理论力学经典课件-第五章--动量定理和动量矩定理

1、 模型:研究机械运动与力的作用关系理论的普遍性: 离散型 松散介质:连续型固体、流体、刚体(包括刚体、结构、弹塑性结构、流体等)直接用于一切动力学受力的质点系意 义:2.动强度设计1.一切动力学基础经典动力学分析动力学牛顿力学、矢量动力学(物理中已阐述)两个原理为基础内容:动量主矢变化与外力主矢关系动量主矩变化与动量主矩关系5-1-1 牛顿三大定律5-1 质点动力学方程5-1-2 质点的运动微分方程任何物体具有惯性；力是改变运动的原因。 牛顿在地球上发现，总结于自然 哲学的数学原理。1.惯性定律 不受力质点，保持静止或匀速直线运动状态(相对惯性系)。表明:2. (对质点)maF 即 合力与加速

2、度同时、同向。22ddmtrF 5-1-1 牛顿三大定律5-1 质点动力学方程0Ba此时弹力，摩擦力不变:ABAAAmfmmmFag A与B在F作用下匀速运动，已知突然拆去F后，求此时 AB,aa 。ABm ,mf和kBAF5-1-1 牛顿三大定律5-1 质点动力学方程0Ba物块沿斜面运动， 沿斜面。 a ABAAmgmmacossinRFFG故合力沿斜面，且 已知 求物体所受合力。 0,fG,F,AB,aaABm ,m 已知 悬挂重物，求绳断时 ?BAkFG5-1-1 牛顿三大定律5-1 质点动力学方程m20m xx光滑圆管在水平面匀速转动，管内小球如何运动? 三大定律适应惯性系(地球、地心

3、、日心)不仅适应用平衡体，也适应非平衡体。第3定律可用于非惯性系。3.作用与反作用定律在x方向投影:即 小球沿管向外运动。2mxmxCa2xx x5-1-1 牛顿三大定律5-1 质点动力学方程5-1-2 质点的运动微分方程1.两种形式imt, ,rFr rxFxm Fsm 投影式 a、直角坐标b、 弧坐标系矢量式 yFym zFzm 2nsmF0bF5-1 质点动力学方程坐标与坐标导数正向相同。投影式两边正方向相同。还有柱坐标、球坐标式等。绕线轮与滑块，已知，r，m，f0，求 与x的关系。TFcosAvrABORxAvAa2.两类问题:第二类:第一类: 已知运动求力微分已知力求运动积分22co

4、sxrx22Arvr1x5-1-2 质点的运动微分方程5-1 质点动力学方程4225222Tmr xFxr研究滑块AcosTAFma由 得为所求AaATF42222Ar xaxr得Axv 注意到:33222AAr avxxr5-1-2 质点的运动微分方程5-1 质点动力学方程 如何可使 与坐标正向一致？Aa建立图示 坐标1x，1xlx1Axa不对，A、B两点均运动。d dABlrt 对吗?ABORxAa1x5-1-2 质点的运动微分方程5-1 质点动力学方程质量为m小球在空气中下落，试求小球的运动。20000F,y,v2mymgFmgy2 vgvm即myoyvFmgmgc设22vcvm则5-1

5、-2 质点的运动微分方程5-1 质点动力学方程2200d dvtvtcvmcth()gvtcdcth()dyt00gyttc2lnch()cgytgcddyt 存在极限速度 ，小球趋于等速运动；cvm运动分析:v/cgt/cO12 mmgv即此时 阻力与重力平衡 mv空中降落伞很快达到mmgvc5-1 质点动力学方程5-1-2 质点的运动微分方程5-2质点系动量定理ddeitpF第五章 动量定理和动量矩定理5-2-1 质点系的动量5-2-2 质点系动量定理5-2-3 质心运动定理iiCiiCmmmmpvvrryiiCypm ymvxiiCxpm xmvzCzpmv(动量系的主矢) 已知m,r,

6、 比较两环 大小?21pp ,m2m2o1omrr5-2-1 质点系的动量5-2 质点系动量定理PC 求均质杆合动量 ， 对吗?(与内力有关吗?)mlp2p3lP 位置不对! 应在 处.(向C简化，还有动量主矩 )cL3lp123pr mr mmr22prm21 pp 故5-2-1 质点系的动量5-2 质点系动量定理ddetpF1.微分式2.积分式3.守恒式0eF 常矢p0eRI 21pp (不一定守恒)2121dteeRttppFI5-2-2 质点系动量定理(由对质点的动量定理，求和得到) 揭示外力主矢与动量变化之关系，形式上与内力无关。5-2 质点系动量定理三种形式均有投影式ddxxpFt

