数学建模-第一节

1、 从模型角度看数学从模型角度看数学方程是表现等量关系的数学模型方程是表现等量关系的数学模型 1013x “1”是最简单的数学模型。是最简单的数学模型。 “点点”、“面面”、“线线”都是抽象的模型，几何学可以都是抽象的模型，几何学可以说是研究模型的科学。说是研究模型的科学。 数学数学的发展过程，就是不断地构建新的模型、完善模型的发展过程，就是不断地构建新的模型、完善模型和从低层次模型过渡到高层次模型的过程。和从低层次模型过渡到高层次模型的过程。至少可以说，数学是一门与抽象模型密切相关的科学。至少可以说，数学是一门与抽象模型密切相关的科学。 当今和未来的很多数学研究，其对象或许是建立在已当今和未来

2、的很多数学研究，其对象或许是建立在已有数学模型基础之上的更加抽象化的模型。有数学模型基础之上的更加抽象化的模型。从从实际问题到数学模型实际问题到数学模型 军队作战室中的沙盘、建筑开发商售楼的立体广军队作战室中的沙盘、建筑开发商售楼的立体广告，还有航空模型等等。告，还有航空模型等等。要是忽略和淡化应用的背景，所遇到的问题就转化成了公式、图要是忽略和淡化应用的背景，所遇到的问题就转化成了公式、图表、方程组等等，这样就得到了与实际问题相对应的数学模型。表、方程组等等，这样就得到了与实际问题相对应的数学模型。实质：简化实质：简化和替代和替代初初识数学模型识数学模型 象棋和军棋是从战争简化而来的，下棋过

3、程可以理解象棋和军棋是从战争简化而来的，下棋过程可以理解为为 战争战争的模型。的模型。 社会的经济增长率、人口增长预测对应着公式和图表社会的经济增长率、人口增长预测对应着公式和图表 。 数学模型只是事物本质属性的某种替代品。数学模型只是事物本质属性的某种替代品。天气天气有冷有热，物体可重可轻。创造了温度计和秤，有冷有热，物体可重可轻。创造了温度计和秤，冷热就有了度数，物体就有了重量。冷热就有了度数，物体就有了重量。有了度量标准，各方面因素都可以赋予一定的量值。有了度量标准，各方面因素都可以赋予一定的量值。 （以数学的抽象方式来体现事物规律的替代品）（以数学的抽象方式来体现事物规律的替代品） “

4、2+1”是数学模型不同的问题可能得到是数学模型不同的问题可能得到相同的数学模型相同的数学模型 数是抽象模型数是抽象模型两两道算术题道算术题 设水池的总容量为设水池的总容量为1。两台抽水机同时工作所需要时。两台抽水机同时工作所需要时间为间为 例例1 两台不同功率的抽水机向一个大水池中注水。如两台不同功率的抽水机向一个大水池中注水。如果第一台抽水机单独工作，果第一台抽水机单独工作，4小时可以将水池注满；如小时可以将水池注满；如果第二台抽水机单独工作，果第二台抽水机单独工作，6小时可以将水池注满。现小时可以将水池注满。现在由两台抽水机同时工作，需要多长时间注满水池？在由两台抽水机同时工作，需要多长时

5、间注满水池？4 . 261411（小时）（小时） 例例2 大孩和小孩带着一条狗在马路上奔跑。大孩和小孩带着一条狗在马路上奔跑。初始时刻小孩在大孩和狗的前面初始时刻小孩在大孩和狗的前面100米，米，小孩以每分钟小孩以每分钟20米的速度向前跑，大孩以米的速度向前跑，大孩以每分钟每分钟30米的速度追赶小孩，狗的速度是米的速度追赶小孩，狗的速度是每分钟每分钟50米。狗和大孩同时开始追赶小孩，米。狗和大孩同时开始追赶小孩，它追上小孩后立即折回跑向大孩，与大孩它追上小孩后立即折回跑向大孩，与大孩子相遇后返身继续追小孩，子相遇后返身继续追小孩，。从大孩子。从大孩子开始追小孩到追上小孩的这段时间内，狗开始追小

