2011届高考数学总复习直通车课-基本初等函数(Ⅱ)

1、第一节第一节 任意角与弧度制及任意角的三角函数任意角与弧度制及任意角的三角函数基础梳理基础梳理1. 弧度制(1)弧AB的长=半径AOB=1弧度. rad=360,1 rad = .(2)扇形半径为r，圆心角的弧度数是,则这个扇形的弧长l=|r,面积S= | ,周长=|r+2r.2. 角的概念的推广(1)任意角的定义角可以看成平面内一条射线 所 成的图形.2r122057 18057.30绕着端点从一个位置旋转到另一个位置第一页，编辑于星期一：八点 四十三分。(2)按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角.(3)当角的顶点与坐标原

2、点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角.(4)所有与角终边相同的角，连同角在内，构成角的集合是|=k360+,kZ.3. 任意角的三角函数设是一个任意角，的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点的距离为r(r= ),那么sin = ，cos = ,tan = (x0).yrxryx22xy第二页，编辑于星期一：八点 四十三分。4. 单位圆与三角函数线用单位圆中的有向线段表示三角函数（如图）.sin = MP,cos = OM,tan = AT.第三页，编辑于星期一：八点 四十三分。典例分析典例分析题型一题型一 象限角问题象限角问题【例1】若是

3、第二象限的角，则 是第几象限的角? 是第几象限的角?2是第几象限的角?235. 三角函数值在各象限的符号 象限函数 符号 sin + + - - cos + - - + tan + - + -第四页，编辑于星期一：八点 四十三分。分析 由于是第二象限的角，可以利用终边相同的角的表达式表示出的范围，进而求得 , ,2的范围，判定其所在的象限.23解 由是第二象限的角得k360+90k360+180（kZ）.(1)k180+45 k180+90（kZ）当k=2n（nZ）时，n360+45 n360+90（nZ）,则 是第一象限角;当k=2n+1（nZ）时，n360+225 n360+270（nZ）

4、,则 是第三象限角.综合、可知， 是第一或第三象限角.222222第五页，编辑于星期一：八点 四十三分。（2） 360+30 360+60（kZ）当k=3n（nZ时）,n360+30 n360+60（nZ）,则 是第一象限角;当k=3n+1（nZ）时，n360+150 n360+180（nZ）,则 是第二象限角；当k=3n+2（nZ）时，n360+270 n360+300（nZ）,则 是第四象限角.综合、可知， 是第一、第二或第四象限角.33333333k3k第六页，编辑于星期一：八点 四十三分。（3）2k360+18022k360+360（kZ）.故2是第三、第四象限角或是终边落在y轴的负半

5、轴上.举一反三举一反三1. 设为第三象限角，试判断 的符号.学后反思 知道所在的象限，则 , ，所在的象限也可由象限等分法得到，下面以 为例说明.如图所示，将每一个象限二等分（若是 则三等分，）从x轴正向起按逆时针方向在各等分区域标上数字1，2，3，4，1，2，3，4；若是第一象限角，则 在标有数字1的区域内;若是第二象限角，则 在标有数字2的区域内，以此类推，则很容易确定 所在的象限.3222232sin2cos2第七页，编辑于星期一：八点 四十三分。解析: 为第三象限角，2k+2k+ (kZ),k+ k+ (kZ).当k=2n(nZ)时，2n+ 2n+ （nZ）,此时 在第二象限，sin

6、0,cos 0, 0；当k=2n+1(nZ)时，(2n+1)+ (2n+1)+ (nZ),即2n+ 2n+ (nZ),此时 在第四象限，sin 0,cos 0, 0.综上可知: 0.3222342234222sin2cos222232742sin2cos2sin2cos22234第八页，编辑于星期一：八点 四十三分。题型二题型二 扇形弧长、面积公式的应用扇形弧长、面积公式的应用【例2】一个扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积.分析 运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性质来解决最值问题.学后反思 求扇形最值的一般方法

7、是根据扇形的面积公式，将其转化为关于半径（或圆心角）的函数表达式，进而求解.除此之外，也可直接设出两个参数，利用基本不等式求最值.解 设扇形的半径为r，则弧长为l=20-2r,于是扇形的面积：S= (20-2r)r=- +25.当r=5时，l=10，= =2(弧度),S取到最大值，此时最大值为25 .故当扇形的圆心角=2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是25 .122(5)r 1052cm2cm第九页，编辑于星期一：八点 四十三分。举一反三举一反三2. 已知一扇形的圆心角是,所在圆的半径为r.（1）若=60，r=10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积;(2)若扇形的周长是一定值C（C

