新北师大版九下数学33垂径定理

1、3.3垂径定理不要说成“圆的直径”呦！圆的对称性圆的对称性v圆是轴对称图形吗？圆是轴对称图形吗？如果是如果是, ,它的对称轴是什么它的对称轴是什么? ?你能找到多少你能找到多少条对称轴？条对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的你是用什么方法解决上述问题的? ?v圆是轴对称图形圆是轴对称图形. .圆的对称轴是任意一条经圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线过圆心的直线, ,它有无数条对称轴它有无数条对称轴. .可利用折叠的方法即可解决上述问题可利用折叠的方法即可解决上述问题. .O圆的相关概念：弧、弦、直径圆的相关概念：弧、弦、直径v圆上任意两点间的部分叫做圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆弧, ,简称

2、简称弧弧. .v直径直径将圆分成两部分将圆分成两部分, ,每一部分都叫每一部分都叫做半圆做半圆( (如圆弧如圆弧ABC).ABC).连接圆上任意两点间的线段叫做连接圆上任意两点间的线段叫做弦弦( (如弦如弦AB).AB).O经过圆心的弦叫做经过圆心的弦叫做直径直径( (如直径如直径AC).AC).直径是圆中直径是圆中最大的弦。最大的弦。ABAB以以A,BA,B两点为端点的两点为端点的弧弧. .记作记作 , ,读作读作“弧弧AB”.AB”.AB 小于半圆的弧叫做小于半圆的弧叫做劣弧劣弧, ,如记作如记作 ABCABD大于半圆的弧叫做大于半圆的弧叫做优弧优弧, ,如记作如记作 D直径是弦，但弦不一

3、定是直径；直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧半圆既不是劣弧，也不是优弧 注意：注意：问题问题1 1： 垂直于弦的直径垂直于弦的直径有什么特点？有什么特点？ 如图如图ABAB是是OO的一条弦的一条弦. .作直径作直径CDCD，使，使CDABCDAB垂足垂足M.M.(2)(2)你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系? ?说说你的理由说说你的理由. .O(1)(1)下下图是轴对称图形吗图是轴对称图形吗? ?如果是如果是, ,其对称轴是什么其对称轴是什么? ?ABCDM小明发现小明发现AM=BM,AC=BC,AD

4、=BDAM=BM,AC=BC,AD=BD。他是这样想的：。他是这样想的： 连接连接OA,OB,OA,OB, 则则OA=OB.OA=OB.在在RtOAM和和RtOBM中中, OA=OB，OM=OMRtOAM RtOBM. AM=BM.点点A A和点和点B B关于关于CDCD对称对称. .O O关于直径关于直径CDCD对称对称, ,当圆沿着直径当圆沿着直径CDCD对折时对折时, ,点点A A与点与点B B重合重合, ,ACAC和和BCBC重合重合, ,ADAD和和BDBD重合重合. . AC =BC,AD =BD.定理定理 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦, ,并且平分弦所并且平分

5、弦所对的两条弧对的两条弧. .垂径定理垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦, ,并且平分弦所并且平分弦所对的两条弧对的两条弧. .OABCDMCDAB,CDAB,如图如图 CDCD是直径是直径, ,AM=BM,AM=BM, AC = BC,AC = BC, AD = BD.AD = BD. 可以是直径，也可以是可以是直径，也可以是 半径，还可以是过圆心的半径，还可以是过圆心的 直直线或线段。线或线段。问题问题2 2 平分弦的直径平分弦的直径有什么特点？有什么特点？ABAB是是OO的弦（不是直径的弦（不是直径),),作一条平分作一条平分ABAB的直径的直径CD,CD,交交AB

6、AB于点于点M.M. .（2 2）你能发现图中有哪些等量关系）你能发现图中有哪些等量关系? ?说说你的理由说说你的理由. .O（1 1）下）下图是轴对称图形吗图是轴对称图形吗? ?若是若是, ,对称轴是什么对称轴是什么? ?CD MAB平分弦平分弦 的直径垂直于弦的直径垂直于弦, ,并且平分弦并且平分弦所对的两条弧所对的两条弧. .（不是直径）（不是直径）连接连接OA,OB,OA,OB,在在OAM和和OBM中中,OA=OB,OM=OM,AM=BMOAM OBM(SSS).AMO=BMO=900.点点A A和点和点B B关于直径关于直径CDCD对称对称. .当圆沿着直径当圆沿着直径CDCD对折时

