校本教案一、二：数学史课件：中国数学历史发展概况

1、 社会历史背景条件 相对封闭的疆域 大河背景下的农耕文化 集中的王权 中国数学的特点 形成了以计算为核心的算法理论 具有浓郁应用色彩 中国数学的成就 第一部数学著作九章算术（大约公元前二百年左右） 公元3世纪至13世纪，创造了许多领先于其它民族的众多数学成果,形成国家数学教育的体制 2.1周易周易与中国传统数学与中国传统数学 周易周易是我国古代专讲卜筮的书，约成书于殷商时期是我国古代专讲卜筮的书，约成书于殷商时期 , ,在古代在古代中国众多的儒、道典籍中，中国众多的儒、道典籍中，周易周易是包含数学内容最丰富的著作。是包含数学内容最丰富的著作。 “ “卜卜”是使用一定的工具弄出来、以决定事情吉凶

2、的兆象。中是使用一定的工具弄出来、以决定事情吉凶的兆象。中国人常用龟甲和兽骨为国人常用龟甲和兽骨为占卜工具。占卜工具。“筮筮”是按一定规则得到特定的数是按一定规则得到特定的数字，并用它来预测事情的吉凶字，并用它来预测事情的吉凶 , , “筮筮”字由字由“竹竹”字和字和“巫巫”字构成。字构成。后来改用蓍草后来改用蓍草,“,“天子之蓍九尺，诸侯七尺，大夫五尺，士三尺。天子之蓍九尺，诸侯七尺，大夫五尺，士三尺。” 周易周易由由易经易经和和易传易传两部分组成两部分组成。自汉代开始，许多自汉代开始，许多算学家都热衷于将算法与算学家都热衷于将算法与周易周易相联系。刘徽在相联系。刘徽在九章算术注九章算术注的

3、的序中就写道：序中就写道：“昔在包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情。昔在包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情。作九九之术，以合六爻之变。作九九之术，以合六爻之变。” 易经易经中利用爻卦的变化预测吉凶，分别用中利用爻卦的变化预测吉凶，分别用“”与与“”表示阳表示阳爻和阴爻爻和阴爻 。构成构成八卦、六十四别卦八卦、六十四别卦 研究认为，研究认为，周易周易中爻的符号中爻的符号“”、“”是由数字或数表演进而是由数字或数表演进而来的。理由是：来的。理由是： 其一，卦辞中，当对卦画进行解释时，总是用数其一，卦辞中，当对卦画进行解释时，总是用数“九九”和和“六六”分别分别表示阳爻和阴爻。表示阳

4、爻和阴爻。 其二，考古发现商代甲骨文或陶器上有不少由六组数（每组三个数字）其二，考古发现商代甲骨文或陶器上有不少由六组数（每组三个数字）组成的数表组成的数表 ，所用的数字逐渐增加一、六的使用频率，别的数字似乎有不用所用的数字逐渐增加一、六的使用频率，别的数字似乎有不用的趋势。大约在周初（约公元前的趋势。大约在周初（约公元前10661066），就只有一和六这两个数字了。），就只有一和六这两个数字了。 学者认为：用数字表示占卜的结果，数学者认为：用数字表示占卜的结果，数“一一”表示奇数，读数九的音；表示奇数，读数九的音；数数“六六”仍读六，表示偶数。由于古代六字的符号是仍读六，表示偶数。由于古代六

5、字的符号是“”，这样数，这样数“一一”与与“”就具有爻的形象了。以后就具有爻的形象了。以后“”字形逐渐变平，最后一分为二，成字形逐渐变平，最后一分为二，成为阴爻为阴爻“”的表示形式。的表示形式。 2.1.1 2.1.1 从数从数( (表表) )演进为爻演进为爻 四盘磨卜骨上的字符四盘磨卜骨上的字符 太极八卦图太极八卦图2.1.2 2.1.2 周易周易揲法揲法大衍演算大衍演算 周易中占筮确定取爻的方法称为“揲法”，所谓“一十八变得一卦”。朱熹（11301200）对揲法的解说如下： （1）蓍策总数是50根，去其一（象征太一，即太极），实际用于占算的是49根；（2）把它们任意分成两部分（象征天地“两

