数学方法在物理中的应用

1、 20152015年物理教研组讲座年物理教研组讲座 数学知识在高中物理中的应用数学知识在高中物理中的应用 方法概述方法概述数学是解决物理问题的重要工具，借助数学方法可使一数学是解决物理问题的重要工具，借助数学方法可使一些复杂的物理问题显示出明显的规律性，能达到打通关卡、些复杂的物理问题显示出明显的规律性，能达到打通关卡、长驱直入地解决物理问题的目的中学物理长驱直入地解决物理问题的目的中学物理考试大纲考试大纲中中对学生应用数学方法解决物理问题的能力作出了明确的要对学生应用数学方法解决物理问题的能力作出了明确的要求，要求考生有求，要求考生有“应用数学处理物理问题应用数学处理物理问题”的能力对这一的

2、能力对这一能力的考查在历年高考试题中也层出不穷。能力的考查在历年高考试题中也层出不穷。所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测可以说，任何物理问题的分析、问题的判断、解释和预测可以说，任何物理问题的分析、处理过程，都是数学方法的运用过程本专题中所指的数学处理过程，都是数学方法的运用过程本专题中所指的数学方法，都是一些特殊、典型的方法，常用的有极值法、方法，都是一些特殊、典型的方法，常用的有极值法、几何几何法、图象法

3、、数学归纳推理法、微元法、等差法、图象法、数学归纳推理法、微元法、等差(比比)数列求和数列求和法等法等 一、极值法一、极值法数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等判别式法等1利用三角函数求极值利用三角函数求极值ya cos b sin ( cos sin )令令sin ，cos 则有：则有：y (sin cos cos sin ) sin ()所以当所以当 时，时，y有最大值，且有最大值，且ymax 22ab 22aab 2

4、2bab 22aab 22bab 22ab 22ab 222ab 例例1：物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动：物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动摩擦因数为摩擦因数为，物体重为，物体重为G，欲使物体沿水平地面做，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力匀速直线运动，所用的最小拉力F为多大？为多大？ NFfmg矢量就是解析知何中的向量，当物体受三力平衡时，将三力矢量首尾相连后，必定构成三角形，利用点到直线的垂直线段最短可求极值。mgFtan= =sinminmgF2min1sinGGF应用几何图形应用几何图形分析物理问题分析物理问题2利用二次函数求极值利用二次函数求极值二次函数

5、：二次函数：yax2bxca(x2 x )c a(x )2 (其中其中a、b、c为实常数为实常数)，当当x 时，有极值时，有极值ym (若二次项系数若二次项系数a0，y有极小值；若有极小值；若a1，由三角函数的单调性可知，由三角函数的单调性可知所以所以i增大，增大，r增大，（增大，（i-r）也增）也增大，大，x 增大，故选增大，故选D。将将“数学数学”问题回归问题回归到到“物理物理”问题问题rridxcos)sin( 例例2：物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动：物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动摩擦因数为摩擦因数为，物体重为，物体重为G，欲使物体沿水平地面做，欲使物体沿水平地面做匀

6、速直线运动，所用的最小拉力匀速直线运动，所用的最小拉力F为多大？为多大？ NFfmg矢量就是解析知何中的向量，当物体受三力平衡时，将三力矢量首尾相连后，必定构成三角形，利用点到直线的垂直线段最短可求极值。mgFtan= =sinminmgF2min1sinGGF应用几何图形应用几何图形分析物理问题分析物理问题例例15：(2009江苏单科江苏单科)15题如图所示，两平行的光滑金属导题如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为l、足够长且电阻忽略、足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为不计，导轨平面的倾角为，条形匀强磁场的宽度为，条形匀强磁

7、场的宽度为d，磁感应，磁感应强度大小为强度大小为B、方向与导轨平面垂直。长度为、方向与导轨平面垂直。长度为2d的绝缘杆将导的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成 “ ”型装置，型装置，总质量为总质量为m，置于导轨上。，置于导轨上。导体棒中通以大小恒为导体棒中通以大小恒为I的电流的电流（由（由外接恒流源产生，图中未画出）。线框的边长为外接恒流源产生，图中未画出）。线框的边长为d（d l），），电阻为电阻为R，下边与磁场区域上边界重合。，下边与磁场区域上边界重合。将装置由静止释放，导将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回，体棒恰好运动到

8、磁场区域下边界处返回，导体棒在整个运动过程导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直。重力加速度为中始终与导轨垂直。重力加速度为g。求：。求：（1）装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热）装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热Q； （2）线框第一次穿越磁场区域所需的时间）线框第一次穿越磁场区域所需的时间t1 ； （3）经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大）经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离距离m 。导体棒中通以大小恒为导体棒中通以大小恒为I的电流的电流将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边

