高考数学一轮复习讲义：8.7立体几何中的向量方法(Ⅱ)求空间角与距离

1、立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法()()求空间角与距离求空间角与距离 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点nnab利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系空间几何体空间几何体空间几何体的结构空间几何体的结构空间几何体的体积、表面积空间几何体的体积、表面积柱、锥、台、球的结构特征柱、锥、台、球的结构特征三视图与直观图的画法三视图与直观图的画法空间角空间角 角的范围角的范围图形图形计算公式计算公式线线角线线角线面角线面角面面角面面角sin|cos,|ba nb

2、a nba n cos|cos,|a b 0,2 (0,2 0, 12,n n 121212cos,|nnn nnn 12,n n ll法向量法法向量法 1n 1n 2n 2n 12n n ，12n n ，12n n ，12n n ，cos12cos, n ncos12cos, n n注意注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角同进同出，二面角等于法向量夹角的补角 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量将二面角转化为二面角的两个面的方向向量(在在二面角的面内且垂直于二面角的棱二面角的面内且垂直于二面角的

3、棱)的夹角的夹角. ,abl abcdl cd coscos,ab cdab cdab cd dcba方向向量法：方向向量法：设二面角设二面角- -l- -的大小为的大小为，其中其中l点点p在棱上在棱上点点p在一个半平面上在一个半平面上点点p在二面角内在二面角内pababpabop定义法定义法三垂线定理法三垂线定理法垂面法垂面法作二面角的平面角的常用方法作二面角的平面角的常用方法 l 1.定义法定义法3.垂面法垂面法2. 垂线法垂线法pabo空间角空间角图形图形角的范围角的范围计算公式计算公式线线角线线角线面角线面角面面角面面角sin|cos,|ba nba nba n cos|cos,|a

4、b 12,n n 121212cos,|n nn nnn 12,n n 0,2 (0,2 0, 求点到平面的距离求点到平面的距离定义定义:一点到它在一个平面内的正射影的距离一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做叫做点到平面的距离点到平面的距离.即过这个点到平面的垂即过这个点到平面的垂线段的长度线段的长度. ab o方法方法2:等体积法求距离等体积法求距离. .方法方法1:利用定义先做出过这个点到平面的垂利用定义先做出过这个点到平面的垂线段线段,再计算这个垂线段的长度再计算这个垂线段的长度.| |sindpopa apo 点点p为平面外一点，点为平面外一点，点a为平面内的任一点，平为平面内的任一

5、点，平面的法向量为面的法向量为n , 过点过点p作平面作平面 的垂线的垂线po，记，记pa和和平面平面 所成的角为所成的角为 . 则点则点p到平面的距离到平面的距离|n papanpa |.|n pan n 求点到平面的距离求点到平面的距离方法方法3:向量法向量法|n padn 空间的角空间的角异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角范范围围： 0 ,90 |cos| |a bab 空间的距离空间的距离点到平面的距离直线与平面所成的距离平行平面之间的距离相互之间的转化coscos cos 直线与平面所成的角直线与平面所成的角异面直线所成的角异面直线所成的角定义法定义法法向量法法向量法方向向量法

6、方向向量法范范围围： (0 ,90 范范围围： 0 ,180 |andn 1212cos| |nnnn |sin| |a nan abcdp则则d(0,0,0), a(2,0,0), o(1,1,0), b(2,2,0), c(0,2,0), p(0,0,2)，(1)正方形正方形abcd，ocdb.pd平面平面abcd,oc平面平面abcd，pdoc.cpo为为pc与平面与平面pbd所成的角所成的角.(0,2, 2),(1,1, 2),pcpo 3cos,.2|pc popc popcpo 所以所以pc与平面与平面pbd所成的角为所成的角为300.解解: 如图建立空间直角坐标系如图建立空间直角

7、坐标系dxyz,pd=ad=2,又又dbpd=d, oc平面平面pbd.( , , ),nx y z (2)设平面设平面pac的法向量为的法向量为 00,00n paxzyzn pc , 即, 即令令 x=1, 则则 y=1, z=1，(1,1,1).n (2,0,0),da 又又|22 3.3|3n dadn 所以所以d到平面到平面pac的距离的距离 2 3.3(3) 假设在假设在pb上存在上存在e点，使点，使pc平面平面ade，,pepb 设设(2,2, 2),pb (2 ,2 , 2 ).pe dedppe(2 ,2 ,22 ). (22,2 ,22 ).aeappe 840,pc ae

8、 1,2 解解得得所以存在所以存在e点且点且e为为pb的中点时的中点时pc平面平面ade.【点评】这类探索问题用向量法来分析容易发现结论【点评】这类探索问题用向量法来分析容易发现结论.由由 pcae, pcde, 得得840,pc de 此时此时e(1,1,1).acdeb例例2 解解：()m( 1,0,0),de 21( ,).22adt 设平面设平面ade的法向量为的法向量为1111(, ),nx y z 110,0.n den ad 则则11110,210.22xxytz 11122,0,yzxt 令令则则12(0,2,).nt m设设, ,amab p则则, ,cmca amcaab

