大三上05信号样式编辑母版文本样式

1、第第3 3章章 连续时间信号与系统的频域分析连续时间信号与系统的频域分析3.1周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数3.2连续时间非周期信号的傅里叶变换连续时间非周期信号的傅里叶变换3.3傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质3.4周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换3.5连续时间连续时间LTI系统的频域分析系统的频域分析3.6连续系统的时域抽样定理连续系统的时域抽样定理3.7连续系统频域分析的连续系统频域分析的MATLAB实现实现3.1 3.1 周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数傅里叶生平傅里叶生平 1768年生于法国年生于法国 1807年提出年提出“任何周期信号都可用正任何周期信号都

2、可用正弦函数级数表示弦函数级数表示” 拉格朗日反对发表拉格朗日反对发表 1822年首次发表在年首次发表在“热的分析理论热的分析理论”一书中一书中 1829年狄里赫利第一个给出收敛条件年狄里赫利第一个给出收敛条件非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示 傅立叶的两个最主要的贡献傅立叶的两个最主要的贡献周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和3.1 3.1 周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数傅里叶分析的工程意义傅里叶分析的工程意义各种频率的正弦信号的产生、传输、分离和变换各种频率的正弦信号的产生、传输、分离和

3、变换容易工程实现。容易工程实现。正弦量只需三要素即可描述，正弦量只需三要素即可描述，LTILTI系统的输入和系统的输入和输出的差别只有两要素，即系统的作用只改变信号输出的差别只有两要素，即系统的作用只改变信号的振幅和相位。的振幅和相位。 是是LTILTI系统的特征函数，系统的特征函数，响应易求且简单。响应易求且简单。tttjsincosej1 1、傅里叶分析的基本信号单元、傅里叶分析的基本信号单元3.1 3.1 周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数2、适用于广泛的信号、适用于广泛的信号 由虚指数或正弦信号的线性组合可以组成工程中各种信由虚指数或正弦信号的线性组合可以组成工程中各种信号，使得

4、对任意信号作用下的号，使得对任意信号作用下的LTILTI系统进行频域分析成为一系统进行频域分析成为一件容易的事情。件容易的事情。利于滤波、压缩处理利于滤波、压缩处理。3.1 3.1 周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数3、频域分析的优势、频域分析的优势任意信号分解成不同频率虚指数（正弦）信号的线性组合，任意信号分解成不同频率虚指数（正弦）信号的线性组合，分析分析LTILTI系统对这些不同频率单元信号作用的响应特性的过程系统对这些不同频率单元信号作用的响应特性的过程就是频域分析。就是频域分析。频率分析可以方便求解系统响应。频率分析可以方便求解系统响应。 例如相量法。例如相量法。频域分析的结果

5、具有明显的物理意义，例如抽样定理和无频域分析的结果具有明显的物理意义，例如抽样定理和无失真传输概念都是频域分析的结果。失真传输概念都是频域分析的结果。可直接在频域内设计可实现的系统，例如滤波器的设计。可直接在频域内设计可实现的系统，例如滤波器的设计。周期信号满足狄里赫利条件时：周期信号满足狄里赫利条件时：00( )dtTtx tt 1、在一个周期内只有有限个间断点；、在一个周期内只有有限个间断点；2、在一个周期内有有限个极值点；、在一个周期内有有限个极值点；3、在一个周期内函数绝对可积，即、在一个周期内函数绝对可积，即才能展开为傅里叶级数。才能展开为傅里叶级数。3.1 3.1 周期信号的傅里叶

6、级数周期信号的傅里叶级数完备正交函数集完备正交函数集:三角函数集三角函数集1，cos(nt)，sin (nt)，n=1,2, 虚指数函数集虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，是两组典型的在区间是两组典型的在区间( t0，t0+T1 ) (T1=2/ )上的完备正上的完备正交函数集。交函数集。3.1.1 周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数1、傅里叶级数的三角形式、傅里叶级数的三角形式设周期信号设周期信号x(t)，其周期为，其周期为T1，角频率，角频率1=2 /T1，当满，当满足足狄里赫利狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级条件时，它可分解为如下三角级数数 称为称为x

7、(t)的的傅里叶级数傅里叶级数 0111( )cos()sin()2kkkax taktbkt系数系数ak , bk称为称为傅里叶系数傅里叶系数 221111d)cos()(2TTkttktxTa221111d)sin()(2TTkttktxTb可见，可见， ak 是是k的偶函数，的偶函数， bk是是k的奇函数。的奇函数。221011d)(2TTttxTa2.2 2.2 周期信号的傅里叶分析周期信号的傅里叶分析l三角函数的傅里叶级数三角函数的傅里叶级数112T0111( )(cossin)2kkkax taktbkt直流直流分量分量基波分量基波分量k =1 谐波分量谐波分量k11k110)co