8、 0），当为多少弧度时，该扇形有最大面积？S弓S扇210解析：（1）设弧长为l，弓形面积为 ，=60= ,r=10,l= (cm), = -S= 10- sin =50 ( ).S弓310312103123332（）2cm扇形面积为S扇第十页，编辑于星期一：八点 四十三分。(2)方法一：扇形周长C=2r+l=2r+r,r= , =当且仅当= ,即=2(=-2舍去)时，扇形面积有最大值.方法二：由已知2r+l=C,r= (lC),S= =当l= 时, ,此时=当扇形圆心角为2弧度时，扇形面积有最大值.S扇2Ca2222111(),42222164CCCr4a2Cl2111()2224ClrllC

9、ll 221(),4216CCl2C2max,16CS22.22ClCrC第十一页，编辑于星期一：八点 四十三分。题型三题型三 利用三角函数的定义求三角函数值利用三角函数的定义求三角函数值【例3】(12分)已知角的终边经过点P（-4a,3a）(a0),求sin 、cos 、tan 的值.分析 根据任意角三角函数的定义，应首先求出点P到原点的距离r，由于含有参数a,要注意分类讨论.解 r= =5|a|2若a0，r=5a,角在第二象限，sin = cos = tan = ；.6若a0,r=-5a,角在第四象限，.8sin = ,cos = ,tan = 122243aa33,55yara44,55

10、xara 3344yaxa 354534第十二页，编辑于星期一：八点 四十三分。学后反思 （1）当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论.（2）熟记几组常用的勾股数组，如(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41)等，会给我们解题带来很多方便.（3）若角已经给定，不论点P选择在的终边上的什么位置，角的三角函数值都是确定的；另一方面，如果角终边上一点坐标已经确定，那么根据三角函数定义，角的三角函数值也都是确定的.举一反三举一反三3. 已知角的终边过点P（-4m,3m）(m0),则2sin +cos 的值

11、为( )A. 1或-1 B. 或 C. 1或 D. 25252525第十三页，编辑于星期一：八点 四十三分。解析： 当m0时，点P在第二象限，|OP|=5m,有2sin +cos =当m0时，点P在第四象限，|OP|=-5m,有2sin +cos =642;555mmmm642.555mmmm 答案：B4. 已知锐角终边上一点P的坐标是（2sin 2,-2cos 2），则等于 ( ) A. 2 B. -2 C. 2- D. -2a22第十四页，编辑于星期一：八点 四十三分。题型四题型四 利用三角函数线解三角不等式利用三角函数线解三角不等式【例4】解下列不等式.（1）sin ; (2)cos .

12、3212分析 作出满足sin = 、cos = 的角的终边，然后根据已知条件确定角终边的范围.3212解析：由题意得当 时，所以答案：C2 cos 2tancot 2.2 sin 2 22 tantan(2)cot 2.2 2.2 第十五页，编辑于星期一：八点 四十三分。解 (1)作直线y= 交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域（图1中阴影部分）即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为|2k+ 2k+ ,kZ.(2)作直线x=- 交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域（图2中阴影部分）即为角终边的范围.故满足条件的角集合为|2k+ 2k+ ,kZ.

13、32323122343图1 图2学后反思 对形如f()m或f()m的三角函数，求角的范围的问题可利用三角函数线来求解第十六页，编辑于星期一：八点 四十三分。.举一反三举一反三5. 求下列函数的定义域.（1）y= ; (2)y=lg(3-4 ).2cos1x2sin x解析： (1)2cos x-10,cos x .如图1，在单位圆中，利用三角函数线可求得x的范围为：2k- ,2k+ (kZ).图1 图21233第十七页，编辑于星期一：八点 四十三分。易错警示易错警示（2）3-4 0, ,- sin x ，如图2，由单位圆及三角函数线，得x(k- ,k+ )(kZ).332sin x2sin x

14、323234【例】已知+ ,- ,则2-的取值范围为 .433错解 由 +得0 , 所以- -0，02. 由+得- - , 由+ 得- 2- .2334,3,3 223232第十八页，编辑于星期一：八点 四十三分。错解分析 上述解题过程分别求出、的范围所采用的做法是不等价的，扩大了范围.正解 设2-=A(+)+B(-)(A,B为待定系数)，则2-=(A+B)+(A-B).对应两边系数得 解得所以2-= (+)+ (-).又 (+) ,- (-)- ,所以-2- .2,1,ABAB 1,23,2AB123221223323226第十九页，编辑于星期一：八点 四十三分。考点演练考点演练半径为4的扇