6、孩到追上小孩的这段时间内，狗一共跑了多少路程？一共跑了多少路程？500203010050（米）（米） 例例1 孙子算经孙子算经中记载了这样的一个问题：中记载了这样的一个问题：“今有雏兔同笼，今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”几几个历史性问题个历史性问题如果考虑如果考虑“独脚鸡独脚鸡”和和“双脚兔双脚兔”的话，脚就由的话，脚就由94只变成了只变成了47只。只。 丢丢番图问题番图问题 每只每只“鸡鸡”的头数与脚数之比变为的头数与脚数之比变为1：1，每只每只“兔兔”的头数与脚数之比变为的头数与脚数之比变为1：2。 “独脚鸡独脚鸡”和和

7、“双脚兔双脚兔”的脚的数量与他们的头的数量之差的脚的数量与他们的头的数量之差， 就是就是兔兔子的只数子的只数 123547鸡的数量就是鸡的数量就是231235（只）。（只）。 （只）；（只）； 例例3 华裔科学家李政道在中国科技大学少年班提出华裔科学家李政道在中国科技大学少年班提出 “五猴分桃五猴分桃”的问题。的问题。 五只猴子分一大堆桃。第一只猴子单独来了，它发现桃子的总五只猴子分一大堆桃。第一只猴子单独来了，它发现桃子的总数比数比5的某个倍数多的某个倍数多1，于是它吃了一个桃子然后拿走了总数的五，于是它吃了一个桃子然后拿走了总数的五分之一；第二只猴子来了，误以为自己最先到达，它发现桃子的分

8、之一；第二只猴子来了，误以为自己最先到达，它发现桃子的总数比总数比5的某个倍数多的某个倍数多1，它也吃了一个桃子然后拿走了总数的五，它也吃了一个桃子然后拿走了总数的五分之一，分之一，最后，第五只猴子发现桃子的总数比，最后，第五只猴子发现桃子的总数比5的某个倍数多的某个倍数多1，它也吃了一个桃子然后拿走了总数的五分之一。试问起初的这，它也吃了一个桃子然后拿走了总数的五分之一。试问起初的这堆桃子至少要有多少个。堆桃子至少要有多少个。设这堆桃子共有设这堆桃子共有 个，第五只猴子离开之后剩下个，第五只猴子离开之后剩下 个桃子。个桃子。第一只猴子连吃带拿，共得到第一只猴子连吃带拿，共得到 个桃子；剩下个

9、桃子；剩下（个）。（个）。 xy151x) 1(54151xxx第二只猴子共得到第二只猴子共得到 个桃子；剩下的个数个桃子；剩下的个数11) 1(5451x2541) 1(54541) 1(545110(54xxx第五只猴子离开之后，剩下桃子数目应该是第五只猴子离开之后，剩下桃子数目应该是1111) 1(5454545454x54545454545423455x4)4(545415415454555xx于是，有于是，有)4(54455xy)4(4)4(555xy，故必有故必有4y是是54的倍数且的倍数且4x是是55的倍数。的倍数。 y最小的可能是最小的可能是5441020，x最小的可能是最小的

10、可能是5543121。 李政道，1926年生于上海，江苏苏州人，哥伦比亚大学全校级教授，美籍华裔物理学家，诺贝尔物理学奖获得者，因在宇称不守恒、李模型、相对论性重离子碰撞（RHIC）物理、和非拓朴孤立子场论等领域的贡献闻名。1957年，他31岁时与杨振宁一起，因发现弱作用中宇称不守恒而获得诺贝尔物理学奖。他们的这项发现，由吴健雄的实验证实。20世纪60年代后期提出了场代数理论。70年代初期研究了CP自发破缺的问题，发现和研究了非拓扑性孤立子，并建立了强子结构的孤立子袋模型理论。李政道和杨振宁是最早 获诺贝尔奖的华人。据据周髀算经周髀算经记载，早在公元前记载，早在公元前1100年，商高就知道：年