9、11(,0, )(,0,)22tt 11(,0,).22tt pmcm cp 211(,0,)(0,0)224tt 211(,).224tt 2211(,) (0,2,)0,224ttt 即即 ,pmadepmn 若若平平面面，则则0.pm n 22(1)0,2 12 解解之之，得得. .所以所以，设平面设平面abe的法向量为的法向量为2222(,),nx y z 220,0.n ben ba 则则（） 由（由（）得，）得，22220,210.2yxtz 22212,0,xzyt 令令则则21(2,0,).nt 45 ,ceabe由与平面所成角是22| 2|sin45|cos,|,1114(

10、)2n cet 221(0,0),( ,0, ),( 1,0).222bebat ce 3.2t 解解得得122 62 3(0,2,),(2,0,).33nn 12cos,4 2103104 203.n n 11222解解: 90 ,badadab 45adbabd . ./ /,45adbcbcd , ,90 ,.bdcbddc 即即pbdbcd 又又平平面面平平面面, ,.cdpbd 平平面面,pbpbd 平平面面.cdpb ,cdbcd 平平面面1122211222求二面角求二面角p- -bc- -d的余弦值大小；的余弦值大小；ef1,pbpd 211rt90222peefbepefpe

11、f, 在, 在中中,.,.tan2,pepfeef 3.3所以所以二面角二面角p- -bc- -d的余弦值大小是的余弦值大小是3cos,3pfe 求点求点d到平面到平面pbc的距离的距离.112221111,3232pb pd dcpb pch 6,.3pd dcpd dcpc hhpc ,c pbdd pbcvv ,pbpcd 平平面面.pcpcdpbpc 平平面面22(0 0 0)( 2 0 0),(02 0)(0).22dbcp, , , , , , , , , , , , , , , ,22(1)(02 0)(0),22cdpb , ,， , , , ,0,cd pb ,.cdpbcd

12、pb 求求证证(1):.cdpb 求二面角求二面角p- -bc- -d的余弦值大小；的余弦值大小；2222(0)(2),2222pbpc ， ， ，00,200m pbxzxyzm pc ，即即11,xzy 令令，(111).m ， ，31cos.3|13n mm nnm , ,3.3所以所以二面角二面角p- -bc- -d的余弦值是的余弦值是因为二面角因为二面角p- -bc- -d的大小是锐角的大小是锐角,求点求点d到平面到平面pbc的距离的距离.(111),m ， ，( 2 0 0),db ， ，|26.3|3db mdm abcdefabcdefabcdefabcdefh2,aeedda

13、,3.dhae dh 4 31322.33v abcdefxyzh31(, 2,).22c1,2fced 223333( , , ) ( ,0,)02222( , , ) (1,2, 3)230.n bcx y zxzn bdx y zxyz ，由由. . . .adcbm证明：证明：(1)连结连结ac1交交a1c于于e，连结，连结deaa1c1c为矩形，则为矩形，则e为为ac1的中点的中点又又d是是ab的中点，的中点，在在abc1中，中，debc1.bc1平面平面ca1d.又又de平面平面ca1d，bc1 平面平面ca1d，ee(1)证法二：证法二：(1)证法三：证法三：a1b1c1abcd

14、d1又又aa1aba，cd平面平面aa1b1b.又又cd平面平面ca1d， 平面平面ca1d平面平面aa1b1b.又又aa1平面平面abc，cd平面平面abc，aa1cd.证明：证明：(2)acbc，d为为ab的中点，的中点，在在abc中中，abcd. 【例】如右图，四棱锥【例】如右图，四棱锥pabcd中，底面中，底面abcd是是dab60的菱形，侧面的菱形，侧面pad为正三角形，其所为正三角形，其所在平面垂直于底面在平面垂直于底面abcd. (1)求证：求证：adpb； (2)若若e为为bc边的中点，能否在棱边的中点，能否在棱pc上找到一点上找到一点f ,使平面使平面def平面平面abcd，

15、并证明你的结论，并证明你的结论解：解：如右图如右图(1)取取ad的中点的中点g，连结，连结pg，bg，bd. pad为等边三角形，为等边三角形，pgad. 又又平面平面pad平面平面abcd， pg平面平面abcd. 在在abd中中,dab60, adab， abd为等边三角形为等边三角形,bgad. adpb.ad平面平面pbg.又又pb 平面平面pbg，g(2)连结连结cg，de，且，且cg与与de相交于相交于h点，点， 在在pgc中作中作hfpg,交交pc于于f点点,连结连结df.平面平面dhf平面平面abcd. pg平面平面abcd. fh平面平面abcd.又又 fh 平面平面dhf，

