常微分方程(2)ppt课件

1、高阶微分方程高阶微分方程 习题课习题课一、主要内容一、主要内容高阶方程高阶方程可降阶方程可降阶方程线性方程解的结构线性方程解的结构二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构特征根法特征根法特征方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项待定系数法待定系数法f(x)f(x)的形式及其的形式及其特解形式特解形式微分方程解题思路微分方程解题思路一阶方程一阶方程高阶方程高阶方程分离变量法分离变量法全微分方程全微分方程常数变易法常数变易法特征方程法特征方程法待定系数法待定系数法非全微分方程非全微分方程非变量可分离非变量可分离幂级数解法幂级数解法降降阶阶作作变变换换作变换作变换积分因子积分因子1 1

2、、可降阶的高阶微分方程的解法、可降阶的高阶微分方程的解法)()1()(xfyn 型型解法解法接连积分接连积分n次，得通解次，得通解),()2(yxfy 型型特点特点. y不不显显含含未未知知函函数数解法解法),(xPy 令令,Py 代入原方程代入原方程, 得得).(,(xPxfP ),()3(yyfy 型型特点特点.x不不显显含含自自变变量量解法解法),(xPy 令令,dydpPy 代入原方程代入原方程, 得得).,(PyfdydpP 2 2、线性微分方程解的结构、线性微分方程解的结构（1 1）二阶齐次方程解的结构）二阶齐次方程解的结构: :)1(0)()( yxQyxPy形形如如也也是是解解

3、则则是是解解若若221121,ycycyyy 是是通通解解则则是是两两无无关关解解若若221121,ycycyyy （2 2二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构: :)2()()()(xfyxQyxPy 形如形如非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解非齐通解非齐通解 = 齐通解齐通解 + 非齐特解非齐特解2121)()()(yyyxfxfxf 则若的的特特解解分分别别是是则则的的特特解解是是若若)(),(,)()()(21212121xfxfyyxjfxfxfy jyy 3 3、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法)(1)

4、1(1)(xfyPyPyPynnnn 形形如如n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程0 qyypy二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法定其通解的方法称为特征方程法.0 qyypy特征方程为特征方程为02 qprr 特特征征根根的的情情况况 通通解解的的表表达达式式实实根根21rr 实实根根21rr 复复根根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx

5、 推广：推广： 阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法n01)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 jk复复根根重重共共轭轭若若是是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(111011104 4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法待定系数法解法待定系数法.型型)()()1(xPexfmx , )(xQexymxk

6、设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根 2,10k型型sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk 设设次次多多项项式式，是是其其中中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max .1;0是特征方程的单根时是特征方程的单根时不是特征方程的根时不是特征方程的根时 jjk二、典型例题二、典型例题例例1 1.212yyy 求通解求通解解解.x方方程程不不显显含含,dydPPyPy 令令代入方程，得代入方程，得,212yPdydPP ,112yCP 解解得得，, 11 yCP, 11 yCdxdy即即故方程的通解为故方

7、程的通解为.12211CxyCC 例例2 2. 1)1()1(,2 yyexeyyyxx求求特特解解解解特征方程特征方程, 0122 rr特征根特征根, 121 rr对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为.)(21xexCCY 设原方程的特解为设原方程的特解为,)(2*xebaxxy ,2)3()(23*xebxxbaaxy 则则,2)46()6()(23*xebxbaxbaaxy 代入原方程比较系数得代入原方程比较系数得将将)( ,)( ,* yyy,21,61 ba原方程的一个特解为原方程的一个特解为,2623*xxexexy 故原方程的通解为故原方程的通解为.26)(2321xxx

8、exexexCCy , 1)1( y, 1)31(21 eCC,6)1()(3221xexxCCCy , 1)1( y, 1)652(21 eCC,31121 eCC,651221 eCC由由解得解得 ,121,61221eCeC所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为.26)121(61223xxxexexexeey 例例3 设二阶非齐次线性方程的三个特解为设二阶非齐次线性方程的三个特解为xxyxxyxycos,sin,321 求其通解求其通解解解 由解的结构知非齐方程的任二解之差是由解的结构知非齐方程的任二解之差是相应齐方程的解相应齐方程的解故故xyysin12 xyy

9、cos13 是齐方程的两个解是齐方程的两个解齐通解齐通解xcxcYsincos21 且线性无关且线性无关非齐通解非齐通解xxcxcy sincos21例例4 设设 f (x) 具有连续的二阶导数试确定具有连续的二阶导数试确定f (x) 使曲线积分使曲线积分dyxfydxxfxfxeLx)()()(2 )(常数常数 与路径无关与路径无关解解 由曲线积分与路径无关的条件得由曲线积分与路径无关的条件得)()(2)(xfxfexfx 即即xexfxfxf )()(2)(这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程齐通解齐通解xexccy )(21时时1 xexy 2*21x

10、exxccxf )2()(221时时1 xey 2*)1(1 xxeexccxf 221) 1(1)()( 例例5 5).2cos(212xxyyy 求求解解方方程程解解特征方程特征方程, 042 r特征根特征根,22,1ir 对应的齐方的通解为对应的齐方的通解为.2sin2cos21xCxCY 设原方程的特解为设原方程的特解为.*2*1*yyy ,)1(*1baxy 设设,)(*1ay 则则, 0)(*1 y，得得代代入入xyy214 ，xbax2144 由由，04 b，214 a解得解得，0 b，81 a;81*1xy ),2sin2cos()2(*2xdxcxy 设设,2sin)2(2c

