超几何分布 （教学设计）（人教A版2019选择性必修第三册）

.4.2超几何分布教学设计课时教学内容本节的主要内容是超几何分布，是对前面所学知识的综合应用.超几何分布主要用于不放回简单随机抽样中概率的计算，其中对抽取的每个个体只考虑是否具有某种特征.教材通过在具体情境中比较放回和不放回简单随机抽样，归纳出超几何分布模型的特征，由特殊到一般地求得超几何分布的分布列.体现了从实际出发，通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程.课时教学目标1.理解超几何分布概念,能够判定随机变量是否服从超几何分布;2.会应用超几何分布列的概率公式计算求解随机事件的概率;3.能够利用随机变量服从超几何分布的知识解决实际问题,会求服从超几何分布的随机变量的均值.教学重点、难点1.重点：超几何分布的概率求法及应用2.难点：区分超几何分布与二项分布教学过程设计环节一创设情境，引入课题前面我们学习了排列组合、离散型随机变量的有关知识，本节课将利用这些知识继续研究第二个重要的概率模型超几何分布。问题已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列．（1）采用有放回抽样，随机变量X服从二项分布吗？我们知道，如果采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时X服从二项分布，即．（2）如果采用不放回抽样，请问抽取的4件产品中次品数X还服从二项分布吗？若不服从，那么X的分布列是什么？采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布．学生回答：不服从，需要根据古典概型来求X的分布列。环节二观察分析，感知概念可以根据古典概型求X的分布列．由题意可知，X可能的取值为0，1，2，3，4．从100件产品中任取4件，样本空间包含个样本点，且每个样本点都是等可能发生的．其中4件产品中恰有k件次品的结果数为．由古典概型的知识，得X的分布列为．计算的具体结果（精确到0.00001）如表7.4-1所示．表7.4-1X01234P0.712570.256210.029890.001310.00002（3）观察上述分布列中的概率求解方法，与二项分布的有什么不同？从中得出什么规律？【设计意图】通过具体的问题情境，引发学生积极思考，也就是利用已学知识来观察这个问题，通过参与互动，说出自己见解。从而引出超几何分布的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。环节三抽象概括，形成概念一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为．其中，，，，．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布（hypergeometricdistribution）．（4）剖析超几何分布的概念：1.公式中个字母的含义N—总体中的个体总数；M—总体中的特殊个体总数(如次品总数)n—样本容量；k—样本中的特殊个体数(如次品数)2.上述概率分布列计算公式是直接利用组合数的意义列式计算的，所以不要机械记忆这个概率分布列。3.“任取n件，恰有k件次品”是可以理解为一次性抽取，也可以理解为逐个不放回抽取。例4从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率．解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数(只能取0或1)，则X服从超几何分布，且，，．因此甲被选中的概率为．容易发现，每个人被抽到的概率都是，这个结论非常直观，这里给出了严格的推导．例5一批零件共有30个，其中有3个不合格．随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率．解：设抽取的10个零件中不合格品数为X，则X服从超几何分布，且，，．X的分布列为．至少有1件不合格的概率为．也可以按如下方法求解：．归纳总结：（1）当研究的事物涉及二维离散型随机变量(如：次品、两类颜色等问题）时的概率分布可视为一个超几何分布；（2）在超几何分布中，只要知道参数N，M，n就可以根据概率计算公式求出X取不同值时的概率。【设计意图】通过两个例题，让学生更加充分的认识超几何分布的概率计算方法，提高他们的数学运算能力。也通过数学抽象和数学建模来达到问题归类，方法统一。环节四辨析理解深化概念探究：服从超几何分布的随机变量的均值是什么？设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．令，则是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，我们猜想，即．实际上，由随机变量均值的定义，令，，由随机变量均值的定义：当时，．（1）因为，所以．当时，注意到（1）式中间求和的第一项为0，类似可以证明结论依然成立．【设计意图】通过一个例题的计算，知道结果是满足猜想E(X)=np，接下来将引导学生深知数学结论能否直接使用，必将进行严格的证明，此时鼓励同学们课后去完成。因为课堂上如果去完成这个证明，将会使得课堂教学脱离教学重点，正好也鼓励同学们进行课后思考和同时提升同学们的自学能力。环节五概念应用，巩固内化例6一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数．（1）分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；（2）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率．分析：因为只有两种颜色的球，每次摸球都是一个伯努利试验．摸出20个球，采用有放回摸球，各次试验的结果相互独立，；而采用不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布．解：（1）对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此，X的分布列为．对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，X的分布列为，．（2）利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值（精确到0.00001)，如表7.4-2所示．