同济大学第五版高等数学D86几何中的应用ppt课件

1、第六节复习 目录 上页 下页 返回 完毕 一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第八章 复习复习: : 平面曲线的切线与法平面曲线的切线与法线线已知平面光滑曲线)(xfy ),(00yx切线方程0yy 法线方程0yy 若平面光滑曲线方程为, 0),(yxF),(),(ddyxFyxFxyyx故在点),(00yx切线方程法线方程)(0yy ),(00yxFy)(),(000 xxyxFx0)(00 xxxf)()(100 xxxf在点有有因 0)(),(000yyyxFx),(00yxFy)(0 xx 机动 目

2、录 上页 下页 返回 完毕 一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法机动 目录 上页 下页 返回 完毕 位置.TM空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限平面平面.点击图中任意点动画开始或暂停1. 曲线方程为参数方程的情况曲线方程为参数方程的情况)(, )(, )(:tztytxzzzyyyxxx000, t上述方程之分母同除以得令, 0t切线方程切线方程000zzyyxx),(0000zyxMtt对应设 ),(0000zzyyxxMttt对应)(0t)(0t)(0t机动 目录 上页 下页 返回 完毕 TMM:的方程割线MM)(0

3、0 xxt此处要求)(, )(, )(000ttt也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量 .)( )(00yyt0)(00zzt如个别为0, 则理解为分子为 0 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 M不全为0, )(, )(, )(000tttTT因此得法平面方程 说明说明: 若引进向量函数若引进向量函数 ) )(, )(, )()(ttttr, 那么 为 r (t) 的矢端曲线, 0t而在处的导向量 )(, )(, )()(0000ttttr就是该点的切向量.o)(trTzyxo例例1. 求圆柱螺旋线 kzRyRx,sin,cos2对应点处的切线方程和法平面方程.,2时当切线

4、方程 Rx法平面方程xR022kzkxR即002RykRzRxk即解解: 由于由于,sinRx0Ry kkz2,cosRy , kz ),0(20kRM对应的切向量为0)(2kzk在机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ),0,(kRT, 故2. 曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxF当0),(),(zyGFJ)()(xzxyxydd曲线上一点),(000zyxMxyz, 且有xzdd,),(),(1xzGFJ ,),(),(1yxGFJ 时, 可表示为处的切向量为 MMyxGFJxzGFJ),(),(1,),(),(1,1机动 目录 上页 下页 返回 完

5、毕 )(, )(, 100 xxT 000zzyyxxMzyGF),(),(则在点),(000zyxM切线方程切线方程法平面方程法平面方程有MzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),()(0 xx MyxGF),(),(MxzGF),(),()(0yy0)(0 zz或机动 目录 上页 下页 返回 完毕 MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(0)()()()()()(000MGMGMGMFMFMFzzyyxxzyxzyx也可表为)(),(),()(),(),(00yyMxzGFxxMzyGF法平面方程法平面方程0)(),(),(0zzMyx

6、GF机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例2. 求曲线求曲线0,6222zyxzyx在点M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程. MzyGF),(),(切线方程121zyx解法解法1 令令,222zyxGzyxF那么即0202yzx切向量;0),(),(MxzGFMzy1122Mzy)(2;606xyz6机动 目录 上页 下页 返回 完毕 6),(),(MyxGF)6,0, 6(T法平面方程0) 1(6)2(0) 1(6zyx即0 zx机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xxzzxyydddd解法解法2. 方程组两边对方程组两边对 x 求导求导, 得得1ddddxzxy1111dd

7、zyxyxz11ddzyxy曲线在点 M(1,2, 1) 处有:切向量解得11zx,zyxzzyyx)1,0, 1 (MMxzxyTdd,dd,1切线方程121zyx即0202yzx法平面方程0) 1() 1()2(0) 1(1zyx即0 zx点 M (1,2, 1) 处的切向量011机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )1,0, 1(T0),(:zyxF二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面通过其上定点),(000zyxM0tt 设对应点 M,)(, )(, )(000ttt切线方程为)()()(000000tzztyytxx不全为0 . 那么 在, )(, )(, )

8、(:tztytx且点 M 的切向量为任意引一条光滑曲线MT下面证明:此平面称为 在该点的切平面.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上. )(, )(, )(000tttTMT证:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 在 上,)(, )(, )(:tztytx0) )(, )(, )(tttF,0处求导两边在tt ,0Mtt对应点注意 )(0t0),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz)(0t)(0t得)(, )(, )(000tttT),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令nT 切向量