15、形，如果它的周长等于它所在圆的周长的一半，则该扇形的面积为 .解析: 设扇形的圆心角为，则有8+4=4,所以=-2,于是该扇形的面积为 .21428162答案: 8-1611. 已知角的终边在直线y=-3x上,求 的值.310sincos解析： 如图,(1)当角终边在第二象限时,取终边上一点(-1,3)， 此时,x=-1,y=3,r= ，1033 10110sin,cos10101010310sin0cos 第二十页，编辑于星期一：八点 四十三分。（2）当角终边在第四象限时，取点（1，-3），此时x=1, y=-3，r= ,1033 10103sin,cos,10sin01010cos1031

16、0sin0cos 综上，12. 如图,动点P、Q从点A（4，0）出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转 弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转 弧度，求P、Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及点P、Q各自走过的弧长.36解析： 设P、Q第一次相遇时所用的时间是t，则 ，所以t=4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒.设第一次相遇点为C，第一次相遇时点P已运动到终边在 的位置，则 ,236tt4433cos423Cx 第二十一页，编辑于星期一：八点 四十三分。 所以点C的坐标为（-2，-23）,点P走过的弧长为 ，点Q走过的弧长为 .sin42 33Cy 83416433第二十二页，编辑于星期一：八点

17、 四十三分。第二节第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式同角三角函数的基本关系与诱导公式基础梳理基础梳理sintan .cos22sincos1;1. 同角三角函数基本关系式（1）平方关系：(2)商数关系：cot22k 22.诱导公式-cot-tan-tantantantansin-sin-coscos-coscoscoscoscossin-sin-sin sinsin-+ 角 三角函数2.诱导公式cot-cot-tan-tantantantansin-sin-coscos-coscoscoscoscossin-sin-sin sinsin-+ 角 三角函数第二十三页，编辑于星期一：八点 四

18、十三分。即+k2(kZ),-,的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号；的正弦（余弦）函数值，分别等于的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.24. 必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”. 第二十四页，编辑于星期一：八点 四十三分。角030456090120150180270角的弧度数0sin 010-1cos 10-10tan 01不存在0不存在656232343212121212323222332233333232第二十五页，编辑于星期一：八点 四十三分。典例分析典例分析题型一题型一 同角三角函数关系的应用（一）同

19、角三角函数关系的应用（一）【例1】已知cos = ,则sin = ,tan = .817分析 由cos 求sin 时,可利用公式同时要注意象限的划分.22sincos1,解 cos = 0,是第二、三象限的角.若是第二象限角，则sin 0,tan 0,sin = = tan = 若是第三象限角，则sin 0,tan 0,sin =- =- ,tan =81721 cos28151,1717 21 cos1517sin15.cos8sin15;cos8 第二十六页，编辑于星期一：八点 四十三分。举一反三举一反三22sincos1学后反思 (1)掌握常用的勾股数组：（3,4,5）;（5,12,13

20、）;（8,15,17）.(2)要根据问题的需要对公式 进行变形及“1”的代换，即 , , .(3)若已知正弦、余弦或正切中的某一个三角函数值，但没有指定角所在象限，要求另外两个三角函数值时，可按角所在象限分别进行讨论和运算，做到不重不漏.1. 已知 =-1，求下列各式的值.（1）（2）22sincos122cos1 sin 22sin1 cos tantan1sin3cos;sincos2sinsincos2.第二十七页，编辑于星期一：八点 四十三分。题型二题型二 同角三角函数关系的应用（二）同角三角函数关系的应用（二）13sin3costan352.1sincostan1312 解析: 由已

21、知得tan = .(1)(2) 12222222222222sinsincos2sinsincos2 sincos3sinsincos2cos3tantan2sincostan111321322.5112第二十八页，编辑于星期一：八点 四十三分。【例2】已知 .求sin x-cos x的值.1x0,sin xcos x25分析 将已知条件平方得出sin xcos x,再根据sin x-cos x与sin xcos x的关系求解.解 分母切化弦，分子用二倍角的正弦公式化为含单角x的正弦、余弦，代入已知条件求值.由 ,平方，得 ,即 . .又 x0,sin x0,sin x-cos x0,sin

22、x-cos x= .1sin xcos x5221sin2sin xcos xcos x25x242sin xcos x25 249sin xcos x1 2sin xcos x25 257第二十九页，编辑于星期一：八点 四十三分。学后反思 如果已知sin +cos ,sin cos ,sin -cos 中的一个，完全可通过列方程（组）求出另外两个值.这里sin cos 是纽带，它把另外两个联系起来。 举一反三举一反三2. 已知 ,(0,).求值：（1）tan ;(2)sin -cos ;(3)1sincos533sincos解析： ,(0,),平方得，sin cos = 0,cos 0,且s

