第五章梁弯曲时的位移

1、中国地质大学工程学院力学课部第五章 梁弯曲时的位移5.1 梁的位移挠度及转角5.2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分5.3 按叠加原理计算梁的挠度和转角*5.4 梁挠曲线的初参数方程5.5 梁的刚度校核.提高梁的刚度的措施5.6 梁内的弯曲应变能过大变形的危害过大变形的危害 例例2：高层建筑上部变形过大，会使其中的居民产生不安全感。：高层建筑上部变形过大，会使其中的居民产生不安全感。例例1：车床主轴变形过大，影响其加工精度。：车床主轴变形过大，影响其加工精度。梁的强度梁的强度: 梁的刚度梁的刚度:保证梁具有足够抵抗破坏的能力保证梁具有足够抵抗破坏的能力保证梁不发生过大的变形保证梁不发生过大的变形

2、切削力切削力5.1 梁的位移梁的位移挠度及转角挠度及转角挠曲线方程，即挠曲线方程，即y=y(x)挠曲线挠曲线转角转角挠度挠度几个重要概念：几个重要概念：挠曲线挠曲线: 梁变形后的轴线，称为挠曲线 横截面的挠度横截面的挠度w与横截面位置与横截面位置x有关，即有关，即w=f(x)为为挠曲线方程挠曲线方程。是一条位于载荷平面内的光滑连续曲线 挠度挠度和转角转角是度量梁弯曲变形的两个基本量横截面的形心在垂直于轴线（x轴）方向的线位移，称为挠度，用y表示 横截面在xy平面的角位移，称为转角，用表示。横截面的转角 也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角ytg转角方程转角方程在图示坐标系中，挠度w向下

3、为正，向上为负；顺时针转向的转角为正，逆时针转向的转角为负。图示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同，所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和转角则明显不同。I、梁的、梁的(近似近似)挠曲线二阶微分方程挠曲线二阶微分方程EIM1EIxMdxwd)(22EIxMx)()(1小变形条件：1)1 (2/32w5.2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况下中性层的曲率 2/3211wwx 式中，等号右边有正负号是因为曲率1/为度量平面曲线(挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w是 = w 沿x方向的变化率，是有正负的。注

4、意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w ，正弯矩对应于负值的w ，故得挠曲线近似微分方程 EIxMw 梁的挠曲线二阶微分方程的适用性和近似性是什么？梁的挠曲线二阶微分方程的适用性和近似性是什么？、挠曲线近似微分方程的积分及边界条件求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为后进行积分，再利用边界条件(boundary condition)确定积分常数。 xMwEI EIxMw 边界条件边界条件包括支座处的约束条件(constraint condition)和相邻两段梁在交界处的连续条件(continuity condition)梁的梁的约束条件(constraint condition)固定和可动铰支

5、座固定和可动铰支座w=0=FS= M=0固定端固定端w=0=0FS = M= 滑动固定端滑动固定端w= =0FS =0M= 自由端自由端w= = FS =0M=0位移条件静力条件梁的梁的连续条件(continuity condition)相邻梁段的交接处，相邻两截面应具有相同的挠度与转角，即满足连续、光滑条件)()(2211xMyEIxMyEI a)()()()()()(212121ayayaaayay或位移的连续条件位移的连续条件)()()(21axPxRxMxRxMAA在梁的各部分挠曲线在梁的各部分挠曲线y连续，挠度连续，挠度y连续一阶导数连续（光滑）连续一阶导数连续（光滑）积分法求梁的变

6、形积分法求梁的变形 对于等刚度梁，梁挠曲线的二阶微分方程可写为)( xMEly 对此方程连续积分两次，可得1)()(cdxxMxEly21)()(cxcdxdxxMxEly利用边界条件确定上面二式中的积分常数C1、C2，即可得梁的挠度方程和转角方程 xMwEI 积分法求解梁位移的思路：积分法求解梁位移的思路： 建立合适的坐标系；建立合适的坐标系； 求弯矩方程求弯矩方程M(x) ； 建立近似微分方程：建立近似微分方程： 用约束条件或连续条件，确定积分常数；用约束条件或连续条件，确定积分常数； 一般求极值可用数学方法，也可由挠曲线直接判别。一般求极值可用数学方法，也可由挠曲线直接判别。根据本书的规