7、 21exxxppI 0 xFxp 常量则5-2-2 质点系动量定理5-2 质点系动量定理2TFmgIImv与 成 角,v 圆锥摆，已知 试求半周期内绳张力冲量 。TFImvR、 、22()(2)TFRImgmvvmvI2tgmg1 -方向:2mvmgITFIvvmRTFmg5-2-2 质点系动量定理5-2 质点系动量定理描述了质系质心运动与外力主矢的关系。5-2-3 质心运动定理Cmpv1.定理ddtp对刚体仅描述了随质心平移的一个侧面。 eCmaF 炮弹在空中爆炸后，其质心仍沿抛物线运动，直到一个碎片落地。跳水运动员质心作抛体运动。Cimmiaa 5-2 质点系动量定理2.质心守恒(不动)

8、01) 0eCOFv若00CCavCr 常矢02) 0 xC xOFv若00C xC xavCx 常量 对！ Ciimxm x t，Ciimxm x 有Ciimxmx0iimx对吗?Cx 若常量，0iim x，则则故有0Cx当时，5-2-3 质心运动定理5-2 质点系动量定理0 xF0mx有 则右移设,SAA()02AABAa bmSmS() ()BAABa b mS2 mm 0Cx,且(左移)BbaBAABm ,m ,a,b,90AS 已知 力偶使B转 后，求 。M5-2-3 质心运动定理5-2 质点系动量定理CAB均质杆在铅垂面内滑倒，f=0,求杆端A运动轨迹? 0 0 xCF,x,2co

9、ssinAAlxyl22224 1AAxyll故杆质心C沿铅直线运动。设任意时刻t，状态如图yxCvCAB5-2-3 质心运动定理5-2 质点系动量定理 物A置于箱B右端在水平力F作用下，B由静止开始运动已知 。B在2s内前移5m，不计B与地面摩擦。试求A在B内移动距离(B足够长)。20kg30kg120NABm,m,FFAB5-2-3 质心运动定理5-2 质点系动量定理研究整体: AABBFm am a ,由有1202030 (1) ABaa212BBSa t ,而 有(1),代入式得21 4.5(m)2AASa t故54.50.5(m)ABBASSS ,aB2521525(m/s )2B

10、a故 29(m/s )4Aa FAB5-2-3 质心运动定理5-2 质点系动量定理无相对运动时:经时间t1，发生第1次碰撞。 为什么 =常量?BaBABmmFa A对B的摩擦力 大小为是常量。 Am gf2591m/s244ABBAaaa 若给定B长4m, 完全弹性碰撞以后情形?（有向后与向前之区别）,taAB21214 18 44 2(s)t Am gfFAB有相对运动时:5-2-3 质心运动定理5-2 质点系动量定理水平管绕轴z转动，A，B两球细绳相连，22kg0.5kg0.2kg mABCm,m,J,40cm/sArv,求 (不计摩擦和绳重)。100cml,图示瞬时，测得60cmAr,0

11、.5rad/s, ArAlBz5-2-3 质心运动定理5-2 质点系动量定理ddzzJtJ d0dzLt0zzM,L常数，22() zzCA ABALJJm rml r而ddzzJJ 0t代入上式，得d22()()0.8dzA AArBAArJm r vmlrvt而20.4rad/s 故不变， 变化， 变zLzJ则ArAlBz5-2-3 质心运动定理5-2 质点系动量定理 曲柄滑槽机构。已知 ，G为导杆 重心。曲柄、滑块、导杆质量分别为 试求支 座O动约束力。 2,lBGlOA123m ,m ,m 。OABG5-2-3 质心运动定理5-2 质点系动量定理C xiiOxmam xF 123cos

12、cos( cos)22Cllmxmtm ltmlt而 2123(2)cos2OxClFmxmm2mt 故 2max123(22)2Ox lFmmm212 (2)sin2O yClFmymmt 同理2max12 (2)2O ylFmm由质心运动定理t 当时，2t 当时，OABGyxOxFOyF5-2-3 质心运动定理5-2 质点系动量定理偏心电机转动时，支座动约束力多大？OxCFmx22d( cos)dmettOyCFmytme sin22cosmet me1OCOOxFOyF5-2-3 质心运动定理5-2 质点系动量定理炮车放炮。已知 （对地）求反冲速度 。u1m ,m, ,v,rvuvcos