23、in ,cos 是方程 的两根，解方程得1sincos5122521120525xx124343x,xsin ,cos .5555 ，即第三十页，编辑于星期一：八点 四十三分。 33471 tan; 2 sincos;35373 sincos125 题型三题型三 诱导公式的应用诱导公式的应用【例3】化简：3tancos 2sin()2cossin()分析 化简上式，要认真观察“角”，显然需要利用诱导公式，注意诱导公式的合理选用.解方法一： 原式=( tan) cos() sin2cos()sin( tan) cos() sin2( cos) sin第三十一页，编辑于星期一：八点 四十三分。(

24、tan) cos( cos)( tan) cos( cos) sinsinsincos1cossin 方法二：原式=( tan) cos() sin2cos() sinsintancossincos2cos1( cos) sinsin 学后反思 当角中有 加减某个角时，要考虑用诱导公式进行化简.（1）诱导公式应用原则是：负化正,大化小,化到锐角为终了.3, ,222第三十二页，编辑于星期一：八点 四十三分。（2）2-可以化为+(-),也可以化为2+(-);-可以化为-(+),也可以化为-2+(-).举一反三举一反三3. 已知(1)化简f（）;(2) 若是第三象限角,且 ,求f()的值；（3）若

25、 ,求f()的值. 3sincos 2tan()2fcotsin.31cos()25313 解析： （1） (2) ,且是第三象限角， sin cos cot fcos cot sin 3cos()sin 2 第三十三页，编辑于星期一：八点 四十三分。题型四题型四 三角函数公式在解三角形中的应用三角函数公式在解三角形中的应用【例4】(12分)在ABC中，若sin(2-A)=- sin(-B), cos A=- cos(-B),求ABC的三个内角.232分析 由诱导公式可化简得到sin A= sin B, cos A= cos B,进而由 可求出A，进一步即可求出B和C.23222sincos1

26、AA21122sin,cos16f( )6.5555 ， 31536 233 31315fcoscos6 2 33351coscos.332 第三十四页，编辑于星期一：八点 四十三分。学后反思 在ABC中，A+B+C=,2A+2B+2C=2, sin(A+B)=sin(-C)=sin C,2222ABC解 由已知得sin A= sin B, cos A= cos B,.2两式平方相加得2 =1,cos A= .6若cos A=- ,则cos B=- ,此时，A，B均为钝角，不可能，cos A= ，故A= ,8cos B= cos A= B= ,.10C=-(A+B)= .122322cos A

27、22223222432327126第三十五页，编辑于星期一：八点 四十三分。举一反三举一反三cos(A+B)=cos(-C)=-cos C,tan(A+B)=tan(-C)=-tan C,sin(2A+2B)=sin(2-2C)=-sin 2C,cos(2A+2B)=cos(2-2C)=cos 2C,tan(2A+2B)=tan(2-2C)=-tan 2C,以上结论要牢记，另外要注意“三角形”这一条件的限制作用.sinsincos,22222coscossin,22222tantancot.22222ABCCABCCABCC第三十六页，编辑于星期一：八点 四十三分。4. 在锐角三角形ABC中，

28、求证：sin A+sin B+sin Ccos A+cos B+cos C.易错警示易错警示证明：ABC是锐角三角形，A+B ,即 A -B0,sin Asin( -B),即sin Acos B;同理sin Bcos C，sin Ccos A,sin A+sin B+sin Ccos A+cos B+cos C.2222第三十七页，编辑于星期一：八点 四十三分。【例】已知直线l的倾斜角是，且sin = ,则直线l的斜率k等于 .513错解 因为直线l的倾斜角是,又因为sin = , ，所以cos = 于是l的斜率k= 51322sincos1225121 sin1.1313sin5.cos12

29、错解分析 在解答本题时，考生很容易因忽视倾斜角的取值范围，不注意对进行分类讨论，而只得到k= 的错误结果.因此在解决此类问题时，一定要养成全面考虑、分析问题的习惯.512正解 因为直线l的倾斜角是，所以0,).又因为sin= , ,所以cos = 于是l的斜率k=51322sincos125121,1313 sin5.cos12 第三十八页，编辑于星期一：八点 四十三分。10. 下列三角函数中，与sin 数值相同的是 .4sin(n),nZ ;cos 2nnZ ;36sin(2n),nZ ;3cos2n1nZ ;6sin2n1,nZ .3)，（）3解析: 原式= ,则不是；由诱导公式可求得与s

30、in 数值相同的是. sinn43sin(n)3sinn,3偶，不是；奇为数则为数cos()cos66 3第三十九页，编辑于星期一：八点 四十三分。答案: 11. 若sin(-)=2cos(2-),求 的值.sin5cos 23cossin解析： 由sin(-)=2cos(2-)得-sin =2cos ,即tan =-2.所以原式=sin 5cos tan 53.3cos sin 3 tan 5 第四十页，编辑于星期一：八点 四十三分。12. 在ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，tan C= .(1)求cos C; (2)若 且a+b=9,求c.3 75,2CB CA 解析：(1)

