐标系直角坐标系.设设A、B、C分别是西、东、北观测点，分别是西、东、北观测点， 设设P（x,y）为巨响为生点，由）为巨响为生点，由B、C同时听同时听到巨响声，得到巨响声，得|PC|=|PB|，故，故P在在BC的垂直平分的垂直平分线线PO上，上，PO的方程为的方程为y=x，因，因A点比点比B点晚点晚4s听到爆炸声，听到爆炸声，y yx xB BA AC CP Po o则则 A(1020,0), B(1020,0), C(0,1020)故故|PA| |PB|=3404=1360由双曲线

3、定义知由双曲线定义知P点在以点在以A、B为焦点的为焦点的双曲线双曲线 上，上，12222byax)0(13405680340568010201020,6802222222222xyxacbca故双曲线方程为10680),5680,5680(,5680,5680POPyx故即答：巨响发生在接报中心的西偏北答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心距中心 处处.m10680用用y=x代入上式，得代入上式，得 ，|PA|PB|,5680 x 解决此类应用题的关键：解决此类应用题的关键：1、建立平面直角坐标系、建立平面直角坐标系2、设点、设点（点与坐标的对应）（点与坐标的对应）3、列式、列式（方程与坐

4、标的对应）（方程与坐标的对应）4、化简、化简5、说明、说明坐坐 标标 法法例例1.已知已知ABC的三边的三边a,b,c满足满足 b2+c2=5a2,BE,CF分别为边分别为边AC,CF上上的中线，建立适当的平面直角坐标系的中线，建立适当的平面直角坐标系探究探究BE与与CF的位置关系。的位置关系。(A)FBCEOyx以以ABC的顶点为原点的顶点为原点，边边AB所在的直线所在的直线x轴，建立直角轴，建立直角坐标系，由已知，点坐标系，由已知，点A、B、F的的坐标分别为坐标分别为解：解：A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( ,0 ).2cCx y设点 的坐标为(x,y),则点E的

5、坐标为（ ，）.2 22222225|5|bcaACABBC由，可得到，222225().xycxcy即 22222250.xyccx整理得(,),(,),222xycBEcCFxy 因为2()()0.222xcyBE CFcx 所以因此，因此，BE与与CF互相垂直互相垂直. 具体解答过程见书本具体解答过程见书本P4 你能建立不同的直角坐标系解决这你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，建立直角坐标系应注意决问题的过程，建立直角坐标系应注意什么问题？什么问题？建系时，根据几何特点选择适当的直角建系时，根据几何特点选择适当的

6、直角坐标系。坐标系。（1）如果图形有对称中心，可以选对）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；称中心为坐标原点；（2）如果图形有对称轴，可以选择对）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；称轴为坐标轴；（3）使图形上的特殊点尽可能多的在）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。坐标轴上。二二. .平面直角坐标系中的伸缩变换平面直角坐标系中的伸缩变换思考：思考：（1）怎样由正弦曲线）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲得到曲线线y=sin2x?xO 2 y=sinxy=sin2x 在正弦曲线在正弦曲线y=sinx上任取一点上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标保持纵坐标不变，将横坐

7、标x缩为原来缩为原来的的 ，就得到正弦曲线，就得到正弦曲线y=sin2x.12 上述的变换实质上就是一个坐标的上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：压缩变换，即： 设设P(x,y)是平面直角坐标系中任意是平面直角坐标系中任意一点，一点，保持纵坐标不变，将横坐标保持纵坐标不变，将横坐标x缩缩为原来为原来 ，得到点得到点P(x,y).坐标对应关坐标对应关系为：系为：12x= xy=y121通常把通常把 叫做平面直角坐标系中叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。的一个压缩变换。1坐标对应关系为：坐标对应关系为：（2）怎样由正弦曲线）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲得到曲线线y=3sinx?写出其

8、坐标变换。写出其坐标变换。设点设点P（x,y）经变换得到点为）经变换得到点为P(x,y)x=xy=3y2通常把通常把 叫做平面直角坐标系中叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。的一个坐标伸长变换。2 在正弦曲线上任取一点在正弦曲线上任取一点P（x,y），），保持横坐标保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原不变，将纵坐标伸长为原来的来的3倍，就得到曲线倍，就得到曲线y=3sinx。（3）怎样由正弦曲线）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲得到曲线线y=3sin2x? 写出其坐标变换。写出其坐标变换。 在正弦曲线在正弦曲线y=sinx上任取一点上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标保持纵坐标不

9、变，将横坐标x缩为原来缩为原来的的 ，在此基础上，将纵坐标变为原，在此基础上，将纵坐标变为原来的来的3倍，就得到正弦曲线倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.12设点设点P（x,y）经变换得到点为）经变换得到点为P(x,y)x= xy=3y123通常把通常把 叫做平面直角坐标系中叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。的一个坐标伸缩变换。3定义：设定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中是平面直角坐标系中任意一点，在变换任意一点，在变换(0):(0)xxyy 的作用下，点的作用下，点P(x,y)对应对应P(x,y).称称 为为平面直角坐标系中的伸缩变换平面直角坐标系中的伸缩变换。 4注注 （1）

10、（2）把图形看成点的运动轨迹，）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；变换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。行伸缩变换。0,0练习：练习：1.在直角坐标系中，求下列方程所对在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换应的图形经过伸缩变换x=xy=3y后的图形。后的图形。（1）2x+3y=0; (2)x2+y2=12.在同一直角坐标系下，求满足下列在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变变为曲线为曲线x2+y2=13.在同一直角坐标系下，经过伸缩变在同一直角坐标系下，经过伸缩变换换 后，后，曲线曲线C变为变为x29y2 =1，求曲线，求曲线C的的方程并画出图形。方程并画出图形。x=3xy=y思考：在伸缩思考：在伸缩 下，椭圆是否可以下，椭圆是否可以变成圆？抛物线，双