16、即即f为为pc的中点时，平面的中点时，平面def平面平面abcd.h是是cg的中点，的中点，f是是pc的中点的中点.则则d(0,0,0), a(2,0,0), o(1,1,0), b(2,2,0), c(0,2,0), p(0,0,2)，(1)正方形正方形abcd，ocdb.pd平面平面abcd,oc平面平面abcd，pdoc.cpo为为pc与平面与平面pbd所成的角所成的角.(0,2, 2),(1,1, 2),pcpo 3cos,.2|pc popc popcpo 所以所以pc与平面与平面pbd所成的角为所成的角为300.解解: 如图建立空间直角坐标系如图建立空间直角坐标系dxyz,pd=a

17、d=2,又又dbpd=d, oc平面平面pbd.( , , ),nx y z (2)设平面设平面pac的法向量为的法向量为 00,00n paxzyzn pc , 即, 即令令 x=1, 则则 y=1, z=1，(1,1,1).n (2,0,0),da 又又|22 3.3|3n dadn 所以所以 d 到平面到平面pac的距离的距离 2 3.3注：可用等体积法注：可用等体积法 (3) 假设在假设在pb上存在上存在e点，使点，使pc平面平面ade，,pepb 设设(2,2, 2),pb (2 ,2 , 2 ).pe dedppe(2 ,2 ,22 ). (22,2 ,22 ).aeappe 84

18、0,pc ae 1,2 解解得得所以存在所以存在e点且点且e为为pb的中点时的中点时pc平面平面ade.【点评】这类探索问题用向量法来分析容易发现结论【点评】这类探索问题用向量法来分析容易发现结论.由由 pcae, pcde, 得得840,pc de 此时此时e(1,1,1).例例6 611abbb c c 又又平平面面，1abb c ，11.b cabc p 平平面面7.例例.例例8 8269 6,12acfesx 四四边边形形( )0vx ，m222( 42)( 42)(6 2)2 4242 1.7 1.7212,mbbe m1243cos.2422tbbnt ， 2244(2),4tt

19、即即.22pabcabbc papbpcaba 例例1 11 1 在在三三棱棱锥锥中中, , ,若若, ,求求异异面面直直线线与与所所成成角角的的大大小小; ;(1)bcababpc 设设, ,问问 取取何何值值时时, ,此此三三棱棱锥锥的的体体积积最最大大, , 并并求求出出此此最最大大体体积积. .(2)bcxx ( (1 1) )解解: :作作平平面面于于 ,poabco apbco,papbpc oabc 为为外外心心. .又又且且,abbcabbc 为为中中点点. .oac,为坐标原点以连oob分别为、opocobzxyxyz轴轴、 轴轴、 轴轴正正向向建建立立空空间间直直角角坐坐标

20、标系系. .设设 的夹角为的夹角为,2214(0) ,(,0,0),(0,0,),222aabapa 则则， 0 0， 0 02(0).2ca， 0 022(),22abaa ，214(0).22pcaa |1cos.4| |ab pcabpc 则则abpc1 1异异面面直直线线与与所所成成角角的的余余弦弦值值为为. .4 4apbcozxyabpc 与与22(2),acxa 222222211415,242xapopaacaax 2222211 115(15)33 2212p abcabcaxavspoaxxax 2223155.1228axaxa 3 3最最大大即即时时, ,305.28x

21、ava 2 2当当且且仅仅当当时时2215,xax apbcozxy18.269 6,12acfesx 四四边边形形( )0vx ，m222( 42)( 42)(6 2)2 4242 1.7 1.7212,mbbe 提示：设正方形提示：设正方形abcd的边长为的边长为2a 要求：本题要求：本题三问三问全部用坐标法全部用坐标法 22221(2 ,2 ,) (0,2 ,0)214444aaaaaaaa4 33.33cos| ag adagad45xyz11(0,),22ef (0,1,0),dc 2cos,2ef dc ,135ef dc xyz11(2,0,0),d a (1, 1, 1),n

22、11|2 3.3|d andn 2232(2 2341)2321d 1111da bdba d dvv 2 3.3do 设设2pmpna aa2a2a2a90 npbafem2 ,2 ,pma pnb 则则,pea pfb em fn () ()pmpepnpf pm pnpm pfpe pnpe pf 22 cos60ab 2cos45a b 2 cos45ab cos0a b 0. 90 bacdefcbcffeeb 5,bc ,fc eb 3cos,.3eb fc 33 3 2 =2,2ef 2 3,cf 3 2,2be 22223 23 23 25(2 3)(2)()2 2 3cos,222cf eb 3cos,3cf eb 【2】(09浙江浙江)如下图，在长方形如下图，在长方形abcd中中, ab2，