北京市第一届“京教杯”青年教师教学基本功展示(三次函数的极值与单调性教学设计)

1、三次函数的极值与单调性教学设计北京市第一届“京教杯”青年教师教学基本功展示教学设计 课 题: 三次函数的极值与单调性执教人: 李龙强单 位: 北京市通州区永乐店中学 三次函数的极值与单调性教学目标1、通过实例，理解等比数列的概念通过从丰富实例中抽象出等比数列的模型，使学生认识到这一类型数列也是现实世界中大量存在的数列模型;同时经历由发现几个具体数列的等比关系，归纳等比数列的定义的过程。2、 探索并掌握等比数列的通项公式通过等差数列的通项公式的推导过程的类比，探索等比数列的通项公式，通过与指数函数的图象类比，探索等比数列的通项公式的图象特征及与指数函数之间的关系。3、 通过等比数列与指数函数的关

2、系体会数列是一种特殊的函数。 教学重点：理解等比数列的概念，认识等比数列是反映自然规律的重要的数列模型之一，探索并掌握等比数列的通项公式。教学难点：等比数列与其对应函数的关系。 教学过程：一、复习旧知,引入新课前面我们学习了用导数来研究函数的极值、单调性，今天我们将以三次函数为例来探究函数的极值与单调性的内在联系。那么何为三次函数呢?下面来回顾一下极值的定义，第一题:题1：下图是导函数在区间上的图象，则函数的极大值点是_，极小值点是_.【老师】请一位同学读题，并作答。【学生】通过观察图像，回忆极值在导函数图像上的体现，得到为极大值点，为极小值点。【老师】大家都没有问题了吧！我有一个问题：“是不

3、是极值点？”【学生】不是，因为虽然是导数为零的点，但是，左右导数是同号的，不符合极值的定义。【老师】如果第一个同学答了，那么可以请其它同学进行纠正，以强调极值的定义。题2：下图是函数在区间上的图象，则函数的极大值点是_，极小值点是_. 【学生】通过观察图像，回忆极值在原函数图像上的体现，得到为极大值点，为极小值点。【老师】下面我们来总结一下：在导函数图象上怎么找极值点？在原函数图象上怎么找极值点？【学生】导函数图像上穿过轴的交点的横坐标是极值点；原函数图像上波峰，波谷位置对应的横坐标是极值点。【老师】如果学生说原函数图像上最高、最低点是极值点。教师要纠正最高、最低点是最值点，每个函数在定义域内

4、只有一个最大值和一个最小值，而极值并不唯一。最值反映的是整体性质，而极值反映的是函数在某点附近的性质，是局部性质。【设计意图】通过观察原函数和导函数的图像，复习极值的定义，并且区分从原函数和导函数的图像中如何找到极值点。看来基础知识掌握的不错，下面我们来个实战演习：二、新课探究例题：已知函数(1) 当时，求函数的极值.【学生】自己练习，画出导数的草图，板书步骤。【老师】点评，并且提问：“如果没有列表，只有导数为0得出或3，然后计算出：，所以函数的极大值为，极小值为0。对吗？”【学生】不行，因为导数为0的点不一定是极值点，得检验左右导数是否异号。【老师】还有个原因呢？如果学生回答不出，教师可引导

5、：“极大值不一定大于极小值。”并举例说明。所以列表很重要，即使不列表也要说明左右导数是异号的，这样才能确定是极大值还是极小值。可以了吧！（2）若函数在处取极值，求的值.【学生】自己练习，画出导数的草图，板书步骤【老师】忘记检验的同学应该很多，找同学补充，并且说明为什么要检验，检验什么？ 【设计意图】通过求极值以及已知极值求参数的值，进一步强化导数为0的点不一定是极值点，只有左右异号的才是。为后续的几问打好基础。(2) 若函数在R上有极值，求的取值范围.(3) 若函数在R上无极值，求的取值范围.【学生】思考，画出导数的草图并说出如何解题，进而得到的取值范围。【老师】下面我们来总结一下：三次函数何

