高数多元函数概念极限连续PPT学习教案

1、会计学1高数多元函数概念极限连续高数多元函数概念极限连续一、平面点集的有关概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性Ch7-1 多元函数的基本概念 第1页/共29页1. 邻域 ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx一、平面点集的有关概念0P 第2页/共29页2. 区域.)()1(的的内内点点为为，则则称称的的某某一一邻邻域域存存在在点点平平面面上上的的一一个个点点如如果果是是是是平平面面上上的的一一个个点点集集，设设内内点点EPEPUPPE .EE 的的内内点点属属于于E1P .)3(为开集为开集则称则称的点都是内点，的点都是内点，如果点集如果

2、点集开集开集EE41),(221 yxyxE例如，即为开集.)()()2(的的外外点点为为，则则称称使使得得，的的某某一一邻邻域域如如果果存存在在点点外外点点EPEPUPUP 2P 第3页/共29页的的边边界界点点为为），则则称称，也也可可以以不不属属于于于于本本身身可可以以属属的的点点（点点的的点点，也也有有不不属属于于于于的的任任一一个个邻邻域域内内既既有有属属如如果果点点边边界界点点EPEEPEEP)4(EP .EEE 的边界记为的边界记为的边界点的全体称为的边界点的全体称为是是连连通通的的，则则称称开开集集且且该该折折线线上上的的点点都都属属于于线线连连结结起起来来，内内任任何何两两点

3、点，都都可可用用折折是是开开集集如如果果对对于于设设连连通通集集DDDD)5( 第4页/共29页 ( , )0 x yxy 22( , ) 14x yxy ( , )0 x yxy 22( , ) 14x yxy开区域闭区域(a)(b)(c)(d)xyo21xyoxyoxyo21(6) 区域 连通的开集称为区域或开区域开区域连同它的边界一起称为闭区域(a)(b)(c)(d)第5页/共29页0| ),( yxyx有界闭区域；无界开区域xyo例如，称称为为无无界界点点集集为为有有界界点点集集，否否则则则则称称使使如如果果存存在在正正数数对对于于点点集集ErOUErE),(, 41| ),(22 y

4、xyx3. 有界集第6页/共29页4. 聚点(1) 内点一定是聚点；(2) 边界点一定是聚点；10| ),(22 yxyx例如，(0,0)既是边界点也是聚点第7页/共29页(3) 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E10| ),(22 yxyx例如,(0,0) 是聚点但不属于集合1| ),(22 yxyx例如,边界上的点都是聚点也都属于集合第8页/共29页5. n维空间(1) n维空间的记号为;nR(2) n维空间中两点间距离公式 第9页/共29页),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ 注：n维空间中邻域、区域等概念 nRPPPPPU ,|

5、),(00 特殊地, 当n=1，2，3 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：设两点为第10页/共29页1. 引例 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦(秦九韶)公式2,Vr h (,RTpRV 为为常常数数）()2abcp cba ( ,)0,0r hrh 0(,)0,V TVTT ( , , )0,0,0,a b cabcabc()()()Sp papbpchr二、多元函数的概念第11页/共29页当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数. 类似地可定义三元及三元以上函数,),(),(Dyxyxfz 记记为为定义 1

6、设D是平面上的一个点集，则称映射 f:DR为定义在D上的二元函数，DPPfz ),(或或2. 二元函数的定义点函数符号 f (P) 第12页/共29页例1 的定义域的定义域求求222)3arcsin(),(yxyxyxf 解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD 第13页/共29页二元函数的图形通常是一张曲面.3. 二元函数z=f(x,y) 的图形第14页/共29页xzy221zxy定义域为 22( , )1x yxy圆域图形为中心在原点的上半球面.,sin(),zxy 又又如如12( , )Rx y 三元函数 222arcsin()ux

7、yz定义域为 222( , , )1x y zxyz图形为4R空间中的超曲面.单位闭球xyzo第15页/共29页三、多元函数的极限1. 定义第16页/共29页（1）定义中 PP0 的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似不不同同。及及与与二二次次极极限限),(limlim),(limlim0000yxfyxfxxyyyyxx（4） 二元以上的函数的极限可类似地定义。第17页/共29页例2 用定义证明 证明:01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22

8、yx , 0 , 时，时，当当 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立2二元函数极限问题举例 第18页/共29页例3 求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 第19页/共29页例4 证明 不存在不存在2200limyxxyyx 分析：要证明二重极限不存在，可使P选择不同的路径而趋于P0，如有不同的极限，则二

9、重极限不存在。证明：令P沿直线y=kx而趋于点P0(0,0),则有2200limyxxykxyx 显然，此极限值随k的变化而变化,所以二重极限不存在不存在2200limyxxyyx 2222201limkkxkxkxx 第20页/共29页（2） 找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，存在，但两者不相等，此时也可断言但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxP处极限不存在处极限不存在 确定极限不存在的方法：.,)3(322等等特殊趋向：特殊趋向：xyyxxyxy 第21页/共29页 定义3(1) 间断点的判别与一元函数类似。(2)多元

10、函数不仅有间断点而且有间断线。 1.多元函数连续性的定义 四、 多元函数的连续性第22页/共29页222222,0( , )0,0 x yxyxyf x yxy 在点(0 , 0) 极限不存在 (例4), 又如, 函数221( , )1f x yxy 上间断.221xy 故 ( 0, 0 )为其间断点.在圆周第23页/共29页 多元初等函数：由常数及不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域2. 多元初等函数的连续性 ).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPf

11、PfPPPP 处连续，于是处连续，于是点点在在的定义域的内点，则的定义域的内点，则是是数，且数，且是初等函是初等函时，如果时，如果一般地，求一般地，求 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的第24页/共29页例5.11lim00 xyxyyx 求求解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 第25页/共29页3. 闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果 在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理（2）介值定理第26页/共29页 本节主要讨论了多元函数的概念、多元函数极限及连续的概念 本节要求了解多元函数极限及连续的概念，知道多元初等函数的连续性及有界闭区域上连续函数的性质，会求一些二元函数的极限第27页/共29页思考： 是否存在？是否存在？24200limy