9、界处返回V=0甲甲V1乙乙V=0丙丙212102sinmvBIlddmg乙到丙动能定理：乙到丙动能定理：tmRvdBgtmdIBmgv)sin(sin22dtv2甲到乙微元法：甲到乙微元法：mRdBgtvtmRvdBgv3211222sin)sin(求和求和sin2)sin2(2321mgRdBmgdBIldmt等量的同种电荷形成的电场的特点等量的同种电荷形成的电场的特点（以正电荷形成的场为例）（以正电荷形成的场为例）1.1.场强特点场强特点中点中点O O点处的场强点处的场强E Eo o: :0ABOEEE设两点电荷设两点电荷的带电量均的带电量均为为q q，间距为，间距为R R，向右为正，向右

10、为正方向方向两点电荷连线上任意一点两点电荷连线上任意一点P P处的场强处的场强E EP P: :22()ABAAPqqEEEkkrR r总结：在两个等量正电荷的连线上，总结：在两个等量正电荷的连线上，由由A A点向点向B B点方向，电场强度的大小先点方向，电场强度的大小先减后增，在减后增，在r rA A=R/2=R/2（即中点（即中点O O处）场强处）场强最小为零；场强的方向先向右再向左最小为零；场强的方向先向右再向左即除中点即除中点O O外，场强方向指向中点外，场强方向指向中点O O。两点电荷连线的中垂线上任意一点两点电荷连线的中垂线上任意一点Q Q处的场强处的场强E EQ Q: :2224

11、2sin2sin(2sin cos)()2cosABAQqkqEEEEkRR 解析方程可得：当解析方程可得：当=35.26=35.26 时出现场强最大值时出现场强最大值R42x总结：在两个等量正电荷连线的中垂线上，由总结：在两个等量正电荷连线的中垂线上，由O O点向点向N N（M M）点方向，电场强度的大小先增后减，）点方向，电场强度的大小先增后减，当当=35.26=35.26时出现场强最大值；时出现场强最大值；场强场强的方向的方向由由O O点指向点指向N N（M M）。）。29316maxRkqE结论：结论：在两个等量负电荷的在两个等量负电荷的连线上连线上，由，由A A点点向向B B点方向，

12、电场强度的大小点方向，电场强度的大小先减后增先减后增，在，在r rA A=R/2=R/2（即（即中点中点O O处）场强最小为零处）场强最小为零；场强；场强的方向先向左再向右（除中点的方向先向左再向右（除中点O O外）。在其外）。在其连线的连线的中垂线上中垂线上，由，由O O点向点向N N（M M）点方向，）点方向，电场强度的大小电场强度的大小先增后减，当先增后减，当=35.26=35.26时出现场强最大值时出现场强最大值；场强的方向由；场强的方向由 N N（M M）指向指向O O点。点。等量的两个负等量的两个负电荷形成的场电荷形成的场外外推推EOx+Q+Q等量同种正电荷形成的电场等量同种正电荷

13、形成的电场两电荷的连线和延长线上两电荷的连线和延长线上E-x图象图象 yEO图5 在中垂线上，随距离增在中垂线上，随距离增大，场强大小先增后减，场大，场强大小先增后减，场强方向相反；在两电荷连线强方向相反；在两电荷连线中点场强为零。中点场强为零。 E-Y图象图象 例题分析例题分析（2010江苏物理江苏物理5）空间有一沿）空间有一沿x轴对称分布的电场，轴对称分布的电场，其电场强度其电场强度E随随x变化的图像如图所示下列说法正确变化的图像如图所示下列说法正确的是的是（A）O点的电势最低点的电势最低（B）x2点的电势最高点的电势最高（C）x1和和x1两点的电势相等两点的电势相等（D）x1和和x3两点

14、的电势相等两点的电势相等【解析】由以上规律判断可知等量正（负）点电荷或均匀带正（负）电圆环的中垂线上符合题目所给的E-x图像。由等量正点电荷中垂线上电势的规律可知A错，因为O点电势可能最高；x2点的电势不是最高，而是场强最大；x1和x3两点的电势不相等，可能x1高于x3，也可能相反；由对称性可知C正确。【20082008上海上海】如图所示，在光滑绝缘如图所示，在光滑绝缘水平面上，两个带等量正电的点电荷水平面上，两个带等量正电的点电荷M M、N N，分别固定在，分别固定在A A、B B两点，两点，O O为为ABAB连线的连线的中点，中点，CDCD为为ABAB的垂直平分线。在的垂直平分线。在COC