6、时有极值何时没有极值？【学生】有极值就是导数有穿过轴的交点，无极值就是导数与轴没有交点或只有一个左右同号的交点。【设计意图】进一步研究原函数是否有极值与导函数零点之间的关系，体验画图对解题思路探究的重要性。(4) 若函数在R上不单调，求的取值范围.(5) 若函数在R上单调，求的取值范围.上面我们得到了三次函数在R上的单调性和极值的关系，下面大家自己来探究一下在给定区间上是否也有同样的结论呢？自己来做变式训练，做完后前后桌一组进行讨论，待会每组选派一个代表来阐述本组的做法l 实例分析2：公元前5至前3世纪，中国战国时，庄子一书中有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的关于物质无限可分的观点。你能解释

7、这个论述的含义吗？【学生】思考、讨论，用现代语言叙述。【老师】 (用现代语言叙述后)如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是什么样的呢？ 【学生】发现等比关系，写出一个无穷等比数列：1，。【老师】大家知道计算机病毒的传播是非常快的，速度大的惊人，那么让我们看一个这样的实例。l 实例分析3：一种计算机病毒可以查找计算机中的地址薄，通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推。假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是什么？【学生】合作讨论,得出什么为第一轮，第二轮。从而得到种病

8、毒每一轮感染的计算机数构成的数列是1,20,202，203,。【老师】回忆数列的等差关系和等差数列的定义，观察上面的数列，说说它们有什么共同特点？引导学生类比等差关系和等差数列的概念，发现等比关系。我们可以发现：数列从第2项起,每一项与它前一项的比都等于_；数列从第2项起,每一项与它前一项的比都等于_；数列从第2项起,每一项与它前一项的比都等于_；也就是说这个数列有一个共同的特点：从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数。我们把这样的数列称为等比数列。这就是我们今天要研究的课题，等比数列。【设计意图】目的是让学生明白等比数列是来源于生活中的例子，观察所给各个数列的共同特点，进一步归纳出等

9、比数列的定义。二、探究新课1、等比数列的定义探究1：类比等差数列的定义，大家能否给等比数列下个定义？【设计意图】学会类比的思想。【学生】独立思考，类比等差数列的定义。给等比数列下定义。如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母q表示。【老师】用数学符号语言怎样表示等比数列的定义呢？如果我们第n项用表示，那么它的前一项该怎么表示，那么比怎么表示？这里的n的取值范围呢？【学生】讨论，交流。或【老师】请同学们打开课本，看看课本上是怎样给等比数列下定义的，和刚才那位同学下的定义一样吗？有什么不同？【学生】阅读课本

10、，仔细对比，找出不同。学生发现课本中有q0这个条件.思考：等比数列的定义中，可否去掉“q0”的条件？为什么？能否将“ ”的条件改写成“ ”？为什么？【设计意图】引导学生对等比数列内涵再认识和进一步理解。【学生】讨论，辨析，得到结论，不能去掉“q0”的条件，因为如果q=0,则分子为0,而每一个分子都可能出现在分母中,则分母为0无意义; 表达式说明在等比数列中的任意项都不能为0.感悟:等比数列中q0,.【老师】那么是否存在既是等差又是等比的数列呢？【学生1】常数列。【老师】是吗?有不同意见吗?【学生2】非零的常数列既是等差又是等比数列。练习1：判断下列数列是否为等比数列，若是，请指出公比q。（1）

11、 1,2, 8，32，128, 。 -不 是 （2） -1,5，25，125,。 - 是 q =5（3）2，2，2，2， 。 - 是q =1（4） 1，-0.5，0.25，-0.125， 。 - 是q = - 0.5（5） 1, 2，1, 2,1, 2。 - 不是【老师】思考:公比q的取值范围是什么呢？【学生】正数、负数，但是不能为零。练习2：求下列各组数中插入怎样的数后是等比数列。（1）1， _ ， 9 （2）-1，_ ，-4（3）-12，_ ，-3 （4）1， _ ，1【学生1】根据等比数列的定义，得出插入3后，构成等比数列。【学生2】补充插入-3后，也能构成等比数列。学生思考，得到两个都

