角的平分线的性质 省赛一等奖完整版

12.3角的平分线的性质(xìngzhì)乘马中学(zhōngxué)毕昌盛第一页，共二十八页。1、角平分线的概念(gàiniàn)从角的顶点出发的一条射线把角分成两个(liǎnɡɡè)相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。oBCA12复习(fùxí)提问第二页，共二十八页。2、点到直线(zhíxiàn)距离:从直线外一点到这条直线的垂线(chuíxiàn)段的长度，叫做点到直线(zhíxiàn)的距离。OPAB线段的长度复习提问第三页，共二十八页。

不利用工具，请你将一张用纸片做的

角分成两个相等(xiāngděng)的角。

你有什么办法？AOBC活动1

再打开纸片，看看折痕(shéhén)与这个角有何关系？（对折(duìzhé)）情境问题第四页，共二十八页。1、如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明(shuōmíng)它的道理吗?活动2情境(qíngjìng)问题ADBCE

如果前面活动(huódòng)中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？第五页，共二十八页。2、证明：在△ACD和△ACB中

AD=AB（已知）

DC=BC（已知）

CA=CA（公共边）∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等(xiāngděng)）∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）ADBCE第六页，共二十八页。根据角平分仪的制作原理怎样(zěnyàng)作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）OABCENOMCENM

探究体验1第七页，共二十八页。

２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．如何(rúhé)用尺规作角的平分线？AＢＯＭＮＣ作法(zuòfǎ)：１．以Ｏ为圆心，适当(shìdàng)长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．３．作射线OC．则射线ＯＣ即为所求．

第八页，共二十八页。1(一)如图：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成(xíngchéng)的三条折痕你能得出什么结论？（二）操作测量：OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次(sāncì)数据填入下表：你能得出什么结论？

探究体验2做一做AOBBOADEAOBPED

PDPE123ＣP第九页，共二十八页。说说你的发现(fāxiàn)：AOBAOBCDEP（一）可以看出(kànchū)，第一条折痕OC是∠AOB_____第二次形成了____条折痕(shéhén)，分别为__________,它们是角平分线上的点P到∠AOB两边的_______这两个距离_______平分线2PD、PE距离相等

探究体验2做一做（二）观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：________PD=PEOOCP第十页，共二十八页。命题：在角平分线上的点到角的两边的距离(jùlí)相等题设：一个点在一个角的平分线上结论(jiélùn)：它到角的两边的距离相等已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足(chuízú)分别是D、E.求证：PD=PE.AOBPED说一说第十一页，共二十八页。

已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，

PD⊥OA于D，PE⊥OB于E求证(qiúzhèng):PD=PEAOBEDPC∵

PD⊥OA，PE⊥OB证明(zhèngmíng)：∴

∠PDO=∠PEO=90°在△POD和△PEO中

∴△PDO≌△PEO（AAS）

∠PDO＝∠PEO∠AOC＝∠BOCOP=OP∴PD＝PE第十二页，共二十八页。如何(rúhé)证明几何命题？：1、明确(míngquè)命题中的已知和求证；2、根据题意，画出图形(túxíng)，并用数学符号

表示已知和求证；3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，

写出证明过程。第十三页，共二十八页。角平分线的性质(xìngzhì)

定理：角的平分线上的点到角的两边(liǎngbiān)的距离相等利用性质书写(shūxiě)推理过程AOBPED12∵∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE(角平分线的性质)推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。定理应用所具备的条件：

（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；

（3）垂直距离。第十四页，共二十八页。∵

如图，AD平分(píngfēn)∠BAC（已知）

∴

=

，()角平分线的性质(xìngzhì)BDCD（×）你来判断(pànduàn)

1第十五页，共二十八页。∵

如图，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）

∴

=

，()角平分线的性质(xìngzhì)BDCD（×）你来判断(pànduàn)

2第十六页，共二十八页。∵AD平分(píngfēn)∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴

=

，（）

DBDC角平分线的性质(xìngzhì)√不必(bùbì)再证全等你来判断3第十七页，共二十八页。例1：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P。求证：点P到三边(sānbiān)AB，BC，CA的距离相等。BACPMN例题(lìtí)展示：第十八页，共二十八页。证明：过点P作PD，PE，PF分别(fēnbié)垂直于AB，BC，CA，垂足为D、E、F，BACPDEFMN∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，PD⊥AB，PE⊥BC∴PD=PE同理PE=PF∴PD=PE=PF即点P到三边(sānbiān)AB，BC，CA的距离相等第十九页，共二十八页。例2：在△OAB中，OE是∠

AOB的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足(chuízú)为C，D，求证：AC=BD。OABECD例题(lìtí)展示：第二十页，共二十八页。练习1：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在(suǒzài)直线的距离相等．ＡＢＣＤＥＰＢ学以致用(xuéyǐzhìyòng)第二十一页，共二十八页。练习(liànxí)2：已知△ABC中,∠C=900,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,求点D到AB的距离ABCDE学以致用(xuéyǐzhìyòng)第二十二页，共二十八页。练习(liànxí)3：如图，在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；求证：CF=EBACDEBF学以致用(xuéyǐzhìyòng)第二十三页，共二十八页。练习4：直线表示三条相互交叉的公路(gōnglù),现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:()

A.一处B.两处

C.三处D.四处学以致用(xuéyǐzhìyòng)第二十四页，共二十八页。P1P2P3P4l1l2l3第二十五页，共二十八页。小结(xiǎojié)：1、本节课学习了哪些主要(zhǔyào)内容？2、本节课是通过什么方式探究(tànjiū)角的平分线的性质的？3、角的平分线的性质为我们提供了证明什么的方法？在应用这一性质时要注意哪些问题？第二十六页，共二十八页。课后作业(zuòyè)教材(jiàocái)51页1题

5题

52页6题第二十七页，共二十八页。内容(nèiróng)总结