15、O之间之间的的F F点由静止释放一个带负电的小球点由静止释放一个带负电的小球P P（设不改变原来的电场分布），在以后的一段时间内，设不改变原来的电场分布），在以后的一段时间内，P P在在CDCD连线上做往复运动。若连线上做往复运动。若A.A.小球小球P P的带电量缓慢减小，则它往复运动过程中振幅不的带电量缓慢减小，则它往复运动过程中振幅不断减小断减小B.B.小球小球P P的带电量缓慢减小，则它往复运动过程中每次经的带电量缓慢减小，则它往复运动过程中每次经过过O O点时的速率不断减小点时的速率不断减小C.C.点电荷点电荷M M、N N的带电量同时等量地缓慢增大，则小球的带电量同时等量地缓慢增大，

16、则小球P P往往复运动过程中周期不断减小复运动过程中周期不断减小D.D.点电荷点电荷M M、N N的带电量同时等量地缓慢增大，则小球的带电量同时等量地缓慢增大，则小球P P往往复运动过程中振幅不断减小复运动过程中振幅不断减小等量的异种电荷形成的电场的特点等量的异种电荷形成的电场的特点1.1.场强特点场强特点中点中点O O点处的场强点处的场强E Eo o: :2282()2ABOqkqEEEkRR 设两点电荷的带电设两点电荷的带电量均为量均为q q，间距为，间距为R R，向右为正方向向右为正方向两点电荷连线上任意一点两点电荷连线上任意一点P P处的场强处的场强E EP P: :22()ABAAP

17、qqEEEkkrR r 总结：在两个等量异种电荷的连线上，总结：在两个等量异种电荷的连线上，由由A A点向点向B B点方向，电场强度的大小先减点方向，电场强度的大小先减小后增大，在小后增大，在r rA A=R/2=R/2（即中点（即中点O O处）场处）场强最小；场强的方向指向负电荷。强最小；场强的方向指向负电荷。32282cos2coscos()2cosABAQqkqEEEEkRR 总结：在两个等量异种电荷的连线的中垂线上，由总结：在两个等量异种电荷的连线的中垂线上，由O O点向点向N N（M M）点方向，电场强度的大小一直在减小；场强的方）点方向，电场强度的大小一直在减小；场强的方向平行于向

18、平行于ABAB连线指向负电荷一端。连线指向负电荷一端。两点电荷连线的中垂线上任意一点两点电荷连线的中垂线上任意一点Q Q处的场强处的场强E EQ Q: :等量异种电荷形成的电场等量异种电荷形成的电场-QQXE+QO 关于两电荷连线的中点关于两电荷连线的中点O对称的对称的 任意两任意两点，场强大小相等，方向相同，越靠近两电点，场强大小相等，方向相同，越靠近两电荷的地方电场强度越大；在两电荷连线中，荷的地方电场强度越大；在两电荷连线中，中点中点O 处场强最小，但不为零。处场强最小，但不为零。E-x图象图象 EOy图图2 在两点电荷连线的中垂线上，场强方向在两点电荷连线的中垂线上，场强方向处处相同，

19、关于处处相同，关于O 点对称的任意两点场强点对称的任意两点场强大小相等，大小相等，O 点场强最大点场强最大 E-y图象图象 2.2.电势特点电势特点中点中点O O点处的电势点处的电势o o: :40ABOkqR两点电荷连线上任意一点两点电荷连线上任意一点P P处的电势处的电势P P: :设两点电荷的带电设两点电荷的带电量均为量均为q q，间距为，间距为R R。()()ABAAAAPqqkqRkkrRrr Rr总结：在两个总结：在两个等量正等量正电荷的连线上，由电荷的连线上，由A A点点向向B B点方向，电势先减后增，在点方向，电势先减后增，在r rA A=R/2=R/2（即（即中点中点O O处

20、）电势最小，但电势总为正。处）电势最小，但电势总为正。两点电荷连线的中垂线上任意一点两点电荷连线的中垂线上任意一点Q Q处的电势处的电势Q Q: :4cos202cosABQqkqkRR总结：在两个总结：在两个等量正等量正电荷的连线的中垂线电荷的连线的中垂线上，由上，由O O点向点向N N（M M）点方向，电势一直减）点方向，电势一直减小且大于零，即小且大于零，即O O点最大，点最大，N(M)N(M)点为零。点为零。等量的两个负等量的两个负电荷形成的场电荷形成的场外外推推结论：结论：在两个等量负电荷在两个等量负电荷连线上连线上，由，由A A点向点向B B点方向，电势点方向，电势先增后减先增后减