8、s(2)(kkktkAAtx式中，式中，A0 = a022kkkbaAkkkabarctan上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中，其中， A0/2为为直流分量直流分量； A1cos(1t+ 1)称为称为基波或一次谐波基波或一次谐波，它的角频率与原周，它的角频率与原周期信号相同；期信号相同； A2cos(2 1t + 2)称为称为二次谐波二次谐波，它的频率是基波的，它的频率是基波的2倍；倍；一般而言，一般而言，Akcos(k 1t+ k)称为称为k次谐波次谐波。 可见可见Ak是是k的偶函数，的偶函数， k 是是k的奇函数。的奇函数。a

9、k = Akcos k， bk = Aksin k，k=1,2,将上式同频率项合并，可写为将上式同频率项合并，可写为2.2 2.2 周期信号的傅里叶分析周期信号的傅里叶分析011( )cos()2kkkAx tAktcoskkkaA对应系数对应系数00aA22kkkAabsinkkkbA tgkkkba (1,2,)k 幅度幅度谱谱相位相位谱谱0111( )cos()sin()2kkkax taktbkt 周期函数的频谱周期函数的频谱周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处；周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处；频谱特点：离散性、谐波性、收敛性；频谱特点：离散性、谐波性、收敛性

10、；直观看出：各分量的大小，各分量的频移。直观看出：各分量的大小，各分量的频移。11k1()kk11kAk22kkkAab幅度幅度谱谱相位谱相位谱谱线谱线包络线包络线011( )cos()kkkx tAAkt2、波形的对称性与谐波特性、波形的对称性与谐波特性(1) x(t)为偶函数为偶函数对称纵坐标对称纵坐标(2) x(t)为奇函数为奇函数对称于原点对称于原点)()(txtx傅里叶级数中不含正弦傅里叶级数中不含正弦项，项，只含直流项和余弦项。只含直流项和余弦项。傅里叶级数中只含正弦项。傅里叶级数中只含正弦项。0d)cos()(2221111TTkttktxTa0d)sin()(2221111TT

11、kttktxTb)()(txtx0d)cos()(2221111TTkttktxTa0d)sin()(2221111TTkttktxTb2.2 2.2 周期信号的傅里叶分析周期信号的傅里叶分析)(tfOtTET ( )x t)(tfOtTT 11 ( )x t实际上，任意函数实际上，任意函数x( t )都可分解为奇函数和偶函数两部都可分解为奇函数和偶函数两部分，即分，即 x(t) = xod( t ) + xev( t ) 由于由于x( -t ) = xod( -t ) + xev( -t ) = -xod( t ) + xev( t ) 所以所以 2)()()(txtxtxod2)()()(

12、txtxtxve(3) x(t)为奇谐函数为奇谐函数x(t) = x(tT/2)若波形沿时间轴平移半个周期若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，此时并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化。波形并不发生变化。2.2 2.2 周期信号的傅里叶分析周期信号的傅里叶分析f(t)t0TT/2( )x t)(tfOtTT 2T( )x t其傅里叶级数中其傅里叶级数中只含奇次谐波只含奇次谐波分量分量，而不含偶次谐波分量，而不含偶次谐波分量，即即 a0 0= =a2 2= = =b2 2= =b b4 4= =0=0 (4) x( t )为偶谐函数为偶谐函数x( t ) = x( tT/2)称为

13、偶谐函数。称为偶谐函数。与原波形重合，与原波形重合，波形移动波形移动21T x( t )的傅氏级数奇次谐波为零，的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量只有偶次谐波分量即即 a1=a3=b1=b3=0 )(tfOt1T1T 21T 21T2.2 2.2 周期信号的傅里叶分析周期信号的傅里叶分析2、傅里叶级数的指数形式、傅里叶级数的指数形式三角形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用不便，因而经常采用指数形式指数形式的傅里叶级数。可从三的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用角形式推出：利用 cosx=(ejx + ejx)/2 2.

14、2 2.2 周期信号的傅里叶分析周期信号的傅里叶分析由前知由前知222)(1110tjkkktjkkkkejbaejbaatx)(21)(1kkjbakX)(21)(1kkjbakX2)0(0aX引入了负频率引入了负频率)sincos(2)(1110tkbtkaatxkkk其中其中由欧拉公式由欧拉公式)()()0()(11111tjktjkkekXekXXtx111111111()()()lkjktjltjktklkXkeX leX ke指数级数指数级数ktjkkXtx1e)(2.2 2.2 周期信号的傅里叶分析周期信号的傅里叶分析由前知由前知222)(1110tjkkktjkkkkejbae