11、，商高就知道：勾股定理勾股定理和费尔马大定理和费尔马大定理毕达哥拉斯发现毕达哥拉斯发现“勾三股四弦五勾三股四弦五”已经是已经是500年以后的事情了。年以后的事情了。 “勾广三，股修四，径隅五勾广三，股修四，径隅五”。 222543222caa222cba毕达哥拉斯观察地下铺的方砖毕达哥拉斯观察地下铺的方砖 发现发现中间的部分是等腰直角三角形。中间的部分是等腰直角三角形。 他猜测，对于一般的直角三角形他猜测，对于一般的直角三角形 应有应有 是任意正整数）。是任意正整数）。 和和有否还有正整数解呢？有否还有正整数解呢？ 大约在大约在1637年，费马阅读一本名为年，费马阅读一本名为丢番图丢番图的书，

12、其中第二卷第的书，其中第二卷第8个命题说的个命题说的就是就是“把一个平方数分成两个平方数之和把一个平方数分成两个平方数之和”的问题。费马信手在数的空白处下这样的问题。费马信手在数的空白处下这样一段话：一段话：“将一个立方数分成两个立方数、一个将一个立方数分成两个立方数、一个 4 4次方数分成两个次方数分成两个 4 4次方数，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次的幂，这是次方数，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次的幂，这是不可能的。关于此，我确信已经发现了一种美妙的证明，可惜这里不可能的。关于此，我确信已经发现了一种美妙的证明，可惜这里空白的地方太小，写不下。空白的地方太小，写不下。”

13、 nnnzyx222zyx丢番图认真研究后得到了方程丢番图认真研究后得到了方程 的通解的通解uvx222vuy22vuz，（uv，当自然数当自然数2n时，方程时，方程 法国法国17世纪的一位业余数学家费马世纪的一位业余数学家费马断言：当断言：当 2n任何正整数任何正整数zyx,都不能满足这个方程。都不能满足这个方程。这就是著名的这就是著名的费马大定理费马大定理。 直到直到1993年，这一旷世难题被英国数学家安德鲁年，这一旷世难题被英国数学家安德鲁怀尔斯所破解。稍后他在理查怀尔斯所破解。稍后他在理查泰勒的协助下终泰勒的协助下终于完成了全部证明，并因此获得菲尔茨特别奖和于完成了全部证明，并因此获得

14、菲尔茨特别奖和沃尔夫沃尔夫奖。奖。诺贝尔奖中，只设有物理、化学、生物或医学、文学、和平事业5个类别（1968年又增设了经济学奖），而没有数学的份额，使得数学这个重要学科失去了在世界上评价其重大成就和表彰其卓越人物的机会。正是在这种背景下，世界上先后树起了两个国际性的数学大奖：一个是国际数学家联合会主持评定的。在四年召开一次的国际数学家大会上颁发的菲尔兹奖；另一个是由沃尔夫基金会设立的一年一度的沃尔夫数学奖。这两个数学大奖的权威性、国际性，以及所享有的荣誉都不亚于诺贝尔奖，因此被世人誉为“数学中的诺贝尔奖”。菲尔兹奖从1936年起开始颁发，随后成为最著名的世界性数学奖。由于诺贝尔奖没有数学奖，因

15、此也有人将菲尔茨奖誉为数学界的“诺贝尔奖”。第一位获得菲尔兹奖的华人数学家是丘成桐丘成桐（Shing-Tung Yau），原籍广东省蕉岭县，1949年出生于广东汕头，同年随父母移居香港，美籍华人，哈佛大学终身教授，国际知名数学家1500美元的奖金哥尼斯堡哥尼斯堡七桥七桥 1726年，瑞士数学家欧拉（年，瑞士数学家欧拉（17011783）受聘于沙俄科学院，后来出任）受聘于沙俄科学院，后来出任数学部主任。数学部主任。1736年秋天，欧拉收到来自东普鲁士首都哥尼斯堡（今属奥年秋天，欧拉收到来自东普鲁士首都哥尼斯堡（今属奥地利）的一封信，哥尼斯堡大学的学生在来信中向他请教的是下面一个问地利）的一封信，