21、，在，在r rA A=R/2=R/2（即（即中点中点O O处）电势最大但电势总为处）电势最大但电势总为负负；在两个点电荷的连线的；在两个点电荷的连线的中垂线上中垂线上，由，由O O点向点向N N（M M）点）点方向，电势方向，电势一直增大且小于零一直增大且小于零，即，即O O点最小，点最小，N(M)N(M)点为零。点为零。2.2.电势特点电势特点中点中点O O点处的电势点处的电势o o: :022ABOqqkkRR（ ） （ ）设两点电荷的带电设两点电荷的带电量均为量均为q q，间距为，间距为R R。两点电荷连线的中垂线上任意一点两点电荷连线的中垂线上任意一点Q Q处的电势处的电势Q Q: :

22、02cos2cosABQqqkkRR总结：总结：等量异种等量异种电荷连线的中垂线上电荷连线的中垂线上任意一点电势均为零即等量异种电荷任意一点电势均为零即等量异种电荷的连线的中垂线（面）是零势线（面）的连线的中垂线（面）是零势线（面）两点电荷连线上任意一点两点电荷连线上任意一点P P处的电势处的电势P P: :()ABAAPqqkkrRr总结：在两个等量异种电荷的连线上，总结：在两个等量异种电荷的连线上，由由A A点向点向B B点方向，电势一直在减小，在点方向，电势一直在减小，在r rA A=R/2=R/2（即中点（即中点O O处）电势为零，正电处）电势为零，正电荷一侧为正势，荷一侧为正势，负电

23、荷一侧为负势负电荷一侧为负势。 等量同种正电荷形成的电场，若取无穷远处电势为零，电场中各点的电势都大于零；关于两电荷连线的中点O 对称的任意两点电势相等，在两电荷连线上，越接近中点，电势越低，中点是连线上电势的最低点，但不为零。在连线的延长线上，关于某电荷对称的两点电势不相等，连线上的连线上的电势高于延长线上的电势（叠加）电势高于延长线上的电势（叠加）。若以两电荷连线中点为坐标原点O，两电荷连线所在线为 x轴，以纵轴为电势，作出的x 图象如图6所示。xO+Q+Q图6yO图7 在两电荷连线中垂线上，中点电势最高，根据沿电场线方向电势逐渐降低。若以电荷连线中点为坐标原点O，中垂线方向为横轴y 。纵

24、轴为电势 ，作出的 y图象如图7所示。 等量同种负电荷形成的电场与上述相反yO 关于正电荷对称的两点，根据等势面图，延长线上的电势比连线上的电势高，关于负电荷对称的两点，延长线上的电势比连线上的电势低。再根据正电荷周围的电势大于零，负电荷周围的电势小于零。以两电荷连线中点为坐标原点O，连线所在线横轴为x 轴，纵轴为电势 ，建立直角坐标系。-x图象。 Ox+Q-Q图3（2011上海单科）14两个等量异种点电荷位于x轴上，相对原点对称分布，正确描述电势 随位置x变化规律的是图【解析】电场线如下图， 根据“沿电场线方向电势降低”的原理，C、D是错误的；再根据正电荷周围的电势为正，负电荷周围的电势为负

25、，B也错误，A正确。所以本题选A。（2009江苏物理江苏物理8）空间某一静电场的电势 在X 轴上分布如图所示，X轴上两点B、C点电场强度在X方向上的分量分别是 、 ，下列说法中正确的有 A 的大小大于 的大小 B 的方向沿轴正方向 C电荷在0点受到的电场力在x方向上的分量最大 D负电荷沿x轴从B移到C的过程中，电场力先做正功，后做负功【解析】本题的入手点在于如何判断的大小，由图象可知在x轴上各点的电场强度在x方向的分量不相同，如果在x方向上取极小的一段，可以把此段看做是匀强磁场，用匀强磁场的处理方法思考，从而得到结论，此方法为微元法微元法；需要对电场力的性质和能的性质由较为全面的理解。在B点和

26、C点附近分别取很小的一段d，由图象，B点段对应的电势差大于C点段对应的电势差，(正点电荷电势）ADBxECxEBxEBxECxE正正弦定理的应用正弦定理的应用 正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即 CcBAsinsinbsina例例1.（2008年四川延理综考卷）年四川延理综考卷）两个可视为质点的小球a和b，用质量可忽略的刚性细杆相连，放置在一个光滑的半球面内，如图1所示。己知小球a和b的质量之比为 ，细杆长度是球面半径的 倍。两球处于平衡状态时，细杆与水平面的夹角是 A450 B300 C22.50 D150图12、利用导数求物理极值、利用导数求物理极值一般地，求函数一般地，求函数 极值的方法是：解方程极值的方法是：解方程 ，当，当 时时（1）如果在）如果在 附近的左侧附近的左侧 ，右侧，右侧 则则 是极大值是极大值（2）如果在）如果在 附近的左侧附近的左侧 ，右侧，右侧 则则 是极小值是极小值导数在物理中的应用例1 (利用三角函数求极值)如图甲所示,