201x届高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.2第1课时利用导数研究函数的单调性理北师大版

1、导数的应用导数的应用第三章导数及其应用基础知识自主学习基础知识自主学习课时作业课时作业题型分类深度剖析题型分类深度剖析内容索引内容索引基础知识自主学习1.函数的单调性函数的单调性如果在某个区间内，函数yf(x)的导数f(x) 0，则在这个区间上，函数yf(x)是增加的；如果在某个区间内，函数yf(x)的导数f(x) 0，则在这个区间上，函数yf(x)是减少的.2.函数的极值函数的极值如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是 ，f(x0)是 .如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是 ，f(x0)是 .知

2、识梳理知识梳理极大值点极大值极小值极小值点0(f(x)0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性.()(3)函数的极大值不一定比极小值大.()(4)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件.()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.()基础自测基础自测1234567812456答案3题组二教材改编题组二教材改编2.如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图像，则下面判断正确的是A.在区间(2,1)上f(x)是增加的B.在区间(1,3)上f(x)是减少的C.在区间(4,5)上f(x)是增加的D.当x2时，f

3、(x)取到极小值解析解析解析在(4,5)上f(x)0恒成立，f(x)是增加的.7812456答案解析3.设函数f(x) ln x，则 A.x 为f(x)的极大值点B.x 为f(x)的极小值点C.x2为f(x)的极大值点D.x2为f(x)的极小值点当0 x2时，f(x)2时，f(x)0，x2为f(x)的极小值点.3784.函数f(x)x36x2的递减区间为_.解析解析f(x)3x212x3x(x4)，由f(x)0，得0 x4，函数f(x)的递减区间为(0,4).解析124563(0,4)答案785.函数yx2cos x在区间 上的最大值是_.解析解析y12sin x，解析124563答案78题组

4、三易错自纠题组三易错自纠6.函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x) A.无极大值点、有四个极小值点B.有三个极大值点、一个极小值点C.有两个极大值点、两个极小值点D.有四个极大值点、无极小值点解析12456解析解析导函数的图像与x轴的四个交点都是极值点，第一个与第三个是极大值点，第二个与第四个是极小值点.3答案787.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)3，且f(x)的导数f(x)在R上恒有f(x)2(xR)，则不等式f(x)2x1的解集为_.解析12456解析解析令g(x)f(x)2x1，g(x)f(x)20，g(x)在R上是减少的，g(1)f(1)

5、210.由g(x)1.不等式的解集为(1，).3(1，)答案788.设aR，若函数yexax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是_.解析12456解析解析yexax，yexa.函数yexax有大于零的极值点，方程yexa0有大于零的解，当x0时，ex1，aex0)，3.(2018开封调研)已知定义在区间(，)上的函数f(x)xsin xcos x，则f(x)的递增区间是_.解析答案解析解析f(x)sin xxcos xsin xxcos x.令f(x)xcos x0，确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求f(x).(3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为递增区

6、间.(4)解不等式f(x)0)，讨论函数yf(x)的单调区间.解答题型二含参数的函数的单调性题型二含参数的函数的单调性师生共研师生共研当a1时，f(x)0恒成立，当a1，)时，函数yf(x)在R上是减少的.当0a0，得(1a)(ex1)1，由f(x)0，得(1a)(ex1)0).试讨论f(x)的单调性.解答解解由题意得f(x)exax2(2a2)x(a0)，当a1时，f(x)在(，)内是增加的；命题点命题点1比较大小或解不等式比较大小或解不等式解析题型三函数单调性的应用问题题型三函数单调性的应用问题多维探究多维探究答案解析(2)设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)0，当x0时，有 0的解集

7、是_.答案(，2)(0,2)在(0，)上，当且仅当0 x0，此时x2f(x)0.又f(x)为奇函数，h(x)x2f(x)也为奇函数.故x2f(x)0的解集为(，2)(0,2).解答命题点命题点2根据函数单调性求参数根据函数单调性求参数典例典例 (2018石家庄质检)已知函数f(x)ln x，g(x) ax22x(a0).(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在递减区间，求a的取值范围；又因为a0，所以a的取值范围为(1,0)(0，).解答(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上是减少的，求a的取值范围.几何画板展示几何画板展示解解因为h(x)在1,4上是减少的，1.本例(2)中，若函数h

8、(x)f(x)g(x)在1,4上是增加的，求a的取值范围.引申探究引申探究解解因为h(x)在1,4上是增加的，所以当x1,4时，h(x)0恒成立，解答所以a1，即a的取值范围是(，1.2.本例(2)中，若h(x)在1,4上存在递减区间，求a的取值范围.解解h(x)在1,4上存在递减区间，则h(x)1，又因为a0，所以a的取值范围是(1,0)(0，).根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)是增加的的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f(x)不恒为

9、零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.思维升华思维升华跟踪训练跟踪训练 已知函数f(x) 2x2ln x在区间1,2上为单调函数，求a的取值范围.解答典例典例 (12分)已知函数g(x)ln xax2(2a1)x，若a0，试讨论函数g(x)的单调性.用分类讨论思想研究函数的单调性用分类讨论思想研究函数的单调性思想方法思想方法思想方法指导规范解答思想方法指导思想方法指导 含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：方程f(x)0是否有根；若f(x)0有根，求出根后判断其是否在定义域内；若根在定义域内且有