7、定坐标系，取负号进行分析。根据本书的规定坐标系，取负号进行分析。wEI ;EIw 积分求积分求和和例 求图所示受载的悬臂梁的挠曲线方程及转角方程，并求自由端B的挠度和转角。梁内弯矩方程:222121)(qlqlxqxxM22 2121)(qlqlxqxxEly连续积分两次得1223212161)(cxqlqlxqxxEly2122344161241)(cxcxqlqlxqxxEly利用两个边界条件:000 xxy解：自由端的挠度和转角最大自由端的挠度和转角最大)64(24)(222llxxELqxxy)33(6)(222llxxELqxx求得求得c1、c2都为零。将其代入挠曲线方程和转角方程都

8、为零。将其代入挠曲线方程和转角方程:)(8)(4max向下EIqllyy顺时针）(6)(3maxEIqll 图示抗弯刚度为EIz的简支梁受集中力P作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并确定最大挠度和最大转角。APBLCyxba解：利用平衡方程易求得两个支反力LpaRLpbRBA 显然，AC段与CB段弯矩方程的表达式不一样。分别列出AC、CB段弯矩方程并积分APBLCRAyxRBbaAC段CB段axxLpbxRxMA0 )(1LxaaxpxRxMA )()(2LpbxxMvEIz)(11)(2axpLpbxvEIz1212CLpbxvEIz22222)(2CaxpLpbxvEIz11316Dx

9、CLpbxvEIz6)(6332axpLpbxvEIz22DxC APBLCRAyxRBba0 01vx0 2vLx21 vvax21 vvax支承条件 连续条件 光滑条件APBLCyxba利用边界条件解得)(62221bLLPbCC021 DDaxxbLLEIPbz0 )3(6222Lxa x-abLxbLLEIPbz )(3 )3(62222vaxxbLLEIPbxz0 )(6222Lxa x-abLxbLxLEIPbz )( )(3222最大转角，显然在支座处)(6)0(bLEIPabzA)(6)(aLEIPabLzBBbamax Abamax 从AB， 中间必经过0APBLCyxba。

10、)( 0 0 0为极值令xvxdxdvba 设3 220bLx则3220max)(3)(bLLEIqPbxvfzAPBLCyxba当P力作用在跨中央时，ymax发生在梁中央。当P力无限接近端点B时，即b0时LLLx5 . 0 577. 0310接近简支梁无论P作用在何处用%65. 2最大误差max )2(fLf代替 221xlqxM 2121xlqxMwEI 例：利用积分法求图示弯曲刚度为例：利用积分法求图示弯曲刚度为EI的梁的梁B点的挠度点的挠度 以及以及B点点左右两截面的相对转角。左右两截面的相对转角。解：坐标系如图，分解：坐标系如图，分AB、BC两段分析：两段分析：AB段：段：lx 0则

11、：则：xyxllEIEIqABC12161CxlqwEI1141241DxCxlqEIw积分可得：积分可得：02 wEI22CwEI222DxCEIw 0 xMlxl2BC段：段：则：则：积分可得：积分可得：确定确定C1 、D1 、C2、D2四个常数：四个常数：xyxqABC（1）约束条件：）约束条件：0 x时时，022 wwa)24614131qlDqlC；由此可得：由此可得：则：则： 0222 DlC则：则： 2211DlCDlC3281qlC4241qlD lx202wb) 处处，lx 21ww 处处，故：故：（2）连续条件：）连续条件：EIqlEIDlCwwlxB83111最后可得：最

12、后可得：（向下）（向下）xyxqABCEIqlEIqlqlEICCwwlxB24781683332121挠曲线形状如下图所示：挠曲线形状如下图所示：B点左右两截面的相对转角为：点左右两截面的相对转角为：ywB直线BABqCx小变性条件（几何线性）材料遵循胡克定律（物理线性）适用条件适用条件P1P2小变性条件：小变性条件：计算P2的作用时，忽略P1的作用对几何尺寸的影响。5.3 按叠加原理计算梁的挠度和转角当梁的变形微小，且梁的材料在线弹性范围内工作时，梁的挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系。在此情况下，当梁上有若干荷载或若干种荷载作用时，梁的某个截面处的挠度和转角就等于每个荷载或每种荷载单独作