31、tan C= ,又 ,解得cos C= .tan C0,C是锐角，cos C= .(2) abcosC= ,ab=20.又a+b=9, =81， =41， -2abcos C=36,c=6. 3 7sin3 7.cosCC22sincos1CC18185,2CB CA 52222aabb22ab222cab第四十一页，编辑于星期一：八点 四十三分。基础梳理基础梳理第三节第三节 两角和与差的正弦、余弦及正切公式两角和与差的正弦、余弦及正切公式1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 :cos(-)=cos cos +sin sin ; :cos(+)=cos cos -sin sin ; :sin

32、(+)=sin cos +cos sin ; :sin(-)=sin cos -cos sin ; :tan(+)= :tan(-)=C TS T SCtantan;1tantantantan.1tantan第四十二页，编辑于星期一：八点 四十三分。2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 :sin 2=2sin cos ; :cos 2= :tan =3. 形如asin +bcos 的代数式的化简asin +bcos = sin(+).其中cos = ,sin = ,tan = ,的终边所在象限由a、b的值来确定.2S2T2C2222cossin2cos11 2sin; 22tan.1tan22a

33、b22aab22babba第四十三页，编辑于星期一：八点 四十三分。典例分析典例分析题型一题型一 化简求值化简求值分析 50、10、80都不是特殊角，但注意到它们的和60、90都是特殊角，因此可考虑用和角公式求其值；另外，正切函数化弦后出现分式，可通过约分去掉非特殊角.【例1】求2sin 50+sin 10(1+ tan 10) 的值.322sin 8032解 原式=(2sin 50+sin 10=2(sin 50+2sin 10 ) cos 10=2 sin 50cos 10+sin 10cos(60-10)=2 sin(50+10)=2 = .cos103sin10)2sin80cos10

34、13cos10sin1022cos1022226第四十四页，编辑于星期一：八点 四十三分。 学后反思 对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：（1）化为特殊角的三角函数值；（2）化为正负相消的项，消去项求值；（3）化分子、分母，使之出现公约数进行约分而求值.举一反三举一反三1. 求cos40(1+ tan 10)的值. 3解析: 原式=sin 50(1+ )=sin 50 =sin 50= = =1.sin103cos10oocos103sin10cos102sin40cos10cos402sin40cos10sin80cos10第四十五页，编辑于星期一：八点 四十

35、三分。题型二题型二 知值求角知值求角分析 （1）欲求角，应先求其某种三角函数值.（2）从已知条件找出角+2的范围，确定其值.【例2】已知 3sin 2-2sin 2=0,且、都是锐角，求+2的值.223sin2sin1,解 方法一：由 得即cos 2=3 .又由3sin 2-2sin 2=0,得sin 2= sin 2.cos(+2)=cos cos 2-sin sin 2=cos 3 -sin sin =3 cos -3cos =0.又090,090,0+2270.故+2=90.223sin2sin1,221 2sin3sin,2sin322sin322sin2sin第四十六页，编辑于星期一

36、：八点 四十三分。学后反思 解决给值求角问题一般分如下三个步骤：（1）求角的某一个三角函数值；（2）确定角所在的范围；（3）确定所求角的值.举一反三举一反三方法二：由 得3 =cos 2,又由3sin 2-2sin 2=0得 sin 2=sin 2,得tan =cot 2.090,0290.cot(90-)=cot 2,又090-90,0290，+2=90.2sin32223sin2sin1,2. 已知tan = ,tan = ,并且、均为锐角，求+2.1713第四十七页，编辑于星期一：八点 四十三分。题型三题型三 知值求值知值求值解析：tan = 1,tan = 1,且、均为锐角，0 ,0+

37、2 .又tan tan(+2)=+2= .131743422tan3,1tan413tantan2741,131tantan21744【例3】已知0 ,且cos(- )=- ,sin( -)= ,求cos(+)的值.2219223分析 要求的是cos(+)的值，已知条件不能直接利用，观察知道(- )-( -)= ，这样就可以先求出 的正弦值或余弦值，再通过余弦的二倍角公式将问题解决.2222第四十八页，编辑于星期一：八点 四十三分。2解0 ,- ( ,).又cos(- )=- 0,- ( ,),sin(- )= . -(- , ),sin( -)= 0, -(0, ),cos( -)= . =