13、cossinsinrrvv u vv上式在x，y方向投影urvvu1mmv22211() tgmvummm 20 xp,由有1cos0mumv解之得:11tgtgmmm可见当时1mm 5-2-3 质心运动定理5-2 质点系动量定理11tgmmm 不计空气阻力， ?射程最远。 炮台放炮（高h） ?射程最远。45时，射程最远，此时2202ttv vvgh,，设炮弹落地速度为(能量守恒)tv可见 一定时。 大小一定，且0vh，0tvvgt0cosxvt要使水平射程 最大。1mmh5-2-3 质心运动定理5-2 质点系动量定理002t0tg2vvvvgh 01cos22gxgtv只要 最大。即图示矢量

14、三角形面积最大。0tv ,v因 边长一定。0tvv必有 即代入上式01210tgvmmmv2gh得 时，水平射程最大。gt0vtv5-2-3 质心运动定理5-2 质点系动量定理5-3-1 质点系的动量矩5-3 质点系动量矩定理)(ddeo0FMLt第五章 动量定理和动量矩定理5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理5-3-2 质点系对固定点的动量矩定理2. 对运动点A1. 对固定点OiiiOLrm v AOLLAOPxxiixOxLL (m)L 或vL0Av(1)对两个固定点A,O 之关系(2)对固定轴x (1)绝对动量矩(数学上完全类似力矩) P 动量Aiiim Lrv绝对速度iv5-3-1

15、 质点系的动量矩5-3 质点系动量矩定理(2)相对动量矩(在A点固连平移系)Aiiim Lrv()AiiAim LrvviAivvv() AAAmLLACvCCLLAmACvAiiAmvrL相对速度iv(3)两者关系故C为质心，0，AC当即动点为质C时对质心得绝对与相对动量矩相等5-3-1 质点系的动量矩5-3 质点系动量矩定理3.刚体的动量矩(对固定点A)iCvv(对动点A， 形式同上，但 为一般运动矢) ACAL()AiiCCmm LrvACvACP(1)平移且有Ar设rvk ,kjirzyx(2)定轴转动对轴上一点O:dOxzyzzMmJJJLr vijkkij0LO5-3-1 质点系的

16、动量矩5-3 质点系动量矩定理ddxzyzMMJxz m,Jyzm,可见:(可以证明任意点存在 三根主轴)0 xzyzJJ OzJ有L d22zMJxym,其中称为惯性积；为对z轴转动惯量。;O不沿 方向L一般情形, 当转轴z为主轴时， 5-3-1 质点系的动量矩5-3 质点系动量矩定理212CJmR2112CJml常见主轴质量对称面对称轴常见刚体均质轮均质杆CO5-3-1 质点系的动量矩5-3 质点系动量矩定理平行轴定理:2OCJJOC m2OJm工程中:(只能从质心移动)惯性半径或迴转半径CO5-3-1 质点系的动量矩5-3 质点系动量矩定理 在刚体上建立质心平移系 ,且使 运动平面，则相

17、对运动为绕 轴的转动，已知 对两固定点A、C C x y zCz CzCv,ACCmLLACv CCx zz yzLLJJJ ijk(3)平面运动a)一般情形Czxy5-3-1 质点系的动量矩5-3 质点系动量矩定理b)主轴情形若 为主轴，则C z0;x zy zJJ CCJ LAC,LL()ACCmLLACv则故方位相同，可视为代数量。CzxyAm,r,L求。ACLJ mr r-h 均质轮滚动，已知ccvrAhrCCv5-3-1 质点系的动量矩5-3 质点系动量矩定理()OCCLmvR rJ vCOCCm,R,r,v ,L ,L ,L求。 均质轮纯滚，已知vvvCCCCvLJ Jr 212C

18、CLLmr ROvCCvrccvrrCCv 各构件质量均为m，求 。OL a1rO2rC br2lrCO2r5-3-1 质点系的动量矩5-3 质点系动量矩定理12222122211()32OrrLml m rrmrrOCLLOCP21rrl22211(2 )(2 )212mrmrmr0图(a):图(b):2296mr a1rO2rC br2lrCO2r5-3-1 质点系的动量矩5-3 质点系动量矩定理 br2lrCO2r2222112(2 )212OLmr rmrmrmrmr 2OCLJ mr rmrmr22629)3423(2C(亦可按平面运动刚体计算!)5-3-1 质点系的动量矩5-3 质