15、jbaatx)(21)(1kkjbakX)(21)(1kkjbakX2)0(0aX引入了负频率引入了负频率)sincos(2)(1110tkbtkaatxkkk其中其中由欧拉公式由欧拉公式)()()0()(11111tjktjkkekXekXXtx111111111()()()lkjktjltjktklkXkeX leX ke指数级数指数级数ktjkkXtx1e)(2.2 2.2 周期信号的傅里叶分析周期信号的傅里叶分析表明：表明：任意周期信号任意周期信号x( t )可分解为许多不同频率的虚指可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。数信号之和。 X0 = a0/2为直流分量。为直流分量。)(1k

16、XXk称其为称其为复傅里叶系数复傅里叶系数，简称傅里叶系数。，简称傅里叶系数。 (k = 0, 1, 2，) 221111de)(1TTtjkkttxTX22000aAX)(21kkjkkjbaeXXk)(21kkjkkjbaeXXk两种傅氏级数的系数间的关系两种傅氏级数的系数间的关系: 2.2 2.2 周期信号的傅里叶分析周期信号的傅里叶分析ktjkkXtx1e)(11110)sin()cos(2)(kkkktkbtkaatxktjkkXtx1e)(110)cos(2)(kkktkAAtx3、三角形式与指数形式的比较、三角形式与指数形式的比较三角形式便于电路计算，便于对称性分析三角形式便于电

17、路计算，便于对称性分析指数形式是本课程研究的主要形式指数形式是本课程研究的主要形式 k = 0, 1, 2， 221111de)(1TTtjkkttxTX指数形式的优势指数形式的优势可推出傅里叶变换可推出傅里叶变换 表达最简练表达最简练 代表频谱代表频谱kjkkeXX2.2 2.2 周期信号的傅里叶分析周期信号的傅里叶分析2.2 2.2 周期信号的傅里叶分析周期信号的傅里叶分析3.1.2 周期信号的频谱周期信号的频谱 从广义上说，信号的某种从广义上说，信号的某种特征量特征量随信号频率变化随信号频率变化的关系，称为的关系，称为信号的频谱信号的频谱，所画出的图形称为信号的，所画出的图形称为信号的频

18、谱图频谱图。 周期信号的频谱周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即相位随频率的变化关系，即 将将Ak和和 k的关系分别画在以的关系分别画在以为横轴的平面为横轴的平面上得到的两个图，分别称为上得到的两个图，分别称为振幅频谱图振幅频谱图和和相位频谱图相位频谱图。因为因为k0，所以称这种频谱为，所以称这种频谱为单边谱单边谱。 也可画也可画|Xk|和和 k的关系，称为的关系，称为双边谱双边谱。若。若Xk为实数，也可直接画为实数，也可直接画Xk 。2.2 2.2 周期信号的傅里叶分析周期信号的傅里叶分析1、周期矩形脉冲信号的频谱、周期矩形脉冲信号的

19、频谱周期矩形脉冲信号的脉冲宽度为周期矩形脉冲信号的脉冲宽度为，脉冲幅度为，脉冲幅度为E，周期为，周期为T1，求频谱。，求频谱。 112211122111111sin22Sa2jktjktkA eXAedtTTjkkAkTkET112211122111111sin22Sa2jktjktkA eXAedtTTjkkEkTkAT112211122111111sin22Sa2jktjktkE eXEedtTTjkkEkTkAT112211122111111sin22Sa2jktjktkE eXAedtTTjkkEkTkATEE 抽样信号(抽样函数）抽样信号的数学描述：抽样信号的数学描述：sin( )S

20、a( )ttt2.1 2.1 连续时间信号的时域分析连续时间信号的时域分析2.2 2.2 周期信号的傅里叶分析周期信号的傅里叶分析 离散频谱，谱线间隔为基波频率，离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密；脉冲周期越大，谱线越密； 各分量的大小与脉幅成正比，与各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周期成反比；脉宽成正比，与周期成反比； 各谱线的幅度按各谱线的幅度按 包络线包络线变化；变化； 过零点为：过零点为： ； 主要能量在第一过零点内。主频主要能量在第一过零点内。主频带宽度为：带宽度为：)2( 1kSam22B112T112211122111111sin22Sa2jktjkt

21、kA eXAedtTTjkkAkTkETKX周期矩形脉冲信号频谱的特点周期矩形脉冲信号频谱的特点E2.2 2.2 周期信号的傅里叶分析周期信号的傅里叶分析谱线的结构与波形参数的关系谱线的结构与波形参数的关系：(a) T1一定，一定， 变小，此时变小，此时1（谱线间隔）不变。两零点（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目增多。之间的谱线数目增多。周期不变时，脉冲宽度越窄，其频谱包络线第一个零值点的频周期不变时，脉冲宽度越窄，其频谱包络线第一个零值点的频率越高，即信号的带宽越大，频带内所含的分量越多率越高，即信号的带宽越大，频带内所含的分量越多 。112Tm2过零点过零点2.2 2.2 周期信号的傅

