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文档简介

1、1定义定义12.2.1 设设T是无向图是无向图G的生成子图，若的生成子图，若T是树，是树，则称则称T是是G的生成树。的生成树。 从从G中删去中删去T 的边后得到的图称为的边后得到的图称为T 的余树，记为的余树，记为T。T 中的边称为中的边称为T 的树枝，的树枝，T 中的边称为中的边称为T 的弦的弦（或余枝）。（或余枝）。e5e8e6e1e2e7e4e32定理定理12.2.1 无向图无向图G是连通图当且仅当是连通图当且仅当G有生成树有生成树.证证 充分性充分性 显然，因为生成树本身是连通的。显然，因为生成树本身是连通的。 必要性必要性 设设G是连通图。如果是连通图。如果G中无回路，那么中无回路，

2、那么G本身就是生成树；如果本身就是生成树；如果G中存在回路中存在回路C1，则去掉，则去掉C1上的一条边，仍保持连通性；若还有回路上的一条边，仍保持连通性；若还有回路C2 ，则再去掉则再去掉C2上的一条边，直到无回路为止，最后上的一条边，直到无回路为止，最后得到一棵生成树。得到一棵生成树。3推论推论1 设设G为连通图，为连通图，V(G)=n, E(G)=m, 则则m n-1推论推论2 设设T 为为G 的一棵生成树，则的一棵生成树，则T 的余树的余树T 有有 m-n+1条边。条边。4定义定义12.2.2 设设T为连通图为连通图G的生的生成树，成树，e为为T的弦，称回路的弦，称回路T e为为G的的(

3、关于关于T的弦的弦e 的的)基本回路，基本回路，记为记为C(e)；集合集合C = C(ei)|ei为为T 的弦的弦称为称为G的的(关于关于T 的的)基本回基本回路系统。路系统。图图G及其生成树及其生成树Tabcdste4e2e3e1e5e6e7e8C(e1)abse4e1e5C(e2)abcde2e5e6e7C(e3)abcdte3e5e6e7e85例例12.2.2 求图求图G的全部回路。的全部回路。解：利用解：利用G关于关于T 的基本回路系统。记的基本回路系统。记Ck=C(ek) 且作映射且作映射 Ck (d d1k, d d2k, , d d8k)图图Gabcdste4e2e3e1e5e6

4、e7e810ikikikeCeCd d 12345678123100110000100111000101111eeeeeeeeCCC 6 其中其中C1 C2 C3为基本回路为基本回路；C1 C2 C2 C3 C1 C3为为G的回路，但非基本回路；的回路，但非基本回路； C1 C2 C3为为G的环路，的环路，但非回路，但非回路， 1234567812312132312310011000010011100010111111010110101101110110000111111001eeeeeeeeCCCCCCCCCCCC 7C1abse4e1e5C2abcde2e5e6e7C3abcdte3e5e6e7e8abcdse4e2e1e6e7abcd

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