11、os)2()(*2xcxdxdxcy 则则,2sin)44(2cos)44()(*2xdxcxcxdy ，得得代代入入xyy2cos214 ,2cos212sin42cos4xxcxd 由由，04 c，214 d即即，81 d，0 c;2sin81*2xxy 故原方程的通解为故原方程的通解为.2sin81812sin2cos21xxxxCxCy 例例6 6.)(),(1)()(2此此方方程程的的通通解解（）的的表表达达式式；（），试试求求：的的齐齐次次方方程程有有一一特特解解为为，对对应应有有一一特特解解为为设设xfxpxxxfyxpy 解解（）由题设可得：（）由题设可得： ),()1)(2,

12、 02)(223xfxxpxxxp解此方程组，得解此方程组，得.3)(,1)(3xxfxxp （）原方程为（）原方程为.313xyxy ，的的两两个个线线性性无无关关的的特特解解程程是是原原方方程程对对应应的的齐齐次次方方显显见见221, 1xyy 是原方程的一个特解，是原方程的一个特解，又又xy1* 由解的结构定理得方程的通解为由解的结构定理得方程的通解为.1221xxCCy 测测 验验 题题一、一、 选择题选择题: :1 1、 一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程)()(xQyxPy 的通的通解是解是( ).( ). (A) (A) )()()(CdxexQeydxxPdxxP；

13、(B) (B) dxexQeydxxPdxxP)()()(； (C)(C) )()()(CdxexQeydxxPdxxP； (D) (D) dxxPcey)(. .2 2、方程、方程yyxyx 22是是( ).( ). (A) (A)齐次方程；齐次方程； (B) (B)一阶线性方程；一阶线性方程； (C) (C)伯努利方程；伯努利方程； (D) (D)可分离变量方程可分离变量方程 . .3 3、2)1(,022 yxdxydy的特解是的特解是( ).( ). (A) (A)222 yx； (B) (B)933 yx； (C) (C)133 yx； (D) (D)13333 yx. .4 4、方

14、程、方程xysin 的通解是的通解是( ).( ). (A) (A)322121cosCxCxCxy ； (B) (B)322121sinCxCxCxy ； (C)(C)1cosCxy ； (D) (D)xy2sin2 . .5 5、方程、方程0 yy的通解是的通解是( ).( ).(A)(A)1cossinCxxy ；(B)(B)321cossinCxCxCy ；(C)(C)1cossinCxxy ；(D)(D)1sinCxy . .6 6、若、若1y和和2y是二阶齐次线性方程是二阶齐次线性方程 0)()( yxQyxPy的两个特解的两个特解, ,则则 2211yCyCy ( (其中其中21

15、,CC为任意常数为任意常数)( )( )(A)(A)是该方程的通解；是该方程的通解； (B) (B)是该方程的解；是该方程的解； (C) (C)是该方程的特解；是该方程的特解； (D) (D)不一定是该方程的解不一定是该方程的解. .7 7、求求方方程程0)(2 yyy的的通通解解时时, ,可可令令( ( ) ). . ( (A A) )PyPy 则则,； ( (B B) )dydPPyPy 则则,； ( (C C) )dxdPPyPy 则则,； ( (D D) )dydPPyPy 则则,. .8 8、已已知知方方程程02 yyxyx的的一一个个特特解解为为xy , ,于于 是是方方程程的的通

16、通解解为为( ( ) ). . ( (A A) )221xCxCy ； ( (B B) )xCxCy121 ； ( (C C) )xeCxCy21 ； ( (D D) )xeCxCy 21. .9 9、 已知方程、 已知方程0)()( yxQyxPy的一个特的一个特1y解为解为, , 则另一个与它线性无关的特解为则另一个与它线性无关的特解为( ).( ). (A) (A) dxeyyydxxP)(21121； (B) (B) dxeyyydxxP)(21121； (C)(C) dxeyyydxxP)(1121； (D) (D) dxeyyydxxP)(1121. .1010、方程、方程xeyy

17、yx2cos23 的一个特解形式是的一个特解形式是 ( ).( ). (A) (A) xeAyx2cos1 ； (B) (B) xxeBxxeAyxx2sin2cos11 ； (C) (C) xeBxeAyxx2sin2cos11 ； (D) (D) xexBxexAyxx2sin2cos2121 . .二二、 求求下下列列一一阶阶微微分分方方程程的的通通解解: : 1 1、)1(lnln xaxyxyx； 2 2、033 yxxydxdy； 3 3、022 yxxdyydxydyxdx. .三三、 求求下下列列高高阶阶微微分分方方程程的的通通解解: :1 1、012 yyy；2 2、)4(2

18、 xexyyy. .四四、 求求下下列列微微分分方方程程满满足足所所给给初初始始条条件件的的特特解解: :1 1、0)(2223 dyxyxdxy, ,11 yx时时，；2 2、xyyycos2 , ,23,00 yyx时时，. .六、六、 设可导函数设可导函数)(x 满足满足 1sin)(2cos)(0 xtdttxxx , , 求求)(x . . 七、七、 我舰向正东我舰向正东海海里里1处的敌舰发射制导鱼雷处的敌舰发射制导鱼雷, ,鱼雷在鱼雷在航行中始终对准敌舰航行中始终对准敌舰. .设敌舰以设敌舰以0v常常数数沿正北方向沿正北方向直线行驶直线行驶, ,已知鱼雷速度是敌舰速度的两倍已知鱼雷速度是敌舰速度的两倍, ,求鱼雷求鱼雷的航行曲线方程的航行曲线方程, ,并问敌舰航行多远时并问敌舰航行多远时, ,将被鱼雷击将被鱼雷击中中? ?测验题答案测验题答案一、一、1 1、A A； 2 2、A A；