22、里叶分析周期信号的傅里叶分析如果周期无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将如果周期无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的趋近于零，周期信号的离散频谱离散频谱就过渡到非周期信号的就过渡到非周期信号的连续频谱连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。 (b) 一定，一定，T1增大，间隔增大，间隔1减小，频谱变密。幅度减小。减小，频谱变密。幅度减小。112T112211122111111sin22Sa2jktjktkA eXAedtTTjkkAkTkATKX2.2 2.2 周期信号的傅里叶分析周期信号的傅里叶分析2、周期三角

23、脉冲信号的频谱、周期三角脉冲信号的频谱 1112411coscos3cos52925EEx tttt周期信号频谱图特点：周期信号频谱图特点：1）离散性；）离散性；2）谐波性；）谐波性；3）收敛性。）收敛性。l傅立叶级数的主要性质傅立叶级数的主要性质若若 ， ，则，则( )kx tX( ) ,kx tX()kxtX1111( )cos()2kkx ttXX1111( )sin()2kkx ttXXj()1( )()mmkxtjkX1 00()jktkx ttX e_22222011( )()2kkkkkx taabX111( )kkXXT1( )( )Xx t是一个周期内的傅立叶变换12Tl傅立

24、叶级数的主要性质傅立叶级数的主要性质若若 ， ，则，则( )kx tX()1( )()mmkxtjkX1 00()jktkx ttX e1111( )kkXXT1( )( )Xx t是一个周期内的傅立叶变换112T（1）（2）（3）例例 已知已知x(t)的波形如下图所示，试求其傅立叶级数表示式。的波形如下图所示，试求其傅立叶级数表示式。解法一解法一 直接利用定义求解直接利用定义求解3331( )d6jktkXx t et226sin () 0()3 2 03kkkk0233201(2)d(2)d 6jktjkttett et22062sin () ( lim) ()33kkkXk2326( )

25、sin ()e ()3kjtkkx tk解法二解法二 利用傅立叶级数微积分性质求解利用傅立叶级数微积分性质求解2326( )sin ()e ()3kjtkkx tk()1( )()mmkxtjkX( )kx tX32331()( )36kjtkjkXx t edt3331 (2)2 ( )(2)6kjttttedt22331(2)6jkjkee226sin () ()3kkXk解法三解法三 利用单周期傅立叶变换和周期信利用单周期傅立叶变换和周期信号傅立叶级数的关系求解号傅立叶级数的关系求解2326( )sin ()e ()3kjtkkx tk212sin( )() X截取截取x(t)一个一个周

26、期的信号周期的信号x1(t)，不妨令，不妨令1( ) 33( )0 x ttx tt 为其它值111( )|kkXXT11()63kX22sin1363kk226sin ()3kk（）例例 已知下图单位冲激序列已知下图单位冲激序列 试求其傅立叶级数及频谱。试求其傅立叶级数及频谱。解解1221( )dTjktTkTXt etT( )()TKttKT1221( )dTjktTt etT1T10221( )dTjkTt etT1( )jktTkktX e1112 ()jktkeTT112211122111111sin22Sa2jktjktkA eXAedtTTjkkAkTkAT1kX1( )x t1

27、( )()2x tx t解：解：1 00()jktkx ttX e例：例：求下图周期矩形信号的傅立叶级数。求下图周期矩形信号的傅立叶级数。112211122111111sin22Sa2jktjktkA eXAedtTTjkkAkTkATkX120()jknx ttX e11121( ) Sa()ee 2jkjktkkAx tT3.2 3.2 非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换3.2.1 从傅里叶级数到傅里叶变换从傅里叶级数到傅里叶变换 非周期信号非周期信号x(t)可看成是周期可看成是周期T1时的周期信号。时的周期信号。 前已指出当周期前已指出当周期T1趋近于无穷大时，谱线间隔趋近于无

28、穷大时，谱线间隔1趋近趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。差别。 为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令念。令 111012( )limlimkkTXXX T(单位频率上的频谱）单位频率上的频谱） 称称X()为频谱密度函数。为频谱密度函数。n频谱演变的定性观察频谱演变的定性观察1()X k11()X k 1()Xk2212T1时限信号时限信号当周期信号的周期当周期信号的周