6、仪”），从第一部分里取出一根不参与计算，（叫“挂一”，配上“两仪”，象征天地人“三才”）；（3）对于第一部分的蓍策，每4根一组数出，叫“揲四”，（象征春夏秋冬四时）；（4）将所余的“奇数”（为1，2，3，4四数之一）根蓍策，夹在左手指间，（叫“归奇于扐”，象征闰年）；（5）将第二部分蓍策也照（3）、（4）办理。于是两部分“归奇”的蓍数非4即8，加上“挂一”的一根，共5或9根，完成了“第一变”。 将“归奇”的蓍数（5或9根）不用，用余下44或40蓍参与第二变的计算，操作方法仿上述（2）（5），此时“归奇”的蓍数仍然是非4即8。第三变揲法仿第二变，用蓍32或36，或40根，三变后余下蓍策的根数或3

7、6，或32，或28，或24根，均为4的倍数。最后，将第三变的余蓍除以4则得九、八、七、六。并称九为老阳，六为老阴，七为少阳，八为少阴。揲蓍的目的，就是为了取到这四个数中的一个。让阳数对应阴卦，阴数对应阴卦，于是数字变成了爻象。“数学”一词相当于我国古代的“算术” 数学一词，在中国最早出现在12世纪宋代数学家秦九韶的著作中。他指出“物生有象，象生有数，乘除推阐，务究造化之源者，是数学”。 算筹 中国古人称数学为算学 2.1.3 2.1.3 组合数学的思想组合数学的思想洛书与河洛书与河图图宋代的九宫格宋代的九宫格明代的洛书明代的洛书 河图的解释，在历史上有多种说法。其中尚书中解释说：“河图，八卦；

8、伏羲王天下，龙河图，八卦；伏羲王天下，龙马出河，遂则其文以画八卦，谓之河图。马出河，遂则其文以画八卦，谓之河图。” 图中每个阳、阴爻分别代表数9与数6，其中数字的配置依照“九六”说，是一种均衡的数字配置。在八卦中，相对称的卦象，如乾与坤，其象数之和均为45。它与洛书中1至9的数字之和相同 “易有太极，是生两仪，两易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。仪生四象，四象生八卦。” 明代邵雍的易图数学结构 儒家以儒家以“九数九数”为核心，具有鲜明的政治和人文色彩，并以为核心，具有鲜明的政治和人文色彩，并以周易周易象数学宇宙论为哲学依托；墨家则以几何学为核心，具有象数学宇宙论为哲学依托；墨家则以几

9、何学为核心，具有一定的抽象性和思辨性，以一定的抽象性和思辨性，以墨经墨经的逻辑学为其论说的工具。的逻辑学为其论说的工具。 孔子（前孔子（前551551前前479479）的）的“六艺六艺”中的中的“周官九数周官九数”（方田、粟（方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要 ）是）是九章九章算术算术的雏形的雏形 墨子（前墨子（前468468前前376376）的抽象概念和逻辑知识：）的抽象概念和逻辑知识： 三个逻辑方法三个逻辑方法:“:“以名举实，以辞抒意，以说出故。以类取，以名举实，以辞抒意，以说出故。以类取，以类予以类予”，具有比较明确的逻

10、辑思维形式，非常类似演绎数学中的，具有比较明确的逻辑思维形式，非常类似演绎数学中的定义、定理和证明。对几何中的几何形状、几何性质、空间关系提定义、定理和证明。对几何中的几何形状、几何性质、空间关系提出了明确的定义。论述了推理（说）的各种形式。出了明确的定义。论述了推理（说）的各种形式。 惠施（约前惠施（约前370370前前318318）对无穷性质的认识）对无穷性质的认识 ：“一尺之棰，日取一尺之棰，日取其半，万世不竭其半，万世不竭” ” ；“镟矢之疾有不行不止之时镟矢之疾有不行不止之时”。 2.2 2.2 先秦显学中的数学思想先秦显学中的数学思想 公元公元1世纪至世纪至8世纪初，改变了先前只追

