第0章场量复习

1、主 目 录 简 介 使用说明制作人员 致 谢 西安交通大学电工电子教学实验中心监制电 磁 场updated date2001.1.15场场 论论 复复 习习0.1 标量场和矢量场 场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任一个点都有一个确定的标量值或矢量. .例如,在直角坐标下, 标量场)()( ),(222z2y1x45zyx 如温度场,电位场,高度场等;矢量场zy2x2xyzzxxy2)z,y,x(eeeA如流速场,电场,涡流场等.形象描绘场分布的工具-场线矢量场-矢量线标量场-等值线(面). .constzyxh),( 其方程为0d lA其方程为dzAdyAdxAzyx三维场在直角坐标下

2、:二维场dyAdxAyx图0.1.2 矢量线图0.1.1 等值线在某一高度上沿什么方向高度变化最快？0.2 标量场的梯度一. 梯度)cos,cos,(cos)z,y,x(l),z,y,x(g)cos,cos,(cosle设当 ,即 与 方向一致时, 为最大.0),(leglegl 设一个标量函数(x,y,z),若函数 在点P可微,则 在点P沿任意方向 的方向导数为: lgradzyxzyxeeeg梯度(gradient)哈密顿算子)z,y,x(式中),cos(|lleggegl则有: 式中 ， ， ，分别是与x,y,z轴的夹角 例1 三维高度场的梯度例2 电位场的梯度高度场的梯度 与过该点的等

3、高线垂直； 数值等于该点位移的最大变化率； 指向地势升高的方向。电位场的梯度 与过该点的等位线垂直； 指向电位增加的方向。 数值等于该点的最大方向导数；二. 梯度的物理意义 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数; 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向. 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数;图0.2.1 三维高度场的梯度图0.2.2 电位场的梯度0.3 矢量场的通量与散度一、通量 矢量 E E 沿有向曲面S S 的面积分SE dS 0 (有正源) 0 (有负源) = 0 (无源)图0.3.1 矢量场的通量 图0.3.

4、2 矢量场的通量 若S 为闭合曲面 ，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质:sdsE二、散度 如果包围点P的闭合面S S所围区域V V以任意方式缩小为点P时, 通量与体积之比的极限存在，即Sv10vdSAAlimdiv散度(divergence)计算公式zAyAxAzyxAAdiv三、散度的物理意义 散度代表矢量场的通量源的分布特性 A A= 0 (无源） A A= 0 (负源) A A= 0 (正源) 在矢量场中，若 A= 0，称之为有源场， 称为(通量)源密度；若矢量场中处处 A=0，称之为无源场。 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；四、高斯公式(散度定理)V1nn0VnSdV

5、VlimdnAASA高斯公式 该公式表明了区域V 中场A与边界S上的场A之间的关系。VSdVdASA 矢量函数的面积分与体积分的互换。Sv10vdSAAlimdiv图0.3.3 散度定理 由于 是通量源密度，即穿过包围单位体积的闭合面的通量，对 体积分后，为穿出闭合面S S的通量AA0.4 矢量场的环量与旋度一、环量该环量表示绕线旋转趋势的大小。水流沿平行于水管轴线方向流动=0，无涡旋运动流体做涡旋运动0，有产生涡旋的源 矢量A沿空间有向闭合曲线L的线积分环量LdlA例：流速场图0.4.2 流速场图0.4.1 环量的计算二、旋度1. 环量密度 过点P作一微小曲面S S,它的边界曲线记为L,面的

6、法线方与曲线绕向成右手螺旋法则。当S S点P时,存在极限LdS1dSdPSllim环量密度取不同的路径，其环量密度不同。2. 旋度 旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。AArot 旋度(curl)它与环量密度的关系为ndSdeA rot 在直角坐标系下zyxzyxzyxAAAeeeA三、旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 在矢量场中，若A=J0,称之为旋度场(或涡旋场)，J 称为旋度源(或涡旋源)； 点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。四、斯托克斯(Stockes)定理 A 是环量密度，即围绕

7、单位面积环路上的环量。因此，其面积分后，环量为iiddilSAAl)(SAlAd)(dSlStockes定理在电磁场理论中，Gauss公式和 Stockes公式是两个非常重要的公式。 矢量函数的线积分与面积分的互换。 该公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关系 若矢量场处处A=0，称之为无旋场。图 0.4.3 斯托克斯定理0.5 亥姆霍茨定理亥姆霍茨定理： 在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。已知矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度场域边界条件在电磁场中电荷密度电流密度J场域边界条件（矢量A唯一地确定）例：判断矢量场的性质?FF?FF?FF=0=0=000=00.6 三种特殊形式的场 1.平行平面场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族平行平面上，场 F 的分布都相同，即 F=f(x,y)，则称这个场为平行平面场。 2.轴对称场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族子午面上，场 F 的分布都相同，即 F=f(r,)，则称这个场为轴对称场。 3,球面对称场：如果在一族同心球