29、期T趋于趋于时时, 就演变成就演变成非周期信号非周期信号 。T120dT 1k频率也变成连续变量。频率也变成连续变量。)(tx对周期信号对周期信号)(tx2221( )dTTjktTkXx t etT)(tx ( )d( )jtkTXx t etXn从傅立叶级数到傅立叶变换从傅立叶级数到傅立叶变换T傅立叶傅立叶变换变换1( )jktkkxtXe 1( )( ).d2j tx tXe傅立叶傅立叶逆变换逆变换 ( )( )djtXx t et)()( XdtetxTXtjk12( )limlimkkTTXXX T频谱密度频谱密度1jktkkXTeT 1112jktkkXTe 12TT 傅立叶傅立叶

30、变换变换1( )( ).d2j tx tXe傅立叶傅立叶逆变换逆变换 ( )( )djtXx t etX()称为称为x(t)的的傅里叶变换傅里叶变换或或频谱密度函数频谱密度函数，简称，简称频谱频谱。x(t)称为称为X()的的傅里叶反变换傅里叶反变换或或原函数原函数。(0)( )dXx ttd)(21)0(XxkX)(X与与 之间的关系：之间的关系： 11( )|kkXXT周期信号的频谱是非周期信号频谱的抽样；周期信号的频谱是非周期信号频谱的抽样；而非周期信号的频谱是周期信号频谱的包络。而非周期信号的频谱是周期信号频谱的包络。 ( )d( )jtkTTXx t etX 从物理意义来讨论非周期从物

31、理意义来讨论非周期FTX()是一个是一个密度函数密度函数的概念的概念X() 是一个是一个连续谱连续谱X() 包含了包含了从零到无限高从零到无限高频的所有频率分量频的所有频率分量各频率分量的频率各频率分量的频率不成谐波不成谐波关系关系 1Fd1Fd2j tj tXx tx t etx tXXe或或 x(t) X()傅立叶变换也可简记为：傅立叶变换也可简记为：X( )一般是复函数，写为一般是复函数，写为说明：说明： (1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数函数x( t )的傅里叶变换存在的的傅里叶变换存在的充分条件充分条件:ttxd)(2)用下列关

32、系还可方便计算一些积分。用下列关系还可方便计算一些积分。dttxX)()0(d)(21)0(Xx jXXe |X()|幅度谱幅度谱 ()相位谱相位谱非周期信号的幅度频谱是频率的连续函数，其形状与非周期信号的幅度频谱是频率的连续函数，其形状与相应周期信号频谱的包络线相同。相应周期信号频谱的包络线相同。 1. 矩形脉冲信号矩形脉冲信号 （门函数）（门函数） 22x tAtt 22222sinSa22j tj tj tAXx t edtAedtejAA112211122111111sin22Sa2jktjktkA eXAedtTTjkkAkTkETkX周期信号的频谱：周期信号的频谱：AAA3.2.2

33、 典型非周期信号的频谱典型非周期信号的频谱2. 单边指数信号单边指数信号 x( t ) = eat(t)， a0实数实数()0011( )eedea tjtajtXtajaj 221argarctanXaXa )()(tetfta222aa0)( f (t)(F0t0双边指数信号双边指数信号teeFtjtad)(0)(0)(ddtetetjatjajaja11a为正实数为正实数3. 符号函数符号函数 1,0sgn1 ,0tx ttt 1e ,0( )0e,0atattx tat10sgn( )lim( )atx t1122112( )( )jx tXajaja 1220022sgn( )lim

34、( )limaajtXaj|2|)(F) 0() 0()(224. 单位冲激信号单位冲激信号 0( )( )d1j tjXt ete 5. 直流信号直流信号 ( (t t)1)1代入反变换定义式，有代入反变换定义式，有1( )1 ed2jtt将将 t t，t t- )(de21ttj再根据傅里叶变换定义式再根据傅里叶变换定义式1ed2( )jtt ed2()2( )jtt 12( )djtte)(tdtddFT( )dtjtdFT( )()dnnntjtFT ( )1t冲激偶的傅立叶变换冲激偶的傅立叶变换12()djtje有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如有一些函数不满足绝对可积这一充分

35、条件，如1， ( t ) 等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。 可构造一函数序列可构造一函数序列xn( t )逼近逼近x ( t ) ，即，即而而xn( t )满足绝对可积条件，并且满足绝对可积条件，并且xn( t )的傅的傅里叶变换所形成的序列里叶变换所形成的序列Xn( )是极限收敛是极限收敛的。则可定义的。则可定义x(t)的傅里叶变换的傅里叶变换X ( )为为)(lim)(txtxnn)(lim)(nnXX这样定义的傅里叶变换也称为这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换广义傅里叶变换。 广义傅里叶变换广义傅里叶变换6. 单位阶跃信号