11、求算法、不研世纪初，改变了先前只追求算法、不研究算理的学风，开始给出概念的定义，进行推理论证，取究算理的学风，开始给出概念的定义，进行推理论证，取得了许多世界领先的成果，同时涌现出一批杰出数学家得了许多世界领先的成果，同时涌现出一批杰出数学家 2.3.1 2.3.1 刘徽与刘徽与九章算术注九章算术注西汉年间，中国有了专门的数学著作：西汉年间，中国有了专门的数学著作：许商算许商算术术、杜忠算术杜忠算术、算数书算数书和和九章算术九章算术，其，其中前两部著作早已失传。中前两部著作早已失传。 算数书算数书，1984年从湖北张家山古年从湖北张家山古墓中发掘出土的。墓中发掘出土的。据考证，算据考证，算数书

12、数书是公元前是公元前206年前年前179年的一部数学著作，它以实际应用问年的一部数学著作，它以实际应用问题的形式编纂题的形式编纂 。2.3 2.3 中国传统数学理论的研究中国传统数学理论的研究 九章算术九章算术 是中国古代的一本传世数学名著，是中国古代的一本传世数学名著，一直作为中国传统一直作为中国传统数学的代表作，数学的代表作，现在传世的是三国时代刘徽于现在传世的是三国时代刘徽于263263年完成的注释本。年完成的注释本。刘徽布衣出身，生平不详。从他的刘徽布衣出身，生平不详。从他的九章算术注九章算术注自序中可以知道：自序中可以知道：他早年系统地学习过他早年系统地学习过九章算术九章算术，并以，

13、并以“注注”的形式将其研究成果的形式将其研究成果记载下来，完成了记载下来，完成了九章算术注九章算术注。 九章算术九章算术成书的确切起始年代无法确定，只知在汉代就曾经成书的确切起始年代无法确定，只知在汉代就曾经过过北汉平侯北汉平侯张苍（约前张苍（约前200200年）和大司农中丞耿寿昌（约前年）和大司农中丞耿寿昌（约前5050年）的年）的整理。整理。第一章方田（分数四则运算和平面图形求面积）第一章方田（分数四则运算和平面图形求面积）第二章粟米（粮食交易的计算方法）第二章粟米（粮食交易的计算方法）第三章衰分（比例分配）第三章衰分（比例分配）第四章少广（开平方与开立方）第四章少广（开平方与开立方）第五

14、章商功（体积计算）第五章商功（体积计算）第六章均输（运输中的均匀负担）第六章均输（运输中的均匀负担）第七章盈不足（盈亏类问题计算）第七章盈不足（盈亏类问题计算）第八章方程（一次方程组解法与正负数）第八章方程（一次方程组解法与正负数）第九章勾股（勾股定理的应用）第九章勾股（勾股定理的应用）全书的编排方法是：先举出问题，再给出答案，通过对一类问题解全书的编排方法是：先举出问题，再给出答案，通过对一类问题解法的考察，最后给出法的考察，最后给出“术术”。全书共有。全书共有202202个个“术术”。术，是一类问。术，是一类问题的一般算法描述，它是研究中国传统数学成果的主要依据题的一般算法描述，它是研究中

15、国传统数学成果的主要依据 九章算术九章算术是以应用问题集的形式表述，一共收入是以应用问题集的形式表述，一共收入246246个问个问题。题。九章算术九章算术把把246246个问题分为九章：个问题分为九章：明代刊印的九章算术注 九章算术九章算术标志着中国传统标志着中国传统数学的知识体系已初步形成。数学的知识体系已初步形成。代表了中国传统数学体系和思想代表了中国传统数学体系和思想方法的特点：方法的特点：注重实际问题的数注重实际问题的数值计算方法，缺少抽象的理论和值计算方法，缺少抽象的理论和逻辑系统性，使用算筹，形成世逻辑系统性，使用算筹，形成世界上独有的计算工具和程序化计界上独有的计算工具和程序化计