13、用下该截面的挠度和转角的代数和。这就是计算梁的位移时的叠加原理(principle of superposition)。例题例题 试按叠加原理求图a所示等直梁的跨中截面挠度 wC 和两支座截面的转角A 及 B。(a)解：解：此梁 wC 及A，B 实际上可不按叠加原理而直接利用本教材附录表中的公式得出。作用在该简支梁左半跨上的均布荷载可视为与跨中截面C正对称和反对称荷载的叠加(图b)。(b)(a)查表： EIqlEIlqwC76853842/5441 48242/331EIqlEIlqB 48242/331EIqlEIlqACC 384242/2/3322EIqlEIlqBA02Cw由对称性将左

14、半跨梁 AC 和右半跨梁 CB分别视为受集度为 q/2 的均布荷载作用而跨长为 l/2 的简支梁。按叠加原理得 EIqlEIqlwwwCCC7685076854421 38473844833321EIqlEIqlEIqlBBB 12833844833321EIqlEIqlEIqlAAA例题例题 试按叠加原理求图a所示等直外伸梁其截面B的转角B，以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD。解：解：为利用本教材附录中简支梁和悬臂梁的挠度和转角资料，将图a所示外伸梁看作由悬臂梁(图b)和简支梁(图c)连接而成。原来的外伸梁在支座B左侧截面上的剪力 和弯矩 应当作为外力和外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁上，它

15、们的指向和转向也应与 的正负相对应，如图b及图c中所示。22221qaaqMBBBMF和SqaFB2S图c中所示简支梁BC的受力情况以及支座约束情况与原外伸梁BC段完全相同，因此再注意到简支梁B支座左侧的外力2qa将直接传递给支座B而不会引起弯曲后，便可知道按图d和图e所示情况由本教材附录中的资料求Bq， BM 和 wDq，wDM 并叠加后得到的就是原外伸梁的 B和wD。)(241162238454224EIqaEIaqaEIaqwwwDMDqD 3132242323EIqaEIaqaEIaqBMBqB图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB段相同，但要注意原外伸梁的B支座截面是可以转动的，

16、其转角就是上面求得的B，由此引起的A端挠度w1=|B|a应叠加到图b所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA： EIqaEIaqaEIqawwwA44321127 8231这种分析方法叫做梁的逐段刚化法梁的逐段刚化法。5-4 梁挠曲线的初参数方程梁挠曲线的初参数方程. 初参数方程的基本形式前已得到等直梁的挠曲线近似方程为弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微分关系为后一个微分关系按q(x)向上为正导出。 xMwEI xqxFxFxMSS，* 为了使下面导出的挠曲线初参数方程(initial parametric equation)中除了包含与位移相关的初参数0和w0以外，也包含与内力相

17、关的初参数FS0和M0，先将二阶的挠曲线近似微分方程对x取二阶导数求得等直梁挠曲线的四阶微分方程 xqwEI 然后进行积分得 1SdCxxqxFxMwEI 212dCxCxxqxMwEI 322132dCxCxCxxqEIwEI 432231426dCxCxCxCxxqEIw 1SdCxxqxFxMwEI 212dCxCxxqxMwEI 322132dCxCxCxxqEIwEI 432231426dCxCxCxCxxqEIw以x=0代入以上四式，并注意到以x为自变量时上列四式中的积分在坐标原点(x=0)处均为零，于是得0403020S1EIwCEICMCFC，式中，FS0，M0，0和w0为坐标

18、原点处横截面(初始截面)上的剪力、弯矩、转角和挠度，它们是初参数方程中的四个初参数。 将积分常数C1，C2，C3，C4代入上述表达式中的后二式即得转角和挠曲线初参数方程的基本形式：初参数方程中的四个初参数可由梁的边界条件确定。 0020S32dEIxMxFxxqEI 002030S426dEIwxEIxMxFxxqEIw显然，如果梁上的分布荷载是满布的(分布荷载在全梁上连续)，而且除梁的两端外没有集中力和集中力偶，亦即荷载和内力在全梁范围内为连续函数，则可直接应用上述两个方程。简支梁或悬臂梁受满布分布荷载作用时就属这种情况。在此条件下，当分布荷载为向下的均布荷载时，q(x)=-q，从而有 xx