36、单位阶跃信号11( )sgn( )22tt1( )j 12( )djtet d()d d 2( )dtj d 2 ( )( )dnnnntj 的傅立叶变换的傅立叶变换12()djtjt et12()dnjtjtet( )nf tt12( ) 1( )2 d()dnn 1d()( )2djt 1d()( )2dnnnjt 归纳记忆：1. 傅氏傅氏变换对变换对2. 常用函数常用函数 F 变换对：变换对：t域域域域de)(21)(tjXtxttxXtjde)()(t)(t) j1)(e - -at(t) 1jag(t) 2Sasgn (t) j2e a|t|222aa 1 12()3.3 傅里叶变换

37、的性质傅里叶变换的性质1. 线性线性(Linear Property) 1 1221122F a x ta xta Xa X 11F x tX 22F xtX若若则对于任意常数则对于任意常数a1和和a2，有，有 证明证明: F a1 x1(t) + a2 x2(t)ttxatxatjde)()(2211ttxattxtjtjde)(de)(a2211= a1 X1() + a2 X2() For example X() = ?Ans: x (t) = x1(t) g2(t)x1(t) = 1 2()g2(t) 2Sa() X() = 2() - - 2Sa()0g2 ( t )t1-11- -

38、若若 x ( t ) X() 则则其中其中“ t0” 为实常数。为实常数。)(e)(00Xttxtj证明：证明： F x (t t0 ) tttxtjde)(000e( )edt tjtjx )(e0Xtj2. 时移性质时移性质(Timeshifting Property) 时移性质表明，信号在时间轴上的移位，其频谱时移性质表明，信号在时间轴上的移位，其频谱函数的幅度谱不变，而相位谱产生附加相移函数的幅度谱不变，而相位谱产生附加相移 。0tFor example 1 X() = ?Ans: x1( t ) = g6(t - 5) , x2( t ) = g2(t - 5) g6(t - 5)

39、g2(t - 5) X() =5e)3Sa(6j5e)Sa(2j5e)Sa(2)3Sa(6j+22( )()( )()f tg tg tg t( )( )g tG22( )(1) ( )jjFeeG For example 2若若 x (t) X() 则则证明：证明：其中其中 “0” 为实常数。为实常数。F e j0t x(t)ttxtjtjde)(e0ttxtjde)()(0= X(- -0) end)(e)(00txXtj3. 频移性质频移性质(Frequency Shifting Property)频移性质表明，若要使一个信号的频谱在频率轴上频移性质表明，若要使一个信号的频谱在频率轴上右

40、移右移 单位，在时域就对应于其时间信号单位，在时域就对应于其时间信号x( t )乘以乘以 。 00jetFor example 1x( t ) = ej3t X() = ?Ans: 1 2() ej3t 1 2(- -3)For example 2x( t ) = cos0t X() = ?Ans:X() = (+0)+ (- -0)tjtjeetx002121)(x( t ) =sin（ 0t ） X() = ?j(+0) - -(- -0)For example 3Given that x( t ) X() The modulated signal x( t ) cos0t ? Ans:

41、0000011FcosF2212jtjtx ttx t ex t eXX 0000011FcosF2212jtjtx ttx t ex t eXXFor example 4Given that ( t ) The modulated signal ( t ) cos0t ? Ans: 0000011FcosF2212jtjtx ttx t ex t eXX 0000011FcosF2212jtjtx ttx t ex t eXX1( )j 00000111( )cos()()2()()ttjj 0022011()()()22j 0( )sin()?tt4. 尺度变换性质尺度变换性质(Scali

42、ng Transform Property)若若 x (t) X() 则则 其中其中 “a” 为不等于零的实常数。为不等于零的实常数。证明：证明： F x (a t ) =teatxtjd)(For a 0F x (a t ) d1e)(axajataXa1for a 0F x (a t ) de)(1d1e)(ajajatxaaxaXa1That is ,如果如果 a = - -1,有有x (- t ) X( - -) aXaatx|1)(aXaatx|1)(若要压缩若要压缩信号持续信号持续时间，提时间，提高通信速高通信速率，则不率，则不得不以展得不以展宽频带作宽频带作代价。代价。For e

43、xample 尺度变换性质表明，时域信号的压缩与扩展，对尺度变换性质表明，时域信号的压缩与扩展，对应于频域频谱函数的扩展与压缩。应于频域频谱函数的扩展与压缩。 1FT()FT ()()bjabx atbx a tXeaaa() /()FT ()()d01( )d1() /( )1()ajtjbabjjabjax atbx atb etaatbxeatbaexedaeXaa 若若a 0） 的傅里叶变换。的傅里叶变换。For example 22( )()cAg tA Sa 求信号求信号 的傅里叶变换。的傅里叶变换。sin()( )ctx ttFor example 3For example 4)

