北京通州区2015届高三模拟考试一数学理试题版含答案

1、通州区2015年高三年级模拟考试（一）数学（理）试卷2015年4月本试卷分第I卷和第II卷两部分，共150分.考试时间长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回（选择题共40分）、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.21.复数z=（2-i）在复平面内对应的点所在的象限是A.第一象限2.已知双曲线B.第二象限22=1（b>0）离心率是4bA. 1B. 2C.第三象限5.二，那么b等于2c.、，5D.第四象限D.2石BB的中点，过点M,A.充分不必要条件C.充分必要条件A.奇函数

2、，且在定义域内单调递减B.奇函数，且在定义域内单调递增C.非奇非偶函数，且在（0,F）上单调递增D.偶函数，且在（0,十比）上单调递增3 .在正方体ABCDABC1D1中，已知M4 .已知a=T,b=2log3m,那么“a=b”B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2x,x>0,5 .已知函数f（x）=<那么该函数是-2：x<0,6 .将函数f（x）=cosx+I的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所3得图象的一条对称轴方程可能是二二二2二A.x=B.x=C.x=-D.x=36337 .李涛同学在某商场运动品专柜买一件运动服，获100元的代金券一张，此代金券

3、可以用于购买指定的价格分别为18元、30元、39元的3款运动袜，规定代金券必须一次性用完，且剩余额不能兑换成现金.李涛同学不想再添现金，使代金券的利用率超过95%,不同的选择方式的种数是A.3B.4C.5D.68 .已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，若存在实数t,使得f(x+t)+tf(x)=0对任意x都成立，则称f(x是“回旋函数”.给下列四个命题：函数f(x)=x+1不是“回旋函数”；函数f(x)=x2是“回旋函数”；若函数f(x)=ax(a>1)是“回旋函数"，则t<0；若函数f(x)是t=2时的“回旋函数”，则f(x粒0,4030】上至少有2

4、015个零点.其中为真命题的个数是A.1B.2C.3D.4第n卷(非选择题共110分)、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9 .已知集合A=1,2,3,4,B=1,3,m,且B£A,那么实数m=.10 .已知数列an中，a2=2,an+2an=0,那么数列匕0的前6项和是11 .已知某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出的结果是11题12 .如图，已知PA是圆O的切线，切点为A,PC过圆心O,且与圆O交于B,C两点，过C点作CD_LPA,垂足为D,PA=4,BC=6,那么CD=.13 .11位数的手机号码，前七位是1581870,如果后四位只能从数字

5、1,3,7中选取，且每个数字至少出现一次，那么存在1与3相邻的手机号码的个数是.14 .如图，在四边形ABCD中，/BAD=901/ADC=120*,AD=DC=2,AB=4,uuiruuruuuC动点M在ABCD内(含边界)运动，设AM=KAB+AD,M则九十N的取值范围是.、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 .（本题满分13分）2二在MBC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知c=5,B=，AABC的面积是1534（I）求b的值；（n）求cos2A的值.16 .（本题满分13分）随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”

6、已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组对某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：年龄加25)125,30)130,35)135,40)40,45)人数45853年龄145,50)切,55)155,60)160,65)165,70)人数67354年龄在25,30）,155,60）的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查.（I）求年龄在25,30）的被调查者中选取的2人都是赞成的概率；（n）求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；（出）若选中的4人中，不赞成的人数为X,求随机变量X的

7、分布列和数学期望.17 .（本题满分14分）A1C如图，在各棱长均为2的二棱枉ABC-AB1G中，侧面/T、1B37AACC1_L底面ABC,且2AAC=三，点O为AC的中点./7/（I）求证：AC_L平面AOB；A,.:OC（n）求二面角巳ACB的余弦值；（出）若点B关于AC的对称点是D,在直线AA上是否存在点P,使DP/平面ABC.若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由.18.（本题满分13分）22已知椭圆C:与+A=1(a>b>0)的左焦点是F(-1,0),上顶点是B,且BFab直线y=k(x+1)与椭圆C相交于M,N两点.(I)求椭圆C的标准方程；uumuur(n)

8、若在x轴上存在点P,使得PM,PN与k的取值无关，求点P的坐标.19 .(本题满分13分)已知函数f(x)=ae"x+1,awR.(i)当a=1时，求曲线y=f(x)在(0,f(0)处的切线方程;(n)若对任意x10,F),f(x)<0恒成立，求a的取值范围;1C(出)当xq0,y)时，求证：2e2<qX2x.20 .(本题满分14分)设函数f(x)=x,方程f(x)=x有唯一解，数列匕/满足mx22f(an产an4(nWN*),且f(4尸，数列bn满足bn=一an(nwN*).十、113*(I)求证：数列一是等差数列；1an，1(n)数列cn满足cn=(nWN*卜其前n

9、项和为Sn,若存在nN”，使bnbn1-1kSn=-n+4(kwr帧立，求k的最小值；(出)右对任思nuN最大值.,使不等式工+1+1L，+11blJb2J曲10_成立,求实数t的2n1高三数学（理科）考试参考答案2015年4月题号12345678答案DABCBDAC选择题:二.填空题:9.2或410.6311.2412.513.2614.三.解答题：15.（本小题13分）解：（I）因为AABC的面积是包3,c=5,41所以一acsinB215/3.即1a42所以a=3.由余弦定理b232+c-2accosB,（n）由正弦定理sinAsinB所以sinA=3呆3410分所以cos2A=1-2s