16、算方法算方法九章算术九章算术的内容是由周代的的内容是由周代的“九九数数”发展而来的。发展而来的。刘徽称：刘徽称：“周公制周公制礼而有九数，九数之流则礼而有九数，九数之流则九章九章是是矣矣”。九章算术注九章算术注对数学方法的贡献对数学方法的贡献开始了其独特的推理论证的尝试。开始了其独特的推理论证的尝试。 “ “析理以辞，解析理以辞，解体用图。体用图。” ” 创立了创立了“出入相补出入相补”的方法，提出了的方法，提出了“割圆割圆术术”，上首次将极限概念用于近似计算；引入十进制小，上首次将极限概念用于近似计算；引入十进制小数的记法和负整数的知识；他试图建立球体积公式，虽数的记法和负整数的知识；他试图

17、建立球体积公式，虽然没有成功，但为后人提供了科学的方法；他对勾股测然没有成功，但为后人提供了科学的方法；他对勾股测量问题的深入研究，在几何研究中，从少数几个原理出量问题的深入研究，在几何研究中，从少数几个原理出发，运用逻辑手段推导出结果的方法发，运用逻辑手段推导出结果的方法 。提出。提出“审辨名审辨名分分”，不但对自己提出的每一个新概念都给出界定，不但对自己提出的每一个新概念都给出界定九九章算术注章算术注丰富了丰富了九章算术九章算术的数学成果，主要表现的数学成果，主要表现在算术、代数和几何诸方面。在算术、代数和几何诸方面。 诸如，诸如，割圆术与徽率割圆术与徽率“割割之弥细，所失弥少，割之又割，

18、以至于不可割，则与圆之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。合体而无所失矣。” 设圆面积为设圆面积为S S0 0、半径为、半径为 r r、圆内接正圆内接正n n边形边长为边形边长为 l ln n 、周长为周长为 L Ln n、面积为、面积为 S Sn n 。将。将边数加倍后边数加倍后, ,得到圆内接正得到圆内接正2 2n n边形，其边长、周长、面边形，其边长、周长、面积分别记为积分别记为 l l2n 2n , L, L2n 2n , S , S 2n 2n 。刘徽首先指出，由刘徽首先指出，由 l ln n 及勾及勾股定理可求出股定理可求出 l l2n2n 其次知道了圆内

19、接正其次知道了圆内接正n n 边形的周长边形的周长 L Ln n，又可求得正，又可求得正2 2n n边形边形的面积，如果在圆内接的面积，如果在圆内接n n边形的每边上作一高为边形的每边上作一高为CDCD的矩形，就可以的矩形，就可以证明刘徽不等式：证明刘徽不等式：S S2 2n n S S0 0 S S2 2n n + ( + ( S S2 2n nS Sn n ).).割圆术的基本原理割圆术的基本原理 从圆内接正六边形出发，取半径从圆内接正六边形出发，取半径r为为1尺，一直计算到尺，一直计算到192边形，得出圆周边形，得出圆周率的近似值率的近似值3.14，化成分数为，化成分数为157/50，这

20、就是有名的，这就是有名的“徽率徽率”2.3.2 2.3.2 祖率与祖暅原理祖率与祖暅原理 祖冲之（祖冲之（429500429500） 与祖率与祖率 据随书律历志记载，祖冲之求得的值的取值范围为3.141592 3.1415927 .（并称为朒、盈数） 如果利用刘徽的割圆术得到上述结果，需要从正六边形起，连续的倍增正多边形的边数，至24576边形 用水平截面去截球和“牟合方盖”，可知截面的面积之比恒为：4，于是由刘徽原理立即得到V V球球: :V V牟牟=：4 4即即 V V球球= = （/4/4） V V牟牟。祖暅原理祖暅原理（幂势既同，则积不容异）与球体积公式与球体积公式刘徽原理与“牟合方盖