44、()(Xtx)(2)(xtX22)(tX22OOt2)(x2 22gttt Sa2G Sa2tG t 2222 222 2gg 时域有限，频域无限；时域有限，频域无限；时域无限，频域有限。时域无限，频域有限。)(tf22t10)(F220( )2F tc2c2t2c0( )f2c2c10c( )2()F tf若若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称为偶函数，则时域和频域完全对称若若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称为偶函数，则时域和频域完全对称1( )F(2 ) 2( ) )(t(1)t1 ( )F tt( )( )1tF( )2()F t6. 时域卷积（时域卷积（Convolution

45、 in time domain）：）：If x1(t) X1()， x2(t) X2()Then x1(t)*x2(t) X1() X2()7. 频域卷积（频域卷积（Convolution in frequency domain）：）：If x1(t) X1()， x2(t) X2()Then x1(t) x2(t) X1() * X2()21121212( )*( )( )()d()( )dx tx txx tx tx121212( )*( )( )()d()( )dXXXXXX证明：证明：d)()()(*)(2121txxtxtx F x1(t)*x2(t) =dde)()(ded)()(

46、2121ttxxttxxtjtj利用时移性质，利用时移性质，jtjXttxe)(de)(22所以所以 F x1(t)*x2(t) =de)()(de)()(1221jjxXXx= X1()X2()已知已知)(tx为矩形脉冲信号为矩形脉冲信号, ,求求)(*)()(txtxty的傅里叶变换。的傅里叶变换。根据时域卷积定理，有根据时域卷积定理，有22( )Sa ()2Y( )Sa()2X( )( )x tg t的傅里叶变换为的傅里叶变换为门函数门函数其实，其实，y(t) 是是脉宽为脉宽为2 2、脉高为脉高为的的三角脉冲。三角脉冲。For example 1Ans:t22O)(tx1Ot)(tyFo

47、r example 2?)(sin2XttAns:)Sa(2)(2tg利用对偶性，利用对偶性，)(2)Sa(22gt)()Sa(2gt )(*)(2)(*)(21sin22222ggggttg2()*g2()22- -20Y1()O002141410( )( )cos()y tx tt00001( )( )* ()()21()()2YXXX 10( )( )cos()y ty ttO00)()(0Fcos()tFor example 3调制调制解调解调2.3 2.3 非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换x( t )000000( )* ()()( )()( )* ()()( )()XX

48、Xx tttx tttx tt 100001( )( )* ()()21 ()()2YYYY 100001( )( )* ()()21 ()()2YYYY 00001( )( )* ()()21()()2YXXX 例：例：求余弦脉冲的频谱求余弦脉冲的频谱0cos() ttcos122( )EgtE22E( )x t22相相乘乘FTFT)(G22)()(00( )X卷卷积积FTcost( )( )()()2GA Sa)()()(tGtcos22cos()21()E乘乘FTFT卷卷( )( ) costx tG t1( )() ()()22XE Sa ()()112222E SaE Sa8. 时域

49、微分时域微分(Differentiation in time domain)( )( )()( )nnxtjX证明：证明：d ( )F( )dx tj Xt F x tX若若 则则 1( )( )d2j tx tXed ( )1( )dd2j tx tj Xet两边对两边对t求导，得求导，得 所以所以 d ( )F( )dx tj Xtx( t )= 1/t2 ?For example 1Ans:jt2)sgn()sgn(22jt)sgn(1jt)sgn()sgn()(1ddjjtt21|t 21sgn( )|t 对偶性质对偶性质微分性质微分性质For example 2Determine x

50、 ( t ) X ()Ans:X(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2)X2()= F x(t) = (j )2 X ()= e j2 2 + e j2= 2 cos(2) 2 X () =222)2cos(22)()(jX利用傅里叶变换的性质求解下图各信号的傅里叶变换。利用傅里叶变换的性质求解下图各信号的傅里叶变换。def)()0()(1d)(XXjxt( )d( )( )txx tt1FT( )d ( )( )txXj ( )(0) ( )XXj 证明：证明：9. 时域积分性质时域积分性质( 1)( 1)( )( )( )( )( )( )( )dtx ttx ttx ttx(

51、)( )( )x ttx t例：例：用用FT积分特性求阶跃的积分特性求阶跃的FTtttyd)()()() ()xtt)(1)(FT)(jtYFT ( )1t)()0()(1d)(XXjxt解：解：)(1)()(jtFTY0FT ( )|1t傅立叶变换性质傅立叶变换性质( )( )x tXl 频域微分与积分特性频域微分与积分特性d)(d)(Xtjtxd)()()0()(1Xtxtxjt)()0()(1d)(XXjxt10.帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理( )( )x tX221( )d( ) d2x ttX该性质表明，对于非周期信号，在时域中求得的信号能量该性质表明，对于非周期信号，在时域中求得的信号