7、对折时, ,点点A A与点与点B B重合重合, ,ACAC和和BCBC重合重合, ,ADAD和和BDBD重合重合. . AC =BC,AD =BD.垂径定理的推论垂径定理的推论 如果圆的两条弦互相平行如果圆的两条弦互相平行, ,那么这两条弦所夹的弧那么这两条弦所夹的弧相等吗相等吗? ?提示提示: :这两条弦在圆中位置有两种情况这两条弦在圆中位置有两种情况: :OABCD1.1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧垂径定理推论垂径定理推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等. .MN作直径作直径MNMN，且，且MNABMNA

8、BAM=BMAM=BM 又又ABCD, MNCDABCD, MNCD CM=DMCM=DMAC=BDAC=BD AM-CM=BM-DMAM-CM=BM-DM 圆弧加减圆弧加减解这个方程，解这个方程，得得R=545.21例例1 1、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即弧弧CD,CD,点点0 0是弧是弧CDCD的圆心），其中的圆心），其中CD=600mCD=600m，E E为弧为弧CDCD上的一点，且上的一点，且OEOE垂直于垂直于CDCD，垂足为，垂足为F F，EF=90m.EF=90m.求这段弯路的半径。求这段弯路的半径。EODCF21解：连接解：连接OC

9、OC， 设弯路的半径为设弯路的半径为Rm,Rm,则则OF=(R-90)mOF=(R-90)m。 OE CDCF= CD= x600=300(m).CF= CD= x600=300(m).由勾股定理得由勾股定理得 OCOC=CF=CF +OF +OF即即 R=300+(R-90).答：这段弯路的半径为答：这段弯路的半径为545m545m我来判：我来判： 1 1、判断：、判断：垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦, ,并且平分弦所并且平分弦所对的两条弧对的两条弧. . （ ）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧弦所对的另一条弧. .（

10、 ） 经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦. .（ ） （4 4）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弧. .（ ） 2.2.如图为一圆弧形拱桥，它的跨度（即弧如图为一圆弧形拱桥，它的跨度（即弧所对的弦长）为所对的弦长）为37.4m37.4m，拱高，拱高( (即弧的中点即弧的中点到弦的距离到弦的距离) )为为7.2m7.2m，求桥拱所在圆的半径。，求桥拱所在圆的半径。 AODC解：连接解：连接AB,AB,作作COAB,COAB,交交ABAB于点于点C,C,交交ABAB于点于点D.D.连接连接OA,OBOA,OBBOCAB,OCAB,A

11、D= AB= AD= AB= 37.4=18.737.4=18.72121在在RtRtODAODA中，中，OD=R-7.2OD=R-7.2，OA=ROA=R，AD=18.7AD=18.7R R2 2=(R-7.2)=(R-7.2)2 2+18.7+18.72 2R27.9mR27.9m答：桥拱所在圆的半径是答：桥拱所在圆的半径是27.9m27.9m2 2、如图在、如图在O O中，中，ABAB为为O O的弦，的弦，C C、D D是直线是直线ABAB上两点，且上两点，且ACACBD.BD.求证：求证：OCDOCD为等腰三角形。为等腰三角形。ABCDOE挑战自我挑战自我3 3、如图、如图OO中，中，

12、ABAB为弦，为弦，C C为弧为弧ABAB的中点，的中点，OCOC交交ABAB于于D, AB=6cm,CD=1cm.D, AB=6cm,CD=1cm.求求OO的半径的半径OA.OA.DOABC解：解：C C为弧为弧ABAB的中点，的中点，OCAB,AD= AB= OCAB,AD= AB= 6=3cm6=3cm2121在在RtRtAODAOD中，中，AD=3AD=3，OD=R-1OD=R-1，OA=ROA=R由勾股定理得：由勾股定理得：R R2 2-(R-1)-(R-1)2 2=3=32 2解之得：解之得：R=5R=5答：答：O O的半径为的半径为5cm5cm4.4.如图如图, ,圆圆O O与矩

13、形与矩形ABCDABCD交于交于E E、F F、G G、H,EF=10,HG=6,AH=4.H,EF=10,HG=6,AH=4.求求BEBE的长的长. .ABCD0EFGH解：过点解：过点O O作作OMAD,OMAD,交交BCBC于于N.N.M MN NHM=MG= HG= HM=MG= HG= 6=36=321212121同理同理 EN=NF= EF= EN=NF= EF= 10=510=5又又AH=4AH=4在矩形在矩形ABNMABNM中，中，BN=AM=AH+HM=7BN=AM=AH+HM=7BE=BN-EN=7-5=2BE=BN-EN=7-5=2ODCBAM垂直于垂直于并且平分弦所对的弧并且平分弦所对的弧 弦弦的直径的直径在在O O中，直径中，直径CDCD弦弦AB AM = BM = AB 21AC = BCAD = BDODCBAM在在 O中，直径中，直径CD平分弦平分弦AB CDABAC = BCAD = BD并