38、(- )-( -),cos =cos(- )-( -)=cos(- )cos( -)+sin(- )sin( -)=cos(+)=222419222222224253234 5922222222258 57 5.27272724902392cos11.2729729 第四十九页，编辑于星期一：八点 四十三分。举一反三举一反三学后反思 三角恒等变换中经常用到角度变换，如：=(+）-=（-)+,2=(+)+(-)=(+)-(-),+=2 , =(- )-( -)等，通过这些角的变换实现利用已知条件达到整体求解的目的.如本题中通过 =(- )-( -)实现了问题的转化，考生复习该部分时要注意领会这种

39、思想.22222223. 已知sin sin =16,( ,),求sin 4.442解析：方法一：sin sin =sin cos = ,sin( +2)= ,即cos 2= .( ,),2(,2)，sin 2=-sin 4=2sin 2cos 2=- .24444162131322 21 cos 2,3 4 29第五十页，编辑于星期一：八点 四十三分。题型四题型四 实际应用实际应用方法二：由条件得 (cos +sin ) (cos -sin )= ,即 ,cos 2= .由2(,2)得sin 2= ，sin 4=- .4 29161322222211(cossin)262 23【例4】(12

40、分)已知在ABC中，tan A+tan B+ = tan Atan B,且sin Acos A= ,试判断此三角形的形状.3334分析 提取系数 ，与tan(+)= 相联系.3tantan1tantan解 sin Acos A= sin 2A= ,0A,.2A=30或60.41234第五十一页，编辑于星期一：八点 四十三分。学后反思 (1)tan +tan =tan(+)(1-tan tan )是一种常用的变化技巧，应熟记.（2）判断三角形的形状可以借助三角函数值之间的关系，另对于判断三角形是钝角或锐角三角形时，应利用余弦值或正切值的正负来判断,尽量不用正弦值来判断.举一反三举一反三又tan

41、A+tan B=- (1-tan Atan B), tan(A+B)=- ,A+B=120.8当A=30时，B=90，tan B无意义;.10当A=60时，B=60,ABC为正三角形.123tantan3,1tantan 3第五十二页，编辑于星期一：八点 四十三分。4. 如图所示，A、B是单位圆O上的点，且B在第二象限，C是圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为 ,AOB为正三角形.（1）求sinCOA;（2）求cosCOB.3 4,5 5解析: (1)因为A点的坐标为 ,根据三角函数的定义，sinCOA= .(2)因为AOB为正三角形，所以AOB=60.又因为sinCOA= ,cosCOA= ,

42、所以cosCOB=cos(COA+60)=cosCOAcos 60-sinCOAsin 60=3 4,5 5454535314334 3.525210第五十三页，编辑于星期一：八点 四十三分。【例】若 ,且、为锐角，求+的值.易错警示易错警示510sin ,sin 510错解 、为锐角, ,0+,+=45或135.510sin ,sin 510222 53 10cos 1 sin 2,cos 1 sin 25102sinsin cos cos sin .20,0,22，又错解分析 上述解法欠严密，仅由sin(+)=22,0+180, 第五十四页，编辑于星期一：八点 四十三分。而得到+=45或1

43、35，但没注意题设中 , .使得0+60,故上述结论是错误的.实质上本题是由于方法不当导致运算量加大和忽视角的范围限制而致错.我们若取+的余弦，则易求得cos(+)= ,又由于0+,故+= .这样就避免了上述角的范围的探求.因此在求角时一定要结合条件选择角的合适的三角函数，往往能化繁为简. 51sin 52101sin 102224正解 由以上求得 ，cos(+)=cos cos -sin sin = .、为锐角，0+,+= .2 53 10cos ,cos 5102 53 105105105104第五十五页，编辑于星期一：八点 四十三分。考点演练考点演练10. （2009天津和平区模拟） 的

44、值为 .cos 21tan 1 sin 21tan 222cos 21tan cossin1tan1 sin 21tan 1tansincoscossin1tan1tan1tan1sincos1tan1tan1tan解析答案： 111. 已知向量m=(cos ,sin )和n=( -sin ,cos ),(,2),且|m+n|= ,求 的值.28 25cos28第五十六页，编辑于星期一：八点 四十三分。解析： 方法一：22(cossin2,cossin )cossin2cossin42 2 cossin44cos42 1 cos4mnmn由已知|m+n|= ，得 .8 257cos()4252

45、2cos()2cos () 1,42816cos ().2825592 ,82884cos0,cos28285 又第五十七页，编辑于星期一：八点 四十三分。方法二：222222222222222cossin2sincos2cos2sinsincos 42 2 cossin4 1 cos8cos428mnmnmm nnmnm n由已知8 24,cos5285592 ,82884cos0,cos28285mn 得12. (创新题)如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点.已知A、B的横坐标分别为 、 .（1）求tan(+)的值；（2）求+2