表7.4-2kp1kp2kkp1kp2k00.000040.00001110.070990.0637610.000490.00015120.035500.0266720.003090.00135130.014560.0086730.012350.00714140.004850.0021740.034990.02551150.001290.0004150.074650.06530160.000270.0000660.124410.12422170.000040.0000170.165880.17972180.000000.0000080.179710.20078190.000000.0000090.159740.17483200.000000.00000100.117140.11924样本中黄球的比例是一个随机变量，根据表7.4-2，计算得有放回摸球：．不放回摸球：．因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些．两种摸球方式下，随机变量X分别服从二项分布和超几何分布．虽然这两种分布有相等的均值（都是8），但从两种分布的概率分布图（图7.4-4）看，超几何分布更集中在均值附近．二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同．对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似．【设计意图】通过对二项分布和超几何分布的问题对比分析和研究，以逻辑推理、直观想象的教学方式，让学生充分掌握超几何分布的概念及其特点。通过问题的探究和对比，进一步了解了这两个分布的区别和联系。环节六归纳总结,反思提升1.本节课学习的概念有哪些？(1)超几何分布的概念及特征．(2)超几何分布的均值．(3)超几何分布与二项分布的区别与联系．2.在解决问题时，用到了哪些数学思想？(1)方法归纳：类比．(2)常见误区：超几何分布与二项分布混淆，前者是不放回抽样，后者是有放回抽样．【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力.环节七 目标检测，作业布置完成教材：教材第80页练习第1,2题.练习（第80页）1．一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率．1．【答案】【解析】因为一箱24罐的饮料中4罐有奖券，所以无奖券的有20罐，从24罐中任意抽取2罐，有种结果，且它们是等可能的，其中抽取的2罐均无奖券，有种，所以这2罐中有奖券的概率为：．2．学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班．假设每名候选人都有相同的机会被选到，求甲班恰有2名同学被选到的概率．2．【答案】【解析】总数有种选法，甲班有4名候选人，选择2名甲班同学和2名别班同学的种类数为，则甲班恰有2名同学被选到的概率为．3．举出两个服从超几何分布的随机变量的例子．3．【解析】例1：假设某鱼池中仅有鲤鱼和草鱼两种鱼，其中鲤鱼200条，草鱼40条，从鱼池中任取5条鱼，这5条鱼中包含草鱼的个数X服从超几何分布．例2：现有甲、乙两种品牌的电视机共52台，其中甲品牌21台，从52台电视机中选出5台送给福利院，选出的甲品牌电视机台数X服从超几何分布．习题7.4（第80页）1．抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，求在30次试验中成功次数X的均值和方差．1．【答案】均值，方差．【解析】依题意试验一次成功的概率为，且每次试验是相互独立，所以30次试验中成功次数X服从二项分布，，，，所以在30次试验中次数的均值为10，方差为．2．若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次的射击中，恰好有一次未击中目标的概率是多大．2．【答案】【解析】设恰好有一次未击中目标为事件A，则．3．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次．求下列事件的概率．（1）质点回到原点；（2）质点位于4的位置．3．【答案】（1）；（2）．【解析】设质点向右移动的次数为，又质点每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，且每次移动是相互独立，则．（1）质点回到原点，则，，所以质点回到原点的概率是；（2）当质点位于4的位置时，则，，所以质点位于4的位置的概率是．4．从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，求至少有2张A牌的概率(精确到0.00001)．4．【答案】0.04168【解析】从52张扑克牌中任意抽出5张，共有种可能事件，从52张扑克牌中任意抽出5张，有2张A牌，有中可能事件，从52张扑克牌中任意抽出5张，有3张A牌，有中可能事件，从52张扑克牌中任意抽出5张，有4张4牌，有中可能事件，故至少有2张A牌的概率．5．某射手每次射击击中目标的概率为0.8，共进行10次射击，求(精确到0.01)：（1）恰有8次击中目标的概率；（2）至少有8次击中目标的概率．5．【答案】（1）0.30；（2）0.68．【解析】（1）∵某射手每次射击击中目标的概率是0.8，则这名射手在10次射击中恰有8次击中目标的概率为．（2）至少有8次击中目标的概率为．6．有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖．求中奖的概率(精确到0.001)．【答案】0.191【解析】记中奖为事件A，概率为，所以中奖的概率为0.191．7．一个车间有3台车床，它们各自独立工作．设同时发生故障的车床数为X，在下列两种情形下分别求X的分布列．（1）假设这3台车床型号相同，它们发生故障的概率都是20%；（2）这3台车床中有A型号2台，B型号1台，A型车床发生故障的概率为10%，B型车床发生故障的概率为20%．7．【解析】（1），，，，所以X的分布列如下：X0123P0.5120.3840.0960.008（2），，，．所以的分布列如下：X0123P0.6480.3060.0440.0028．某药厂研制一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为90%．随机选择了10个病人，经过使用该药治疗后，治愈的人数不超过6人，你是否怀疑药厂的宣传．8．【解析】由题意知，若此药治疗某种疾病有效率为90%，则随机选择了10个病人，治愈人数不超过6人的概率为：，所以概率非常小，因此治愈人数不超过6人是小概率事件，在一次试验中几乎不可能发生，然而现在发生了，从这个角度，就可以怀疑药厂是虚假宣传．换另一个角度，治愈人数不超过6人是一个随机事件，在一次试验中可能发生，所以从这个角度看，也可以不怀疑药厂的宣传．探究与发