分类讨论思想

1、常用数学思想方法（常用数学思想方法（2 2） 分类讨论思想分类讨论思想第2讲分类讨论思想分类讨论的思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解 (或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略分类讨论思想可以优化解题思路，降低问题难度w 1. 分类讨论思想w 分类讨论思想是将问题已知条件涉及的集合划分为若干子集，在各个子集内分别讨论问题的局部解，然后通过组合各局部解而得到原问题的解答的思想方法。2分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等；(2)由性质、定理、公式的限制引

2、起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等； (3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等； (4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等； (5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法； (6)由实际意义引起的讨论

3、：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用3分类讨论的原则(1)不重不漏；(2)标准要统一，层次要分明；(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论4解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论；(2)对所讨论的对象进行合理的分类；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；(4)归纳总结：将各类情况总结归纳归纳总结：将各类情况总结归纳w 5.简化分类讨论的策略w 正难则反；换元法；数形结合等.w 6.什么情况下用分类讨论思想w 当解答问题时不能很明确说明，即 说不清楚时就要进行分类讨论。分类讨论思想方法的应用 1、数学概念的分类方

4、法 数学中的许多概念是分类定义的，比如：直线的斜率、指数函数、对数函数等，与这些数学概念有关的问题往往需要根据数学概念进行分类、从而全面完整地解决问题 2、运算需要分类讨论的类型 分类讨论的许多问题是由运算的需要引发的，比如：除法运算中分母是否为 0；解方程、不等式中的恒等变形；用导数求函数单调性时导数正负的讨论；对数运算中底数是否大于1；数列运算中对公差、公比限制条件的讨论等，如果运算需要对不同情况作出解释，就要进行分类讨论 3、图形变化引起分类讨论的类型 一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；

5、圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；立体几何中点、线、面的位置变化等答案答案C例题3.若函数f(x)axxa(a0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_分析：把零点的个数问题转化为函数图象交点的个数问题，作函数的图象时，注意对参数a的讨论解：设函数yax(a0且a1)和函数yxa，则函数f(x)axxa(a0且a1)有两个零点，就是函数yax(a0且a1)的图象与函数yxa的图象有两个交点由图象可知(图略)，当0a1时，两函数只有一个交点，不符合；当a1时，因为函数yax(a1)的图象过点(0,1)，而直线yxa的图象与y轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交

6、点，所以实数a的取值范围是a1.答案a1答案B.aABA,01|B,023|A7.,121|B,52|A.6.522的值，求若集合已知集合例题的取值范围试求实数且集合已知集合例题圆周角定理的证明例题aaxxxxxxmABAmxmxxx.1) 1(,.10.141 , 1-) 10( 12. 9.,4125, 0)6sin()(. 822范围求恒为正，已知例题的值，求实数上的最大值为在区间且如果函数例题的值，求，最小值为最大值是上的在已知例题mmxmmxRxaaaaaybaxbaxfxx.1 , 0)(2;) 1 (., 0,)(.13.| , |PF|PF|149.12._20, 0.1122

7、12121222222上的最大值在区间）求函数（讨论函数的单调性为自然对数的底数其中已知函数例题的值求点，且个顶是一个直角三角形的三、上一点，已知为椭圆的两个焦点，设为椭圆例题倍，则是短轴的的长轴椭圆设常数例题xfeaexxfPFPFFFPPyxaayaxaax.|cot|cot|tan|tan|cos|cos|sin|sin.14的值域求函数例题xxxxxxxxy分析：(1)配方，转化为二次函数求值域；(2)转化为求g(x)在0,3上的值域问题练习3. 抛物线y24px(p0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若OPF为等腰三角形，则这样的P点的个数为A 2 B 3 C 4D6分析：

8、根据题意讨论P点的位置，确定其满足题设条件的个数答案答案C练习练习4 4有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是_解：根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱锥形的铁架，有以下两种情况：(1)底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a如图(1)，(2)构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图(2)，此时a0且a4，即0a4.综上分析可知a(0,4)答案(0,4)图(1)图(2)练习5. 等比数列an中，a37，前3项之和S321，则公比q的值为_练习6. 已知a0，命题p：函数ya

9、x(a1)在R上单调递减，命题q：不等式|x2a|x1的解集为R，若p和q有且只有一个是真命题，则a的取值范围是_w人生的满分 -潘西文人生中什么才是最重要的呢？勤奋 知识 运气 爱 金钱w A B C D E F Gw 1 2 3 4 5 6 7w H I J K L M Nw 8 9 10 11 12 13 14w O P Q R S Tw 15 16 17 18 19 20w U V W X Y Zw 21 22 23 24 25 26勤奋wHardworkw8+1+18+4+23+15+18+11=98知识wKnowledgew11+14+15+23+12+5+4+7+5=96运气wL

10、uckw12+21+3+11=47爱wLovew12+15+22+5=54金钱wMoneyw13+15+14+5+25=72态度wAttitudew1+20+20+9+20+21+4+5=100w 不一样的态度造就不一样的人生。很多时候人们都期望生活能获得更好的变化，当我们开始改变自己的态度时，这种变化就会发生。w 当你对他人采取更友善的态度，就会觉得人们变得更加亲切；当你对挫折采取更积极的态度，就会发现原来在损失之外还有很大的收获 改变态度， 你的人生就能获得满分！一位美国圣公会的主教曾这样写道w 年轻时浮想联翩，w 立志要改变世界；w 当我长大明事理，w 现实把理想破灭。w 于是我缩小目标

11、，w 改变国家就很好。w 但是看来，w 国家也难撼动分毫w 当我步入暮年，w 改变家庭是我愿。w 可亲人却不肯，w 听从我任何意见。w 现在走向坟墓，w 我方初次领悟。w 只有先改变自己，w 才能带动家庭进步。w 有了他们的帮助，w 兴许能让国家走改革之路。w 谁知道，这改革之风，w 不会吹遍世界各个过度？我的人行道有个洞w 一w 我走在大街上。w 有个深洞在人行道旁，w 我掉进了深洞。w 我迷失。我彷徨，w 这不是我的错。w 我花很长时间才回到地面上。w 二w 我走在大街上。w 有个深洞在人行道旁，w 我没看见-我假装。w 我再次掉进了深洞。w 我无法相信竟到达同一个地方，w 但这不是我的错。w 我仍然花了很长时间才回到地面上。w 三w 我走在大街上。w 有个深洞在人行道旁，w 我看见它在那里。