9、由于曲线 的任意性 , 表明这些切线都在以为法向量n的平面上 , 从而切平面存在 .n)( ),(0000 xxzyxFx曲面 在点 M 的法向量法线方程法线方程 000zzyyxx)( ),(0000yyzyxFy0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFzMTn),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx复习 目录 上页 下页 返回 完毕 )( ),(000 xxyxfx曲面时, ),(yxfz zyxfzyxF),(),(则在点),(zyx故当函数 ),(yxf),(00yx1),(

10、),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法线方程法线方程,yyfF 1zF令有在点),(000zyx特别特别, 当光滑曲面当光滑曲面 的方程为显式的方程为显式 在点有连续偏导数时, )( ),(000yyyxfy0zz,xxfF 切平面方程切平面方程机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ,法向量法向量用2211cosyxff将),(, ),(0000yxfyxfyx,yxff法向量的方向余弦：法向量的方向余弦：表示法向量的方向角, 并假定法向量方向.为锐角则分别记为那么,1cos,1cos2222yxyyxxffffff向上,) 1, ),(, ),(0000yxfyxfnyx复习 目录

11、 上页 下页 返回 完毕 例例3. 求球面求球面3632222zyx在点(1 , 2 , 3) 处的切平面及法线方程. 解解:3632),(222zyxzyxF所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:切平面方程切平面方程 ) 1(2x03694zyx即法线方程法线方程321zyx)2(8y0)3(18z149法向量令机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )6,4,2(zyxn )18,8,2()3, 2, 1(n例例4. 确定正数确定正数 使曲面使曲面zyx222zyx在点),(000zyxM解解: 二曲面在二曲面在 M 点的法向量分别为点的法向量分别为二曲面在点 M 相切, 故000000

12、000zyxyzxxzy0 x202020zyx又点 M 在球面上,32202020azyx故于是有000zyx2a相切.333a与球面机动 目录 上页 下页 返回 完毕 , ),(0000001yxzxzyn ),(0002zyxn 21/nn, 因此有20y20z21. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程 000zzyyxx法平面方程)(00 xxt1) 参数式情况.)()()(:tztytx空间光滑曲线切向量内容小结内容小结)(0t)(0t)(0t)( )(00yyt0)(00zzt机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )(, )(, )(000tttT切线方程法平面方

13、程MMMyxGFzzxzGFyyzyGFxx),(),(),(),(),(),(000空间光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxFMzyGF),(),(切向量2) 一般式情况.,),(),(MzyGF,),(),(MxzGFMyxGF),(),()(0 xx MxzGF),(),()(0yyMyxGF),(),(0)(0 zz机动 目录 上页 下页 返回 完毕 T空间光滑曲面0),(:zyxF曲面 在点法线方程法线方程),(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz)( ),()( ),(00000000yyzyxFxxzyxFyx1) 隐式情况 .的法向

14、量),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程2. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx空间光滑曲面),(:yxfz )( ),()( ),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程切平面方程法线方程法线方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,1cos,1cos2222yxyyxxffffff2) 显式情况.法线的方向余弦2211cosyxff法向量法向量机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ) 1 ,(yxffn思考与练习

15、思考与练习1. 如果平面01633zyx与椭球面相切,提示提示: 设切点为设切点为, ),(000zyxM那么223yx .求000226zyx3301633000zyx163202020zyx2机动 目录 上页 下页 返回 完毕 162 z(二法向量平行) (切点在平面上)(切点在椭球面上)证明 曲面)(xyfxz 上任一点处的切平面都通过原点.提示提示: 在曲面上任意取一点在曲面上任意取一点, ),(000zyxM则通过此0zz 作业作业 P45 2，3，4，5，8，9，10)(0 xxxzM)(0yyyzM2. 设 f ( u ) 可微,第七节 目录 上页 下页 返回 完毕 证明原点坐标满足上述方程 .点的切平面为 1. 证明曲面证明曲面0),(ynzymxF与定直线平行,.),(可微其中vuF证证: 曲面上任一点的法向量曲面上任一点的法向量,1F, )()(21nFmF )2F取定直线的方向向量为,m,1)n那么(定向量)故结论成立 .的所有切平面