21、” “小方盖差小方盖差” ” 与球体积公式与球体积公式 左图，小牟合方盖中，PQ是小牟合方盖被水平截平面得到正方形的一边，设为a，UQ是球半径r，UP是高h。根据勾股定理得a2 = r2 h2;这正是截平面PQRS的面积 中图，小方盖差在等高处的截面面积等于r2 a2 =h2， 右图，底边为r，高也是r的倒正四棱锥，在等高处的截面面积也是h2 根据祖暅原理可知：小方盖差和倒立正四棱锥的体积相等。小方盖差和倒立正四棱锥的体积相等。 内插法内插法：已知 f ( x ) 在 xi a,b（i=1,2,n）的值为 ，那么通过 及适当公式，计算y = f ( x ) 在 a,b内其他一些点的函数值。如果

22、xi + 1 xi为定数，这时的内插法称为等间距内插法；反之，称为不等间距内插法。 )(ixf)(ixf 历法编制中的内插法历法编制中的内插法 最早求影长的一次内插公式（约公元前2世纪 ）： f (n)=f (a) + n，其中， f (n)是夏至之后的第个节气的影长，。分)(6199)()(121afbff (a) = 160分，f (b) = 1350分分别是夏至、冬至的中午八尺杆子的影长，2.3.3 2.3.3 内插法与天文历法内插法与天文历法乾象历（206年），已发现了月亮不均匀运动及其规律。公元570年，北齐朝的天文学家张子信发现：自春分到秋分所需的时间要比秋分到春分的时间长，进而证

23、明了太阳“视运动”的速度是不均匀的隋朝刘焯（544610）的皇极历提出了等间距二次内插法公式：f (nl + s) = f ( nl ) + + (12) (12)张遂(683727) 的大衍历创造了不等间距二次内插法公式： f (t + s) = f ( t ) + s +s 其中，l1、l2分别为不同节气的时间长度，张遂假定它们不相等 ls221 ls222ls2121ll 2211ll2211212lllls“算经十书”记载的中国传统数学成就周髀算经（约公元前240年至公元前156年）与商高（陈子）定理 “周髀”是测量日影的工具八尺长竿 全书由三部分组成： 第一部分共264个字，记述了周

24、公与大夫商高的问答记录。提到：“勾广三，股修四，径隅五”。说明，周代初期人们已经知道勾股定理的特例：勾三、股四、弦五。 第二部分是荣方与陈子的对话。对话中包含了勾股定理的一般陈述形式：“以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。” 第三部分是讲计算问题的，有“术”13条，书写形式和内容与九章算术基本一致。2.3.4 2.3.4 明算学与明算学与“算经十书算经十书” 隋唐时期的数学教育制度 明算学明算学 “孙子问题”：“今物不知其数，三三除之余二，五五除之余三，七七除之余二，问物几何？” 孙子问题相当于求解一次同余式组 这个问题源于历法编算中的求上元积年问题 其解法写作“孙子歌”

25、：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。. 计算过程为：N=702+213+1522105.显然，这里的70、21、15是求解的关键。其求法： 由题设，用3、5、7分别除以N所得的余数为2、3、2，故用2、3、2分别去乘70、21和15，再相加即得 2332（mod 3）3（mod 5）2（mod 7） 求出这个同余组的最小整数解N=23， 孙子算经（约公元4世纪）与“孙子问题”张邱建算经（约公元五世纪）与“百鸡问题” “今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一。凡百钱，买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何。” 给出三组答案： 张邱建算经的应用领域较九章算术有了新