10、两个，比较根的大小是常见的分类方法.规范解答规范解答函数g(x)的定义域为(0，)，由g(x)0，得0 x1，由g(x)1. 4分综上可得：当a0时，函数g(x)在(0,1)上是增加的，在(1，)上是减少的；课时作业1.函数f(x)x22ln x的递减区间是 A.(0,1) B.(1，)C.(，1) D.(1,1)基础保分练基础保分练12345678910111213141516当x(0,1)时，f(x)0，f(x)是增加的.解析答案2.(2018济南调研)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f(x)的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是 A.f(b)f(c)f(d)B.f(b)f(a)f(

11、e)C.f(c)f(b)f(a)D.f(c)f(e)f(d)答案12345678910111213141516解析解析由题意得，当x(，c)时，f(x)0，所以函数f(x)在(，c)上是增加的，因为abf(b)f(a)，故选C.解析3.已知m是实数，函数f(x)x2(xm)，若f(1)1，则函数f(x)的递增区间是 答案12345678910111213141516解析解析解析f(x)3x22mx，f(1)32m1，解得m2，由f(x)3x24x0，123456789101112131415164.已知函数f(x) x3ax4，则“a0”是“f(x)在R上是增加的” A.充分不必要条件 B.必

12、要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件解析答案12345678910111213141516故“a0”是“f(x)在R上是增加的”充分不必要条件.5.若函数f(x)kxln x在区间(1，)上是增加的，则k的取值范围是 A.(，2 B.(，1C.2，) D.1，)解析答案因为f(x)在区间(1，)上增加的，123456789101112131415166.(2018重庆质检)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)f(2x)，且当x(，1)时，(x1)f(x)0，设af(0)，b ，cf(3)，则 A.abc B.cbaC.cab D.bca解析答案1234567891011121

13、3141516解析解析由题意得，当x0，f(x)在(，1)上是增加的.解析答案123456789101112131415167.若函数f(x)x3bx2cxd的递减区间为(1,3)，则bc_.12解析解析f(x)3x22bxc，由题意知，1x3是不等式3x22bxc0的解，1,3是f(x)0的两个根，b3，c9，bc12.8.(2018昆明调研)已知函数f(x)(xR)满足f(1)1，f(x)的导数f(x) ，则不等式f(x2) 的解集为_.答案12345678910111213141516x|x1解析12345678910111213141516即函数F(x)在R上是减少的.F(x2)1，即

14、不等式的解集为x|x1.解析答案由已知得g(x)0在1,2上恒成立，1234567891011121314151610.设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是_.解析12345678910111213141516(，1)(0,1)答案解析解析因为f(x)(xR)为奇函数，f(1)0，所以f(1)f(1)0.12345678910111213141516则g(x)为偶函数，g(1)g(1)0.故g(x)在(0，)上是减少的，在(，0)上是增加的.所以在(0，)上，当0 x1时，由g(x)g(1)0，1234

15、5678910111213141516所以f(x)0.综上知，使得f(x)0成立的x的取值范围是 (，1)(0,1).11.(2018大理质检)已知函数f(x) (k为常数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行.(1)求实数k的值；解答12345678910111213141516(2)求函数f(x)的单调区间.12345678910111213141516所以h(x)在(0，)上是减少的.由h(1)0知，当0 x1时，h(x)0，所以f(x)0；当x1时，h(x)0，所以f(x)0.综上，f(x)的递增区间是(0,1)，递减区间是(1，).解答12.(2018届信阳高级中学考

16、试)已知函数f(x) 1(bR，e为自然对数的底数)在点(0，f(0)处的切线经过点(2，2).讨论函数F(x)f(x)ax(aR)的单调性.12345678910111213141516解答解解因为f(0)b1，12345678910111213141516当a0时，F(x)0时，由F(x)0，得x0，得xln a.故当a0时，函数F(x)在R上是减少的；当a0时，函数F(x)在(，ln a)上是减少的，在(ln a，)上是增加的.12345678910111213141516技能提升练技能提升练答案12345678910111213141516解析13.(2017承德调研)已知f(x)是可

17、导的函数，且f(x)f(x)对于xR恒成立，则 A.f(1)e2 017f(0)B.f(1)ef(0)，f(2 017)e2 017f(0)C.f(1)ef(0)，f(2 017)e2 017f(0)D.f(1)ef(0)，f(2 017)e2 017f(0)12345678910111213141516所以g(1)g(0)，g(2 017)g(0)，故f(1)ef(0)，f(2 017)e2 017f(0).解析12345678910111213141516答案1234567891011121314151615.已知函数f(x) x24x3ln x在区间t，t1上不单调，则t的取值范围是_.拓展冲刺练拓展冲刺练解析12345678910111213141516答案(0,1)(2,3)由f(x)0，得函数f(x)的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，由t1t1或t3t1，得0t1或2t0时，f(x)的递增区间为(0,1)，递减区间为(1，)；当a0时，f(x)的递增区间为(1，)，递减区间为(0,1)；当a0时，f(x)为常函数.