19、xxxxxqxxqqxxq0004400003324d 6d，x例题例题 试利用初参数方程求图示等直梁的跨中挠度wC和支座B处截面的转角B。x解：解：1. 根据边界条件确定初参数 另一初参数0需利用x=l 处挠度等于零的边界条件求出。根据挠曲线的初参数方程有由x=0处的边界条件得：002000SwMqlF，00261240034lEIlqlql从而得EIql2430 x2. 列出挠曲线方程和转角方程，求所需挠度和转角将已得到的四个初参数代入初参数方程得：挠曲线方程024026124334xqlxqlqxEIw即323224xlxlEIqxw转角方程2402216323qlxqlqxEI即323

20、4624xlxlEIq. 一般情况的处理 这里所说的一般情况是指梁上分布荷载不连续，梁上除两端外其余部分也有集中力或集中力偶等作用的情况。此时，外力(荷载和约束力)将梁分为数段，每段梁的挠曲线方程和转角方程各不相同，但相邻两段梁在交界处的挠度和转角仍连续。现就几种常遇情况下的初参数方程加以讨论。初参数：02020SMlalqFFA，00(其值未知)，w0=0情况一转角方程：挠曲线方程：0220221221 02210EIxlalqEIxlalqEIxEIxlalqxEIxlalqEIw0320321261 0026106 d31312axqEIxqEIEIxaxaxa 24d41412axqE

21、IwxqEIwEIwxaxaxaxa AC段梁 （0 xa）CB段梁 （axl） CB段梁转角和挠曲线方程中带积分的项，是由于自x=a处开始有向下的均布荷载而在AC段梁延续过来的相应方程EI1和EIw1中增加的项。未知初参数0可由 x=l 处 wB=w|x=l=0 的边界条件求得。情况二初参数：02200SMlblqbFFA，00(其值未知)，w0=0AC段梁 （0 xb）CB段梁 （bxl）转角方程：挠曲线方程：023020003122216 0 2221dEIxlblqbqxEIxlblqbxqEIxxx xEIxlblqbqxxEIxlblqbxqEIwxxxx0340300004122

22、6124 002261 d 6 d31312bxqEIxqEIEIxbxbxb 24 d41412bxqEIwxqEIwEIwxbxbxbxb CB段梁的转角和挠曲线方程中带积分的项，是由于考虑C截面(x=b)以右没有向下的均布荷载，而从由AC段梁延续过来的相应方程EI1和EIw1中减去了的那部分在C截面以右的均布荷载产生的影响的相关项。未知初参数0可由 wB=w|x=l=0 的边界条件求得。情况三初参数：000SMFF，00(其值未知)w00(其值未知)CA段梁(0 xc)AB段梁(cxc+l)转角方程：挠曲线方程：020212 0210EIxFEIxFEI00300316 0610EIwx

23、EIxFEIwxEIxFEIw2121221 2cxlclFEIcxFEIEIA3131261 6cxlclFEIwcxFEIwEIwA AB段梁的转角和挠曲线方程中的第二项，是由于考虑在由CA段梁延续过来的相应方程EI1和EIw1中，应将向上的约束力在A截面(x=c)偏右截面上产生的剪力的影响包含进去而增加的项。 未知初参数0和w0 可由边界条件 wA=w|x=c=0 和 wB=w|x=l+c=0 求得。情况四初参数：00000e00SwMMMFFAA，AC段梁 (0 xd)CB段梁 (dxl)转角方程：挠曲线方程：xMxMEIee1 0002e2e12 002100 xMxMEIwdxME

24、IdxMEIEIe1e12 2e12e122 21dxMEIwdxMEIwEIw CB段梁的转角和挠曲线方程中第二项，是由于考虑在由AC段梁延续过来的相应方程EI1和EIw1中，应将外力偶矩Me在C截面(x=d)偏右截面上对应的弯矩所产生的影响包含进去而增加的项。在此例中，四个初参数都是已知的。 思考思考: : 对于情况四中的等直梁，试检验由初参数方程所求得的wB ，wC ，C 是否符合如下关系：dlwwCCB在工程设计中，除了要保证梁的强度条件外，还要保证其刚度条件，即梁的变形不能超过允许的限度。即 maxmaxyy此两式称为梁的刚度条件。式中y、分别为构件的许可挠度和许可转角，对不同构件有