26、的发展，其主要数学成果包括求最小公倍数，等差数列及不定方程等内容 缉古算经（公元600多年）与“带从开方法” 对当时的土木工程中出现的数学问题的研究和总结，在一些体积计算中隐含了求解三次方程的“带从开方法” 。虽然由于解法过程空缺，因而没能清楚地呈现这一方法的具体操作过程和原理。该书在理论上的贡献是陈述了筹算的运算方法，这在中国数学史上尚属首次。2.4.1 2.4.1 杨辉三角与杨辉三角与增乘开方法增乘开方法 杨辉（约13世纪后期）在详解九章算法中记载了北宋人贾宪的一张“开方作法本源图”（1050）现今称为杨辉三角的 “贾宪三角”。在西方它被又称为帕斯卡三角（1655年）2.4 2.4 中国传

27、统数学发展的顶峰（中国传统数学发展的顶峰（900900年到年到13681368年年 ） 创造出许多具有世界 历史意义的成就 数学家辈出 数学著作涌现 若A开平方的首商、次商分别为a,b,则有A=a2+B=a2+2ab+b2 则B=Aa2=2ab+b2=(2a+b)b 继而用2a+b试除B,且若B(2ab+b2)=0,则开方完成；否 则再继续试第三位商，。 这个方法用于筹算，就形成了增乘开方法，其过程简述如下: 借助贾宪三角，给出一种开高次方的方法：增乘开方法a * a a b* b b商实法A A B=* B B B Bb(2a+b)* a * a* 2a* 2a 2a+b* 2a+b 借算

28、1 1 1 1 1 1 1 将上图转换适当角度，就变为贾宪三角：左边斜行由1组成，称为“积数”，它们是借算；右斜行也都是1，称为偶算，它们是a的各次幂的系数。贾宪利用贾宪三角得到了开高次方的一般方法 增乘开方法，是一个和高度机械化的和非常有效的算法，与现代通用的“霍纳算法”（1819）已基本一致。增乘开方法，可适用于开任意高次方。但贾宪本人没有认识到这一点。另外直到贾宪时，中国数学家们所处理的方程系数都是正数。12世纪北宋学者刘益首先突破了系数必须为正的限制，并且也不再像以往那样要求首项系数为1。“大衍求一术” 为求得满足条件的乘率ki，秦九韶把奇数gi与定数ai辗转相除，相继得商数qi和余数

29、ri，即 a i = q1 gi + r1, 并可得到：c1 = q1 g i = q2r1 + r2, c2 = q2c1+1 r1 = q3r2 + r3, c3 = q3c2+c1 rn-2 = qnrn-1 + rn 秦九韶指出：当rn=1且n为偶数时，则最后所得cn 就是乘率ki；当rn=1，且n为奇数时，可将rn-1与rn相除后，形式上取qn+1=rn-11，那么余数rn+1仍为1，再做cn+1=qn+1cn+cn-1，这时n+1为偶数，则cn+1就是所求ki，总之，当辗转相除得到余数1时，整个计算结束 2.4.2 2.4.2 秦九韶与中国剩余定理秦九韶与中国剩余定理秦九韶（120

30、21261）与数书九章 高次方程数值解法“正负开方术”（开10次方的问题） 一次同余组解法“大衍总数术”（“衍”同“演” ） 元代初期，开始用文字表示方程中的未知量，并形成了相应的算法天元术（李冶 ）与四元术（朱世杰 ）高阶等差级数和公式沈括（约10311095）“隙积术”与二阶等差数列求和公式 数列：22，32，42，52，62，（1）该数列相邻项之差依次为 5，7，9，11 ， （2）显然（2）是一个公差为2的等差数列。今天（1）式被称为一个二阶等差数列 杨辉的“垛积术”与“三角垛公式”：2.4.3 2.4.3 方程与级数的研究方程与级数的研究 廉数是斜行上数的和上一斜行各数之和，等于下行短线所指的一个数 左边第二斜行为1，2，3，4，5，6，7，8 ，是公差为1一阶等差数列，它的前n项和（“茭草垛”公式）左边第三斜行为1，3，6，10，15，21，28，是二