19、点系动量矩定理5-3-2 质点系对固定点的动量矩定理(分别对各质点，再求和，内力矩抵消)ddeOOt LMeOuM几何解释，类比ddddO,ttLrvu 矢端速度等于外力系对O点的主矩OL2121dteeOOOOtt LLMMI冲量矩定理外冲量矩(赖柴定理)1.微分式:2.积分式:5-3 质点系动量矩定理3. 守恒式:0eO,若Md0dLLOO,t常矢则4 .投影式:ddexxLMt2211dteOxOxxtLLMt0exM,若守恒方向性则xL常数如圆锥摆:0eO,M0eOC,M而CL守恒不守恒OLOCL守恒0eC,MvCGTFO21d0teOtt,若M12OOLL则5-3-2 质点系对固定点

20、的动量矩定理5-3 质点系动量矩定理211sin12OOLLml 已知 O为均质细杆质心， ，求A、B动约束力。,mllAB 杆细长，可略去 ，方向 22OL eO由uM cosOuL 而2sin224eOABMmlFFl故 方向如图，右手法则AF1OLBAOl21 BF5-3-2 质点系对固定点的动量矩定理5-3 质点系动量矩定理若考虑 有何变化? 若固结点偏离质心O,如图所示， A,B处动约束力又何变化? 类似方法，可求矩形板，圆盘转动时的动约束力。2OAB,LF F均减小。相应增大。BAO1O5-3-2 质点系对固定点的动量矩定理5-3 质点系动量矩定理Or1m2mm已知 ，求a。121

21、2()m,r,m ,mmmddeOOLMt1212()dd()2 mmgt2m2mm r研究整体，受力如图。由(不用隔离体法)ar故 212d1()d2mmm r t即 12()mmgr1m g2m gOyFOxFamg5-3-2 质点系对固定点的动量矩定理5-3 质点系动量矩定理若不计绳与滑轮的质量，则aavv21AABBOm v rm v rJ BAvv猴子爬绳比赛，已知ABArBrmm ,vv。若考虑绳与滑轮的质量，则显然，AB5-3-2 质点系对固定点的动量矩定理5-3 质点系动量矩定理CBADI221312 (2)3212ABCBDIlml mvlml 两杆铰接悬吊，已知 求冲击后，

22、求m,l,I，ABBD，。设冲击后，速度如图。研究整体，由冲量矩定理，对A轴(1)12CABBDvll且 BDABCv研究BD杆，对固定点 ，由冲量矩定理有B21212CBDlI lmvml (3)5-3-2 质点系对固定点的动量矩定理5-3 质点系动量矩定理 (1)对固定点A、B，使用冲量矩定理，避免了未知 的约束力冲量. (2)BD杆相对固定平面作平面运动. (3)悬吊n根杆受冲击的思考.5-15 5-18 5-33 5-35 5-39 5-40 5-41 类似习题:(对固定点)(对运动点) 123由、 、 得630( )( ) 77ABBDII,mlml5-3-2 质点系对固定点的动量矩

23、定理5-3 质点系动量矩定理d,d2ABLlmgF lt由0,BF 令飞轮角加速度多大时，FB为零？2OlJmg则BABAmgBF5-3-2 质点系对固定点的动量矩定理5-3 质点系动量矩定理如何设计双足机器人行走侧向稳定方案？5-3-2 质点系对固定点的动量矩定理5-3 质点系动量矩定理5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理由物理，对运动质心C，有ddCCLMtAdd?Lt 对一般运动点A 5-3 质点系动量矩定理imzxyOCA 在A点固连平移系为任一质点。,iAx y z m 1 .定理的一般形式Oii iACALrmvLOA mvmAC viri r, iiiArirOArvvv(复

24、合运动)A为运动点(已知vA，A)C为质点。dd AACCCAAALvmvOA mamvvmACat对一般动点AddAALMtd()()d eAAALMFACmat )(Acvv eei rFOA rF 平移系中， (绝对导数相对导数) (动系单位矢方向不变)ddddAALLtt由于修正项，工程中一般不用，用于非惯性系中。ddOOLMt 代入5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理5-3 质点系动量矩定理2. 定理的特殊形式使修正项 的情形()0AACma ddAALMt 10,( ) Aa (A固定，匀速直线，加速度瞬心)(2) 即，A为质心C0AC(3) 与 共线， AaAC0AaACdd

25、AALMtddCCLMtddCLt5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理5-3 质点系动量矩定理 均质杆长l，绳段瞬时 0 AaAC有d,dAALMt2132lmlmg即如何用最简方法求?32gl故BACmgAa5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理5-3 质点系动量矩定理 均质轮滚动，已知 。0, vCvaC C 有dd vvCCLMt即232mrFr23 FmrFr,m,vCaccvrrCCvFvC5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理5-3 质点系动量矩定理 均质杆长l,沿墙滑落。cos2vCGlJCvC=常数时， 指向CvCacos2 vClJG有AFBFGBACvCvCa5-3