16、哥尼斯堡大学的学生在来信中向他请教的是下面一个问题。题。 布勒格尔河横穿市区，哥尼斯堡大学的校园就坐落于新旧河道交汇处。布勒格尔河横穿市区，哥尼斯堡大学的校园就坐落于新旧河道交汇处。校园附近有一个小岛，七座小桥分别连通着河岸、小岛和半岛。傍晚前后，校园附近有一个小岛，七座小桥分别连通着河岸、小岛和半岛。傍晚前后，学生们三三两两地散步于小岛上与河岸边。学生们三三两两地散步于小岛上与河岸边。 有人突发奇想，能不能在一个晚上走遍这七座桥而每座桥又都只通有人突发奇想，能不能在一个晚上走遍这七座桥而每座桥又都只通过一次呢？过一次呢？店主桥店主桥铁匠桥铁匠桥木桥木桥绿桥绿桥“馋嘴馋嘴”吉布莱茨桥吉布莱茨桥

17、高桥高桥蜜桥蜜桥内福夫岛内福夫岛普雷盖尔河普雷盖尔河新河道新河道旧河道旧河道 哥尼斯堡是条顿骑士在1380年建立的，作为日耳曼势力最东端的前哨达四百年之久。第二次世界大战以后，他被更名为加里宁格勒，成为前苏联最大的海军基地。今天，哥尼斯堡位于立陶宛与波兰之间，加里宁格勒现仍属俄罗斯。 CDBA 欧拉在草纸上勾画出示意图。在欧拉在草纸上勾画出示意图。在他看来，问题是否有可行的方案，他看来，问题是否有可行的方案，与岛、半岛的与岛、半岛的大小无关，也与河岸上桥大小无关，也与河岸上桥头的间隔及小桥的长度无关。因而不妨头的间隔及小桥的长度无关。因而不妨将半岛、两侧河岸和小岛都缩为一点，将半岛、两侧河岸和

18、小岛都缩为一点，将各个小桥代之以线。将各个小桥代之以线。 现在的问题是，能否用一只铅笔从现在的问题是，能否用一只铅笔从“结点结点”A、B、C、D之中的某一点开始，不抬笔地连续描完每一条线之中的某一点开始，不抬笔地连续描完每一条线而不出现线路重复呢？而不出现线路重复呢？ 类似这样的问题，后来被统称为类似这样的问题，后来被统称为“一笔画一笔画”问题。问题。 欧拉认为，如果一个图能一笔画成，那么一定有一个起点开始画，也有一个终点。图上其它的点是“过路点”画的时候要经过它。“过路点”有什么特点呢？它应该是“有进有出”的点，有一条边进这点，那么就要有一条边出这点，不可能是有进无出或有出无进。如果只进无出

19、，它就是终点；如果有出无进，它就是起点。因此，在“过路点”进出的边总数应该是偶数，即“过路点”是偶点。如果起点和终点是同一点，那么它也是属于“有进有出”的点，因此必须是偶点，这样图上全体点都是偶点。如果起点和终点不是同一点，那么它们必须是奇点，因此这个图最多只能有二个奇点。把上面所说的归纳起来，说简单点就是：能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点。另一类是只有二个奇点的图形。现在对照七桥问题的图，我们回过头来看看图3，A、B、C、D四点都连着三条边，是奇数边，并且共有四个，所以这个图肯定不能一笔画成。 假定某海滩沿海岸线均匀分布着很多日光浴者。有两个出售假定某海滩沿海岸线均匀分布着很多

20、日光浴者。有两个出售同种饮料的商贩来海滩设摊位，试问如何设位？同种饮料的商贩来海滩设摊位，试问如何设位？ 显然，在显然，在01414321412143 不难预见，绿色摊位也愿意左移。不难预见，绿色摊位也愿意左移。处各设一个摊位最合理。处各设一个摊位最合理。和和但是，红色的摊位如果向右移一点的话，情况如何？但是，红色的摊位如果向右移一点的话，情况如何？ 如果它们都在如果它们都在 附近的位置的话，哪个摊位还会有偏移的附近的位置的话，哪个摊位还会有偏移的打算呢？打算呢？纳纳什均衡什均衡一一. 海滩占位海滩占位 约翰纳什，生于1928年6月13日。著名经济学家、博弈论创始人、美丽心灵男主角原型。前麻省

