等差数列性质教学设计

1、等差数列性质教学设计浙江省桐乡市茅盾中学倪树平在人教版全日制普通高级中学教科书（必修）数学中，3.2 等差数列概念、性质及应用必须用2 课时完成，本文从教材分析、教学目标分析、学情分析、学法分析、教学过程设计、教学设计说明等六个方面谈谈第2 课时的教学设计。1 教材分析1.1 教材的地位与作用数列是高中数学的重要内容之一，数列又是培养学生数学学习能力的好素材。本章内容首先从学习数列的概念开始，又学习等差数列和等比数列两种特殊的数列。数列在实际生活中有着广泛的应用，如堆放物品总数的计算、储蓄、分期付款问题等都要用到数列知识。同时，数列又起着承前启后的作用，数列与前面学习的函数知识紧密联系，又为进

2、一步学习数列的极限等作好准备。等差数列是一种最基本的数列，研究它的性质，需要通过观察、分析、归纳和猜想才能有所发现。因此，在探究等差数列性质的过程中使学生学会研究数列的基本方法，提高数学再创造学习的能力。掌握研究数列的基本方法对于学好数列整章内容起着举足轻重的作用。1.2 教学的重点与难点本节课的教学重点是在理解等差数列概念的基础上探究等差数列性质。难点是怎样用等差数列的概念及通项公式来证明其性质。2 教学目标分析2.1 知识与技能:让学生去探究、去发现等差数列的性质，并能利用等差数列的概念及通项公式给予证明，掌握性质及运用性质解决一些简单问题；通过优化问题设计，探究等差数列的性质，培养学生观

3、察、分析、猜想、归纳和自主探究的能力。2.2 过程与方法:通过经历和体验等差数列性质的探索过程，让学生体会过程的重要性，并在探索的过程中学会学习、学会探究；同时通过对等差数列性质的研究去感受和掌握研究数列的基本思想方法。2.3 情感态度与价值观：注重教学过程中师生间、生生间情感交流，鼓励学生大胆尝试、发现规律，培养他们积极进取的探索精神，激发学生学习数学的兴趣，增强解决问题的信心，并获得成功的积极情感体验。3 学情分析3.1 学生学习本课内容的基础学生已经学习了集合与函数的初步知识，掌握了数列的基本知识，理解数列是定义域为正整数的函数。通过第一课时，学生已经学习了等差数列的概念、通项公式，并理

4、解等差数列中项与项之间的关系。本节课主要是从等差数列的概念、通项公式出发研究其性质。对于大多数已经理解等差数列概念的学生来说，学习本课并不是太难。3.2 学生学习本课内容的能力学生通过对高中数学中集合与函数的学习，初步具有对数学问题自主探究的意识与能力。高一学生思维活跃，积极性高，但同时由于个体认知水平、学习能力等方面的差异，表现出不同的学习状态。3.3 学生学习本课内容的心理高一学生是一个特殊的学习群体。根据皮亚杰(J.Piaget)关于心理发展的阶段学说，他提出儿童青少年认知发展经历四个阶段，即感知运算、前运算、 具体运算和形式运算阶段，高一学生处于形式运算阶段认知水平从形象向抽象过渡，思

5、维能力的提高是一个转折期；高一学生的自我意识不断增强，好胜心、进取心进一步提高，他们富有激情，感情丰富，爱冲动，爱幻想。3.4 学法分析高一学生已经具备了一定的观察、猜想、分析和归纳的能力，但是学生的抽象思维能力还不是很强，此时学生已掌握了等差数列的概念及其简单应用。教材没有对等差数列的性质进行分析与探究，而在例题与习题中有所体现，因而学生在解题中会碰到一些盲点。因此，本课的教学设计旨在搭设台阶，降低坡度，引导学生从等差数列的概念出发，通过观察、分析、归纳、推理来探究其性质，为我所用，激发学生自主探究的学习热情，让学生在探究中学生会学习、学会合作、学会创造。4 教学过程设计4.1 提出问题串，

6、创设学习情境问题1：等差数列an中，通项公式为an=ai+(n-1)d,我们怎样将其写成另一种形式问题2：已知数列的通项公式是an=pn+q,其中p, q是常数，且pw0,那么这个数列是不是等差数列？如果不是，请说明理由；如果是，其首项和公差分别是什么？问题3:如果在a与b中间插入一个数 A,使a, A, b成等差数列，那么 A应满足什 么条件？反之，A满足什么条件才能使 a, A, b成等差数列？追问1：等差数列an中，项an, 3n+1, an+2之间有什么关系？追问2:我们怎样判断一个数列是否为等差数列？你能说出几种方法吗？问题4：等差数列an中，公差为d,则项an与am之间有什么关系？

7、问题5:等差数列an中，m,n,p,qWN*,若m+n=p+q,我们能找出am,an,ap,aq之间的关 系吗？追问1:等差数列an中，m,n,pWN*,若m+n=2p, am,an,ap之间关系又是怎样？追问2：如果数列an是项数为n的等差数列，从问题 5的结论中还能得到什么启示 吗？问题6:在等差数列an中，公差为d,我们能否从原数列中取出一些数构成等差数列， 若能，怎样取，公差是什么？问题7：已知an, bn是项数相同的等差数列，能不能构造出一些与an, bn中的项有关的新等差数列？这些新的等差数列是什么？公差怎样？教师在这里精心设计了问题串，创设了数学问题情境，学生面对上述问题，有一种