25、不同的要求，如：吊车梁:y=(1/4001/750)l，（l为跨长）；机械中的一般轴，y=（0.00030.0005）l；机械中的精密轴，y=（0.00010.0002）l； 轴上齿轮，=（0.0010.002）rad（弧度）。 5.5 梁的刚度校核.提高梁的刚度的措施已知: q=10kN/m ，L=3m，bhLfGpaE2 , 2501 , 200试设计截面。ABLqhb, 120Mpa解：(1) 按强度条件设计最大弯矩发生在A截面，A截面为危险截面强度条件maxzWM maxMWzmNqLM3232max104531010212132646332bbbhWz)2(bh ABLqhb代入强度

26、条件：63310120104532bcmmb25. 81025. 8101202104532363cmbh5 .162 (2) 按刚度条件设计刚度条件为maxLfLfzzEIqLLfEIqLf8 83max4max3212)2(12433bbbbhIzABLqhb250132102008310104933b代入刚度条件可得cmb92. 821020082503101034933cmbh84.172 综合考虑强度和刚度条件，可取cmbcmh9 18例题例题 图a所示简支梁由两根槽钢组成(图b)，试选择既满足强度条件又满足刚度条件的槽钢型号。已知=170 MPa，=100 MPa，E=210 GP

27、a，4001lw 解：一般情况下，选择梁的截面尺寸或选择型钢的型号时，先按正应力强度条件选择截面尺寸或型钢型号，然后按切应力强度条件以及刚度条件进行校核，必要时再作更改。1. 按正应力强度条件选择槽钢型号 作梁的剪力图和弯矩图如图c和图e。最大弯矩在距左支座0.8 m处，Mmax=62.4 kNm。梁所需的弯曲截面系数为 3663maxm10367Pa10170mN104 .62MWz而每根槽钢所需的弯曲截面系数Wz36710-6 m3/2=183.510-6m3。由型钢表查得20a号槽钢其Wz=178 cm3，虽略小于所需的Wz=183.510-6 m3而最大弯曲正应力将略高于许用弯曲正应力

28、，但如超过不到5%，则工程上还是允许的。超过许用弯曲正应力的百分数为(175-170)/1703%，未超过5%，故允许。事实上即使把梁的自重 (222.63 kg/m=0.4435 kg/m)考虑进去，超过许用弯曲正应力的百分数仍不到5%。MPa175Pa10175m101782mN104 .626363max现加以检验：2. 按切应力强度条件校核最大剪力FS,max=138 kN，在左支座以右0.4 m范围内各横截面上。每根槽钢承受的最大剪力为每根20a号槽钢其横截面在中性轴一侧的面积对中性轴的静矩，根据该号槽钢的简化尺寸(图d)可计算如下：N10692kN13823max,SF 3*max

29、,mm000104 2mm11100mm773mm11100mm50mm100mm73zS其值小于许用切应力=100 MPa，故选用20a号槽钢满足切应力强度条件。当然， 的值也可按下式得出：*max, zS3*max,mm104000 mm211100mm7mm11100mm211100mm11mm73zS每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为 Iz =1780 cm4于是MPa57.6Pa106 .57m)107)(m10(1780m10104N)1069()2/(6348-3-63max,max,SmaxdISFzz3. 按刚度条件校核此简支梁上各集中荷载的指向相同，故可将跨中截面C的挠度wC作为梁的最大挠度wmax。本教材附录序号11中给出了简支梁受单个集中荷载F 时，若荷载离左支座的距离a大于或等于离右支座的距离b，跨中挠度wC的计算公式为可见，对于此梁上的左边两个集中荷载，应为EIblFbwC484322EIalFawC484322于是由叠加原理可得m1066. 4m1078012Pa1021048mN101671 m6 . 04m4 . 23m6 . 0N1012 m9 . 04m4 . 23m9 . 0N1040 m8 . 04m4 . 23m8 . 0N1030 m4 . 04m4 . 23m4 . 0N10120481348923222