10、in2A=1-2：i3314719813分16.（本题13分）解:（I）设“年龄在力5,30）的被调查者中选取的2人都是赞成”所以Pa二CH（n）设“选中的4人中，至少有3人赞成”为事件B,所以PB=+_2_2一C5c32（出）X的可能取值为0,1,2,3.P(X=1)=C；C；C；+c；c2c；C；C2P(X=2)=C；C；+C；C2c2c1C；C；13P(X=3)=30c；c2c；C；C；11511分所以X的分布列是X0123P12131105301512分一_12131所以EX=01-213310517.（本小题14分）3015221513分2111c1222C3c2C1C3c2c2C3

11、c21-2_2'=2-2C5C3C5c3解：(I)连结AC,因为AC=AA,/AAC=,AB=BC,点O为AC的3所以A1O_AC,BO_AC.因为AO|BO=O,所以AC，平面AOB.（n）因为侧面A1ACC11底面ABC,所以AO1平面ABC.所以AO_LBO.所以以O为坐标原点，分别以OB,OC,OA为X轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,所以a(0,1,0),b(6,q0),c(0,1,0),A1(0,0,V3),b(出,1,73),即3x2y.3z=0,2y=0.所以AA1=0,1,.3,AB1=<3,2,3,AC=0,2,0.nAB1,设平面ABC的法向量为n=(x,y

12、,z),所以gT1,nAC,所以nh：”1,0,1.因为平面ABC的法向量为AO=(0,0,#),所以<cos（AA，n）=-3_=-1232所以二面角BAC-B的余弦值是.2因为点B关于AC的对称点是D,所以点D(J3,0,0),10分TT假设在直线AA上存在点P符合题意，则点P的坐标设为(x,y,z),AP=九AA.所以AP=(x,y+1,z).所以P(0,儿1,J3九)所以DP=(J3,九一1,，3九,12分因为DP平面ABC,平面ABC的法向量为n=(1,0,1),所以由DP：=0.,得-无6=0.所以九=1.,13分所以在直线AA上存在点P,使DP平面ABC,且点P恰为A点.，

13、,，14分18.(本小题13分)解：(I)因为椭圆C的左焦点是F1(1,0),且BF；=2,所以c=1,a=2.,1分所以由a2=b2+c2,得b2=3.,2分22所以椭圆C的标准方程是二十L=1.,3分43(n)因为直线y=k(x+1)与椭圆C相交于M,N两点，y=kx1,.1.一，.画9999联立万程组222消去y,得（3+4k）x+8kx+4k12=0.人工=143i,5,J2所以.：=144k1440.,6分所以设点M（xi,y1）,N（x2,y2）,Plx。,。）,_2,2,_8k,4k-12x1x2=2",xi1_x2-2-,34k34k所以PMPN=x-X0，YiX2-

14、Xo，y2=Xi-Xgx2x0丫佻2.2=Xi又2-XgXiX21，kXi1X212122=ikXiX2k-Xg11：XiX2kXg.22/,24k2-12,2-8k2,22=1krk-Xg2kXg34k234k24k2-124k4-12k2-8k48x0k23k24k42二2'xg34k一29分12分13分8xg-5k-12234k2Xg因为pMpN与k的取值无关,8xg-54所以=.-123所以Xg=-.所以点p的坐标是1-1i,g888J19.(本小题13分)解：(I)因为f(x)=ae*x+1,a=1,所以f(x)=e"x+1.所以f'(x)=ej1.所以f(

15、g)=2,f(g)=2.所以切线方程是y-2=-2x,即2x+y2=g.(n)由f(x)<0可得ae«x十1c0.所以a:二x-1ex.令g(x)=(x1)eX.所以g'(x)=xeXa0.所以g(x)在(0,收)上单调递增.所以-1<g(x)<0.所以a<-1.x12(出)令hx=2e=-2-2xx所以h.x)=2e"-x21.由(n)可知，当a=2时，f(x)=_2e“-x+1<0.所以h,x:二0.所以h(x)在(0,收p：单调递减.所以hx：h0=0.1 2所以2e“-2：:-x2-x.220.(本题14分)x解：(I)因为f(

16、x)=,万程f(x)=x有唯一解,mx29分11分12分13分2所以=x.即mx十(2m1)x=0(m。0)有唯一解.所以.2：=4m-4m1=0.,1所以m=一.2所以所以2afanf所以anan1-2an1-2an=0所以an1an2,2因为f(a1)=-,所以32a1a1所以a1=1.所以数列身首项为j差为2的等差数列1112(n)由(I)得一=一n+一.所以an=1an22n1一.4-3a因为bn=,所以bn=2n-1.an所以cn所以Sn11111=-bnbn+(2n1)(2n+1)212n12n+1J111.111 -1n2n12n13352n-12n1217)c1寸”4417因为kSn=n+4,所以k=2=n