46、的值.2102 55第五十八页，编辑于星期一：八点 四十三分。解析：由已知得cos= ,cos= .、为锐角，sin=sin= tan=7,tan= .(1)tan(+)= (2)tan2=tan(+2)=、为锐角，0+ ,+2= .2102 5527 21 cos,10251 cos,51217tantan23.11tantan1 72 2212tan242,1tan311247tantan231.41tantan21 73 3234第五十九页，编辑于星期一：八点 四十三分。第四节第四节 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 基础梳理基础梳理T T222两角差的余弦公式为cos(-)=cos

47、 cos +sin sin ;两角和的余弦公式为cos(+)=cos cos -sin sin ;两角差的正弦公式为sin(-)=sin cos -cos sin ;两角和的正弦公式为sin(+)=sin cos +cos sin .上述公式对任意的、都成立.2. 公式 是tan (-)= ,公式 是tan(+)= ,它们成立的条件是k+ ,k+ ,k+ ,kZ.tantan1tantantantan1tantan第六十页，编辑于星期一：八点 四十三分。3. 在 中，令=,可得到sin2=2sin cos ,简记为 .在 中，令=,可得到cos2= ,简记为 .在 中，令=,可得到tan2=

48、简记为 .4. 在 中考虑 可将 变形为 ，它简记为 .5. 在 中令= 得cos= -1=1- ,将公式变形可得CST2C2T2S22cos222sin2221 cos1 cos;.22CS 2C22cos22cos112sin 2C22sincos12C22cossin2C22tan1tan12第六十一页，编辑于星期一：八点 四十三分。6. 的推导方法是 与 两式相除，其公式为7. 升降幂公式主要用于化简、求值和证明，其形式为：升幂公式：1+cos2= ;1-cos2= .降幂公式：cos2=21 cos.1 cosT 22sin221 cos21 cos2cos;sin.222T2S2C

49、22cos第六十二页，编辑于星期一：八点 四十三分。典例分析典例分析题型一题型一 sinx+cosx,sinx-cosx,sinxcosxsinx+cosx,sinx-cosx,sinxcosx三者之间的转换问题三者之间的转换问题 【例1】已知- x0,sin x+cos x= .(1)求sin x-cos x的值；(2)求 的值.215223sin2sincoscos2222tancotxxxxxx分析 由 -4sin xcos x知,只需求出sin xcos x即可.22sincossincosxxxx解（1）方法一：由sin x+cos x= ,平方得即2sin xcos x=- .15

50、221sin2sin coscos,25xxxx2425第六十三页，编辑于星期一：八点 四十三分。 =1-2sinxcosx= ,又- x0,sinx0,cosx0,sinx-cosx0,故sinx-cosx=- .方法二：联立方程 由得sinx= -cosx,将其代入,整理得25 -5cosx-12=0,cosx=- 或cosx= ,- x0, sinx-cosx=- .4925215752sincosxx221sincos,5sincos1.xxxx2cos x354523sin,54cos,5xx 75第六十四页，编辑于星期一：八点 四十三分。举一反三举一反三(2)= =sin xcos

51、 x(2-cos x-sin x)=223sin2sincoscos2222tancotxxxxxx22sinsin12sincoscossinxxxxxx1211082.255125 学后反思 sin xcos x,sin xcos x之间的关系为 =12sin xcos x, =2，由此知三者知其一，可求其二，但需注意角x的范围对结果的影响.2sincosxx22sincossincosxxxx1. 已知sin(- )= ,cos 2= ,求sin及tan(+ ).47 2107253第六十五页，编辑于星期一：八点 四十三分。解析: 由题设条件，应用两角差的正弦公式得，sin(- )= (

52、sin-cos)= ,即sin-cos= .由题设条件，应用二倍角余弦公式得，cos2= =(cos-sin)(cos+sin)=- (cos+sin)= ,故cos+sin=- .由和得sin= ,cos=- ,因此tan=- ,由两角和的正切公式得,7 21042222cossin75757251535453433tan34 334825 34tan.31113tan3 343 314第六十六页，编辑于星期一：八点 四十三分。题型二题型二 三角函数公式的灵活应用三角函数公式的灵活应用【例2】化简下列各式.(1) (2)13;sin10cos102 sin8 12cos82. 分析（1）注意

53、应用公式asin+bcos= sin(+).（2）注意1sin,1cos形式的转化.22ab解 (1)原式=（2）原式=2=2|sin 4+cos 4|+2|cos 4|.又4 ,sin 4+cos 40,cos 40,原式=-2(sin 4+cos 4)-2cos 4=-2sin 4-4cos 4.2sin 3010cos103sin104.1sin10 cos10sin20221 2sin4cos44cos 432第六十七页，编辑于星期一：八点 四十三分。学后反思 对于化简的题目要侧重于三角公式运用中的各种思想，对于一些固定形式则套用相应的公式.举一反三举一反三题型三题型三 三角恒等变换中