21、理工学院助教，后任普林斯顿大学数学系教授，主要研究博弈论、微分几何学和偏微分方程. 由于他与另外两位数学家在非合作博弈的均衡分析理论方面做出了开创性的贡献，对博弈论和经济学产生了重大影响，而获得1994年诺贝尔经济学奖。 当地时间2015年5月23日，约翰纳什夫妇遇车祸，在美国新泽西州逝世。 不投案不投案投案投案不投案不投案100100400投案投案400200200 有互不熟悉的两人在公共有互不熟悉的两人在公共场所斗殴，将接受处罚。场所斗殴，将接受处罚。 若两人均投案，则因在公共场所斗殴各被罚款若两人均投案，则因在公共场所斗殴各被罚款200元；若两人均不投案，元；若两人均不投案，则只能按普通

22、滋事各罚款则只能按普通滋事各罚款100元；要是只有一人投案而另一人拒不承认，仍元；要是只有一人投案而另一人拒不承认，仍可确定为斗殴，投案者免予处罚，不投案者被认定为是主要肇事方被罚款可确定为斗殴，投案者免予处罚，不投案者被认定为是主要肇事方被罚款400元。元。 我们站在甲的角度来看问题，他并不知道乙是否会投案。假若乙不投案，我们站在甲的角度来看问题，他并不知道乙是否会投案。假若乙不投案，甲也不投案将罚款甲也不投案将罚款100元，但若甲选择投案就会免予处罚；假若乙已经投案元，但若甲选择投案就会免予处罚；假若乙已经投案的话，甲不投案将被罚款的话，甲不投案将被罚款400元，投案则只罚款元，投案则只罚

23、款200元。元。 甲甲乙乙二二. 囚徒困惑囚徒困惑 可见，不论乙是否会与警察配合，从甲的实际利益出发，他总会投可见，不论乙是否会与警察配合，从甲的实际利益出发，他总会投案的。案的。 出于同样的原因，乙也会选择投案。出于同样的原因，乙也会选择投案。 结果，结果，甲乙二人均被罚款甲乙二人均被罚款200元，虽然他们都知道还有各罚元，虽然他们都知道还有各罚100元的处罚方案，但那样的结果不太可能出现。元的处罚方案，但那样的结果不太可能出现。 即便是重新征求各自的意见，甲和乙都没有即便是重新征求各自的意见，甲和乙都没有改变态度的愿望。改变态度的愿望。这一结果的出现，被称为这一结果的出现，被称为纳什均衡纳

24、什均衡。 约翰约翰F.Nash(纳什纳什)是著名的美国数学家，是著名的美国数学家，1928年生，年生，1950年获普林斯顿大学博士学位年获普林斯顿大学博士学位1994年获诺贝尔经济学奖。年获诺贝尔经济学奖。纳什均衡是他最具代表性的学术成果。纳什均衡是他最具代表性的学术成果。 海盗海盗分金分金 假定这五个海盗都是高智商且极其贪财的。试问海盗假定这五个海盗都是高智商且极其贪财的。试问海盗1会制定出会制定出怎样的分赃方案，以使自己免于葬身鱼腹。怎样的分赃方案，以使自己免于葬身鱼腹。 5名海盗抢到了名海盗抢到了100块金币（大小完全相同），他们准备采用以块金币（大小完全相同），他们准备采用以下的方法分

25、赃。下的方法分赃。 抽签为每人确定抽签为每人确定1、2、3、4、5这五个不同的序号，先由抽到这五个不同的序号，先由抽到1的的人提出自己的分赃方案，如果他的方案被超过一半人赞同，那么人提出自己的分赃方案，如果他的方案被超过一半人赞同，那么就按照他的意见分赃；但是如果他的意见没有得到过半数人赞同就按照他的意见分赃；但是如果他的意见没有得到过半数人赞同的话，他将被扔进大海去喂鲨鱼。的话，他将被扔进大海去喂鲨鱼。 当海盗当海盗1被投入大海之后，由序号是被投入大海之后，由序号是2的人重新制定分赃方案。如的人重新制定分赃方案。如果海盗果海盗2的方案在现有海盗中超过半数同意便执行，否则也将海盗的方案在现有海盗中超过半数同意便执行，否则也将海盗2投入大海。依次类推。投入大海。依次类推。 如果船上只剩下了海盗如果船上只剩下了海盗4和海盗和海盗5两个人的话，根据规则两个人的话，根据规则4号海盗只号海盗只能提出能提出0:100 的分赃方案，的分赃方案，5号独