26、-3 质点系相对运功点的动量矩定理5-3 质点系动量矩定理 半圆柱，一般位置时。 0vCvaCC当直径面水平时， 指向C，有vCaddvvCCLMtddvvCCLMtvCa不指向C，COvCmgvCa5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理5-3 质点系动量矩定理 均质环滚而不滑，A球固结环上，求 绳段瞬时 。有 00Ba ,cos30BJmgr0OOCa再思考: 滚至OA水平时，再求 。O指向质心CmmrO030AmgmgBCOrAFB5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理5-3 质点系动量矩定理0JmgrFr有d,dAALMt即2222ddmrmrmrmrmgrt2()Fmrm rr而2

27、22111()2222mgrmrmrmR又由能量守恒可求4gr故24mrmgr对固定点A，COrAFB另解:5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理5-3 质点系动量矩定理若 则猫在下落过程中如何翻身？跳水时如何产生多周旋转？转椅上的人如何能自转动180 ？3. 动量矩相对守恒0CMCL 常矢对质心轴:若 则0CMCL 常量可解释:5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理5-3 质点系动量矩定理4 . 刚体平面运动微分方程, eCmaF有CCJM与动量定理和动量矩定理数学上等价。ddczCZLMt 由 有 分解为随质心C平移绕C轴转动 CxCymxFmyF由5-3-3 质点系相对运功点的动量矩

28、定理5-3 质点系动量矩定理常与动量定理结合，求解时间相关问题。灵活选矩心，严格守条件。结合运动学条件。5 . 典型问题 圆轮问题mRFhf， ， ， ， ，已知sCaF、 。求ChF1)解题要点5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理5-3 质点系动量矩定理 受力与加速度分析如图。由刚体平面运动方程，有:假设轮滚动，即联立解之得ChF124()3 ( ) ( ) () ( )CsNsCmaFFFmgF hRF RJ未知量 4 ( )CaR2(32 ),33 CsFhFRhaFmRRmgSFCaNF5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理5-3 质点系动量矩定理当h3R/2时， 向右sF h3

29、R/2时， 0sFChFmgSFCaNF可见:5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理5-3 质点系动量矩定理不听话的绕线轮。已知m, r, R, f, F, 求 。caarccosrR当时，(前滚)0arccosrR当时，(后滚)0arccosrR当时，(平移)0CrFR5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理5-3 质点系动量矩定理 如图所示，长为l的均质杆AB，重量为G，从静止于直角墙角且倾角为 的初始位置开始运动。若不计摩擦，求任意 角位置时杆的角速度与角加速度。2.00GBAC5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理5-3 质点系动量矩定理lcos2 (1)vCJG3cos(2)2

30、gl221124 vCGG lJlgg而ddddddddtt又故 当杆端A没离开墙角时，AB杆的速度瞬心在Cv点， ，在任意 角位置时，有l2vC C GBACBFAFvC5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理5-3 质点系动量矩定理003dcosd2gl 03(sin-sin) gl 故 舍去正值代入式(2),并积分得1) 如何求任意位置时FA,FB大小？2) A端在何位置离开墙面？3) 考虑摩擦时，如何求解？GBACAFBFvC5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理5-3 质点系动量矩定理 水平管绕轴z转动，A，B两球细绳相连， 图示瞬时，测得 ,求 (不计摩擦 和绳重)100cml,

31、60cm40cm/s0.5(rad/s)AArr,v,22kg0.5kg0.2kg mABCm,m,JArlzAB5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理5-3 质点系动量矩定理0zzM,L常量22() zzCA ABALJJm rml rd0dzzJ J td22()()0.8dzA AArBAArJm r vmlrvt 20.4(rad/s ) ddzzJtJ d0dzLt则而代入上式，有而故zL不变， 变化，变zJArlzAB5-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理5-3 质点系动量矩定理 稳定流体的动约束力。图示变截面弯管中的稳定流体各处速度不变）。已知 重力G，入、出口相邻流体压力 ，试求流体对管壁引起的附加动约束力。21FF ,21vv ,G2F1F2v1v215-3-3 质点系相对运功点的动量矩定理5-3 质点系动量矩定理 将流体段所受动约束力向某定点O简化。先求其动约束力主矢量。考察该质点系动量的变化，在 t内:121 2iiiimmpppvv12