54、角的拆变三角恒等变换中角的拆变2. 化简:cos10tan103sin50解析：原式=sin10cos10sin103cos103cos10sin50sin502sin(1060 )2.sin50 第六十八页，编辑于星期一：八点 四十三分。【例3】已知 ,求sin 2的值.3123,cos,sin24135 且分析 抓住条件中的角“-”、“+”与结论中的角2的关系：（-）+(+)=2.解又33,0,2442 123cos,sin,13554sin,cos,135sin 2sinsincoscossin3124556().51351365 第六十九页，编辑于星期一：八点 四十三分。举一反三举一反

55、三学后反思 掌握常用的拆角、拼角关系，如=(+)-=-(-),= (+)+(-), = - . 222123. 已知cos= ,cos(-)= ,且0 .(1)求tan2的值；（2）求.1713142解析：（1）由cos = ,0 ,得sin= tan=(2)由0 ,得0- ,又cos(-)= ,sin(-)=1722214 31 cos1,7722sin4 372tan2 4 38 34 3,tan2.cos711tan4714 3 22131422133 31 cos1,1414第七十页，编辑于星期一：八点 四十三分。题型四题型四 三角恒等式的证明三角恒等式的证明【例4】（12分）已知ta

56、n(+)=2tan.求证：3sin=sin(+2).分析 观察条件与结论间的差异可知:(1)函数名称的差异是正弦与正切，可考虑切化弦法化异为同.(2)角的差异是+,;,+2.通过观察可得已知角与未知角之间关系如下：(+)-=;(+)+=+2,由此可化异为同.由=-(-)得：cos=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=0 ,= .221134 33 31,7147142第七十一页，编辑于星期一：八点 四十三分。学后反思 分析条件等式与论证式中角和函数名称的差异，从而进行配角，再利用同角三角函数关系式消除函数名称的差异.对于三角恒等式的证明，实质也是消除等式两边的差异，有目的地

57、化繁为简、左右归一或变更论证.证明 由已知tan(+)=2tan 可得sin(+)cos =2cos(+)sin .4而sin(+2)=sin(+)+=sin(+)cos +cos(+)sin =2cos(+)sin +cos(+)sin =3cos(+)sin ,7又sin =sin(+)-=sin(+)cos -cos(+)sin =2cos(+)sin -cos(+)sin =cos(+)sin ,.10sin(+2)=3sin 12sin2sin,coscos第七十二页，编辑于星期一：八点 四十三分。举一反三举一反三4. 已知A、B为锐角，求证：A+B= 的充要条件是（1+tan A）

58、(1+tan B)=2.4证明：（充分性）(1+tan A)(1+tanB)=2,1+(tanA+tanB)+tanAtan B=2,tan(A+B)（1-tanAtanB）=1-tanAtanB,tan(A+B)=1,0A ,0B ,0A+B,A+B= .(必要性)A+B= ,tan(A+B)=tan ，即 整理得（1+tanA）(1+tanB)=2.综上，若A、B为锐角，则A+B= 的充要条件是(1+tanA)（1+tanB）=2.44224tantan1,1tantanABAB4第七十三页，编辑于星期一：八点 四十三分。易错警示易错警示【例】已知, ,且tan,tan是方程 的两个根，则

59、+的值为( )A. 或- B. -C.- 或 D. -,2 2 23 340 xx323233233错解 tan,tan是方程 的两个根, 则tan(+)=, ,+(-,).在(-,)内，正切值等于 的角只有 和- .+= 或- .23 340 xxtantan3 3,tantan4, tantan3.1tantan,2 2 3233233第七十四页，编辑于星期一：八点 四十三分。考点演练考点演练错解分析 没有对条件 进行深入地分析，扩大了+的取值范围.事实上，由tan+tan=- 0,tantan=40,可知tan0，tan0,(- ,0)+(-,0).3 3tantan3 3,tantan

60、4, 2正解 tan ,tan 是方程 的两个根， tan 0,tan 0., ,(- ,0)+(-,0).又tan(+)=在(-,0)内，正切值等于 的角只有- ,+=- .23 340 xxtantan3 30,tantan40, ,2 2 2tantan3,1tantan23233第七十五页，编辑于星期一：八点 四十三分。10. （2009南通模拟）已知 ,则tan(-2)= .1 cos 211,tansin cos 3 解析: 由21 cos 22sin111tansin cos sincos2tantantan2tan11tan()tan 答案： -111. （1）若 =2,求2c