8、渴望解决问题的强烈心情，这样已经激发了学生自主探究的热情。4.2 引导思考，自主探究面对一系列的问题， 学生的求知欲望高涨， 教师给予分析和引导，引导学生深入思考， 开展讨论。下面是在讨论问题6时，教师引导学生进行探究的过程。S1：我认为先用特殊值法取几个数列看看，再证明。如取一个简单的数列，通项为an=n,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,；T:能不能从原数列中取出一些数构成等差数列？Si：取出数列：1, 3, 5, 7, 9,，公差为2的等差数列；S2：取出数列：1, 5, 9, 13, 17,，公差为4的等差数列；T:取出来的项在原数列中的位置有什么关系？S3：是原数列中下标成等差

9、数列的项；T:我们能否对原数列中下标成等差数列的项组成的数列作出猜想？S4:从原数列中取出下标成等差数列的项组成的数列也是等差数列。教师对学生的回答给予充分肯定和鼓励，学生的积极性高涨，此时教师再提醒学生仅 凭直观还只是猜想，教师再反问:T：我们从特殊情况猜想的结论一定正确吗？怎样证明S5得出的结论？S5：设下标的公差为 m,原数列的公差为 d, ,ak+m-ak=ai+(k+m-1)d-ai-(k-1)d=md.在教师的启发引导下，通过对上述问题的讨论，学生们畅所欲言，流露了自己的思想，对这些问题也形成了自己的思想方法，加深了对问题的理解，提升了学生分析问题、解决问题和自主探究的能力。4.3

10、 反思结论，归纳总结在学生自主探究，讨论反思的基础上，通过归纳总结，得出等差数列的有关性质：4.4 、等差数列an通项公式的另一形式 an=pn+q,首项为p+q,公差为p;性质2、等差中项的概念： A是a与b的等差中项 仁2A=a+b;等差数列的判定方法：1、an+an=d(常数)u an是等差数列；2、2an+1=an+an+2(n C N )u an是等差数列；3、an=pn+q(p,q为常数)。an是等差数列;性质3、等差数列an中，an=am+(n-m)d,公差为d;性质 4、等差数列an中,m,n,p,q eN ,若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq；推论 1、等差数列a

11、n中，m,n,pWN*,若 m+n=2p,贝U am+an=2ap；推论2、数列an是项数为n的等差数列，与首末两项“距离”相等的两项和等于首末两项的和，即 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=；性质5、等差数列an中，公差为d,下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,-组成的数列仍是等差数列，且公差为md;性质6、已知an, bn是项数相同的等差数列，则pan+qbn (p,q为常数)也是等差 数列。4.5 题组练习，能力升华题组一、性质的应用1 .等差数列an中,a1=1 , a2+a3+an+a12=36.求a3+a11和a7； (2)求an的公差d； (3)求通

12、项公式an； (4)若a=17，求k的值。2 .已知an, bn都是等差数列，且 a1=5, b1=10, a2+b2=25,求 a10+b10 的值.3 .若两个等差数列：5, 8, 11,和3, 7, 11都有100项，问它们有多少相同的项？分析:这两个数列中相同的项按原来的顺序排列后仍成等差数列，且公差为12,设从第一个数列中取出下标成等差数列且与第二个数列中相同的项构成的数列为Cn,则cn为等差数列，C1=11, d=12；Ck =11+12(k1)=12k1 ,又两个数列的最后一项分别为302, 399,_101_*TCk =12k -1 302 ,-,k 2)(1)求证：数列为等差

13、数列；(2)求数列an的通项公式。1(n =1)答案：数列2是以1为首项，2为等差数列；(2)an=1Sn-(n -2)n(2n-1)(2n -3)教学设想：本题设计目的是让学生加深对等差数列概念的理解，应用定义来判定等差数列，理解数列中Sn与an之间的关系，学会求通项。本题是等差数列概念、通项、前 n项和的 综合拓展应用，在激活学生思维，培养学生探究能力方面是一道好题。5教学设计说明高中数学新课程理念之一是倡导积极主动、勇于探索的学习方式，这些方式有助于发 挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。高中数学 课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体

14、验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。建构主义学习理论认为，数学知识应以各种有待探索的问题形式与 学生的经验世界发生联系和作用。本课设计的基本理念正是在教师的指导下，创设数学学 习情境，让学生自主探究等差数列的性质，使他们能积极主动地参与到数学学习的活动之 中，当教师呈现出问题串时，学生表现出强烈的求知欲望，在教师的指导下，学生积极思 考，展开讨论，突破了一个又一个的难题，学生的积极性空前高涨。在整个问题讨论的过 程中，建立了师生对等交流的平台，营造了和谐民主的教学氛围，激发了学生再创造的动 机，从而引导学生寻求再创造的途径和方法，促进学生的再创造学习。整个课堂实际上就 是学生再创造学习的过程，这样学生所获得的知识和能力，远远比被动接受，教师传授来 得透彻、牢固，同时让学生也感受到数学再创造活动的无比快乐和成就感，使学生始终