12、符合题意.。下面三个小题可根据（1），顺利得到答案。【老师】在学习等差数列的定义后，我们也做过这样的题目，在两数中间插入一个数，使三数成等差数列，那么我们把中间这个数称为等差中项。类比等差中项的概念，我们把刚才插入的那个数称为等比中项。2、等比中项探究2：前面的等差数列一节里我们有等差中项的定义，你能仿照等差中项，给出等比中项的定义吗？等差中项与等比中项有何差异？【老师】类比等差中项的概念，大家给等比中项下个定义吧。【学生】如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。学生思考得结论：任何两个数都有等差中项，有且只有一个，而只有同号的两个数才有等比中项，而且

13、有两个，且互为相反数。3、等比数列的通项公式我们继续来研究一下情境中的这三个数列。探究3：试着写出上面三个数列的通项公式，并猜想等比数列的通项公式。【设计意图】体现由特殊到一般的思想，先写出具体实例的通项公式，使学生经历观察，归纳，猜想的过程。 【学生】通过观察，看出这三个数列的通项公式，并寻找这三个公式中共性的地方，把改写成，观察，发现都有n-1次幂的形式，而且乘号前面的数字2,1,1都是首项，乘号后面的数字2，20都是各项的公比，所以猜想等比数列的通项公式是an=a1qn-1。【老师】这位同学猜想的很好，那我们就来推导一下等比数列的通项公式，看看和这位同学猜想的一致吗？探究4： 类比等差数

14、列通项公式的推导过程，请你写出首项为a1，公比是q的等比数列的通项公式。【老师】我们在学习等差数列的通项公式时，用过哪些方法？【学生1】回忆了用不完全归纳法证明通项公式的方法，类比等差数列的推导过程，设等比数列an首项为a1，公比为q，根据等比数列的定义，我们有：a2=a1q,a3=a2q=a1q2,即an=a1qn-1.【老师】请同学们想一想，你还有其它方法吗？【学生2】根据等比数列的定义，我们还可以写出,进而有，即an=a1qn-1.【学生3】an=an-1q=a n-2q2=a n-3q3=a1q n-1.亦得an=a1qn-1。【老师】等比数列的通项公式：an=a1qn-1 （nN,q

15、0）我们知道了等比数列的通项公式后，下面我们做课本52页练习，来看一下它有哪些应用。学生做练习，老师巡视，予以指导。探究5：在课本50页的平面直角坐标系中， (1)画出通项公式为an=2 n-1的数列的图象。 (2)再在坐标系中画出函数y=2x-1的图象，观察它们之间的关系。(3)若将底数换为 呢？你有怎样的结论？【设计意图】等比数列的通项公式还可以写成，当q为不等于1的正数时，是一个指数函数，是一个的非零常数与一个指数函数的积。因此从图像上看，表示数列的点都在函数的图像上。【学生】观察、动手作图，发现规律，总结规律，数列是特殊的函数，等比数列是其对应函数图象上孤立的点。【老师】通过几何画板演示动画。三、归纳小结提炼精华本节课主要学习了： 一个定义： 一个公式：，an=a1qn-1 （nN,q0） 两种思想：方程思想 、函数的思想。 三种方法：不完全归纳法、迭代法、叠乘法（此条不板书）。【老师】通过本节课的学习，你有哪些收获？【学生1】在本节课中，我学习了等比数列的定义，等比中项的公式，学会了等比数列的推导的三种方法，最后学习了等比数列和函数之间的关系。【学生2】在本节课中我还学习了类比的思想。【老师】当然我们还有方程的思想以及函数的思想。【设计意图】让学生自己小结，不仅仅总结知识更重