52、能量与频域中求得的信号能量相等。与频域中求得的信号能量相等。作业作业3-3 （c）3-43-5 （1）3-7 3-8方法一：方法一：在频域上直接计算；在频域上直接计算；方法二：方法二：将将 变为变为 ，在时域上求出，在时域上求出 的傅立叶变换，再用对偶性的傅立叶变换，再用对偶性 求出求出 。 ( )F( )F t( )f t( )F tl 逆傅里叶变换逆傅里叶变换(补充）补充）例例 的模与相位特性如图所示，求的模与相位特性如图所示，求 的的 傅立叶逆变换傅立叶逆变换 。解解:法一法一 利用频域微积分性质。利用频域微积分性质。)(X)(tx00 ()( ) ( )()jAjA )(X)()()(

53、jeXX00( ) () 2 ( )()dXjAd )(210010( )1 2(cos1)2jtjtdXjAFTjA eetd 利用频域微积分性质：利用频域微积分性质：111( )( )( )( )dXx tFTXtFTjtd)cos1 ( 0ttA11( ) ( )( )(0) ( )( )t x tx txtXdjtjt 2200 ()( ) ( )()jjAeAe 00( ) ()( ) ( )()XjAjA 00d ( ) () 2 ( )()dX tjAtttt1)( t00 0d ( )FT 2 2(cos 1)djjX tjA eejAt 利用时域微分性质：利用时域微分性质：F

54、T( )X t02(cos 1)A 00( ) ()( ) ( )()X tjAttjAtt解法二解法二 利用对偶性和时域微分性质。利用对偶性和时域微分性质。由对偶定理，有由对偶定理，有)( 2)(xtX) 1(cos)(0Ax)cos1 ( )(0ttAtx( )x t2()x FT ( )jX t例例 求下列各式中求下列各式中 的傅立叶逆变换的傅立叶逆变换 。解（解（a）)(tx)(X) 3)(2(5)(6)( )( 1)( )(2jjXbXa2sgn( ) tjd2sgn( )dttjj 22)(2X111( )FT ( )sgn( )| |22x tXttt解（解（b）3121)(23

55、)(jjXjj3121)(23123( )FT ( )3( )( )ttx tXetet 0 1)(ajateat0 1)(ajateat0 122| |aaetad ( )( )dXjtx t求下列信号的逆变换求下列信号的逆变换3.4 3.4 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换1. 正、余弦信号的傅里叶变换正、余弦信号的傅里叶变换 12()由频移特性得由频移特性得 e j 0 t 2(0 ) e j 0 t 2(+0 ) cos(0t)=(e j 0 t + e j 0 t) (0 ) +(+0 )sin(0t )= (e j 0 t - e j 0 t )/(2j) j(+0 ) (

56、 0 )2. 从傅里叶级数到傅里叶变换从傅里叶级数到傅里叶变换(1)周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数傅里叶系数（频谱）傅里叶系数（频谱）Xk与与X1()的关系的关系x( t )中一个周期的傅里叶变换中一个周期的傅里叶变换周期信号周期信号的频谱的频谱非周期信号非周期信号的频谱密度的频谱密度ktjkkTXtx0e)(22de)(10TTtjkTkttxTXXk是对是对X1()以以0为间隔离散化的结果。为间隔离散化的结果。 011011kkXXXkTT 221122( )( )ed( )edTTjtjtTTTXx ttx tt(2)周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换（1）周期信号的傅里

57、叶变换是由冲激函数组成的冲激串。周期信号的傅里叶变换是由冲激函数组成的冲激串。特点特点：冲激串的频率间隔为冲激串的频率间隔为0=2/T ，冲激位于周期信，冲激位于周期信 号的谐频处，冲激强度为号的谐频处，冲激强度为Xk的的2倍。倍。Xk易求时易求时X1(k0)易求时易求时ktjkkTXtx0e)(22de)(10TTtjkTkttxTXFF)(00tjkkktjkkkTeXeXX02()kkXk 1002( )() ()TkXX kkT 0100() ()kX kk 周期信号的傅立叶变换存在条件周期信号的傅立叶变换存在条件: 周期信号不满足绝对可积条件；周期信号不满足绝对可积条件；引入冲激信号后，冲激的积分是有意义的；引入冲激信号后，冲激的积分是有意义的；在以上意义下，周期信号的傅立叶变换是存在的；在以上意义下，周期信号的傅立叶变换是存在的；周期信号的频谱是周期信号的频谱是离散的离散的，其频谱密度，其频谱密度， 即傅立叶即傅立叶变换是变换是一系列冲激一系列冲激。例例1：周期为：周期为T的单位冲激周期函数的单位冲激周期函数 T(t)= mmTt)(TtetxTXTTtjkk1d)(1220解解：冲激周期函数的傅里叶系数冲激周期函数的傅里叶系数O T