电磁场数学方法-复变函数论

1、任课教师：任课教师：陈其科陈其科联系方式：联系方式：E_mail： 电电 话：话：61830311总总 学学 时时: 80课时课时教教 材：材：梁昆淼，梁昆淼，数学物理方程数学物理方程（第四版）（第四版）成绩构成（暂定）：成绩构成（暂定）：平时平时20%+半期考试半期考试20% +期末考试期末考试60%电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论第一篇第一篇 复变函数论复变函数论第一篇 复变函数论电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论l 复变函数论是数学中一

2、个复变函数论是数学中一个基本的分支学科基本的分支学科l 研究对象：变量为复数的研究对象：变量为复数的函数函数 l 主要任务：研究复变函数之间的主要任务：研究复变函数之间的相互依赖关系相互依赖关系，具，具体地就是复数域上的体地就是复数域上的微积分微积分。l 应用领域：求解物理学上应用领域：求解物理学上复杂场分布复杂场分布问题问题复数：复数：实数实数和和虚数虚数的总称。的总称。课程意义课程意义第一篇 复变函数论电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论 复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的

3、。 为使为使负数开方负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数虚数”。 到十八世纪，到十八世纪，J.DJ.DAlembertAlembert(1717-1783)(1717-1783)与与L.L.EulerEuler(1707 (1707 -1783)-1783)等人逐步

4、阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题，复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利一些问题，复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。建立和发展。复变函数论发展历程复变函数论发展历程第一篇 复变函数论电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论 复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。 A.L.CauchyA.L.Ca

5、uchy（1789-1866)1789-1866)和和K.WeierstrassK.Weierstrass(1815-1897)(1815-1897)分分别应用积分和级数研究复变函数，别应用积分和级数研究复变函数，G.F.B.RiemannG.F.B.Riemann(1826-1866)(1826-1866)研究复变函数的映射性质。他们是这一时期的三位代表人物。研究复变函数的映射性质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学、流体力学和透到了数学的许多分支，同

6、时，它在热力学、流体力学和电磁电磁学学等方面也得到了很多的应用。等方面也得到了很多的应用。 二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切。切。复变函数论发展历程复变函数论发展历程第一篇 复变函数论电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论复变函数的路径积分方法复变函数的路径积分方法课程核心课程核心电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁

7、场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论 复变函数中许多概念、理论、和方法是复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函实变函数数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处，但又有不同之处。在学习中要善于比较、区之处，但又有不同之处。在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。学习方法学习方法电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论1.2 1.2 复变函数复变函数1.3 1.3 复变函数的导数复变函数的导数1.4 1

8、.4 解析函数解析函数1.1 1.1 复数与复数运算复数与复数运算1.5 1.5 单值函数与多值函数单值函数与多值函数第一章第一章 复变函数复变函数第一篇 复变函数论电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论对于任意两个对于任意两个实数实数x、y，称，称 为复数。为复数。其中：其中：u x称为复数的称为复数的实部实部，u y称为复数的称为复数的虚部虚部，u ,称为称为虚单位虚单位。（一）（一） 复数的概念复数的概念zxyi1i 1.1 1.1 复数与复数运算复数与复数运算Re( )xzIm( )yz1 1、复数定义、复数定义

9、全体复数在引入复数运算法则后，构成复数全体复数在引入复数运算法则后，构成复数域。域。在复数域中，复数没有大小的概念在复数域中，复数没有大小的概念。注：注：第一章 复变函数电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论2 2、复数的模与幅角、复数的模与幅角z( / )arctg y x22xy复数的模复数的模: :复数的辐角复数的辐角: :复数几何表示复数几何表示( , )A x yxyzxyi复数几何意义：复数几何意义： 实部与虚部可与实部与虚部可与平面坐标平面坐标点点建立建立一一对应一一对应关系。关系。复数的复数的三角表示三角表

10、示：cossinzi1.1 1.1 复数与复数运算复数与复数运算cosxsiny（一）（一） 复数的概念复数的概念电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论1 1）当）当z=0z=0时，幅角无意义；时，幅角无意义；( )2Arg zk(0, 1, 2)k arg z其中，满足其中，满足arg z注：注：关于幅角的几点说明：关于幅角的几点说明：2 2）根据三角函数周期性，一个复数有无限多个幅角）根据三角函数周期性，一个复数有无限多个幅角或或0arg2z的幅角称为的幅角称为主幅角主幅角，记做：，记做：1.1 1.1 复数与复数运算

11、复数与复数运算（一）（一） 复数的概念复数的概念电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论3 3、复数的指数表示、复数的指数表示(cossin )ziie欧拉公式：欧拉公式：cossiniei则：则：指数表示指数表示21k ie(2)1kie (23 /2)kiie (2/2)kiie (0, 1,)k 3 3）2 2）4 4）1.1 1.1 复数与复数运算复数与复数运算注：注：1 1）（一）（一） 复数的概念复数的概念电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数

12、论共轭复数：共轭复数：*(cossin )zi(cossin )iie1cos()2iiee1sin()2iieei4 4、 复数的共轭复数的共轭(cossin )ziie1.1 1.1 复数与复数运算复数与复数运算注：注：cossinieicossiniei（一）（一） 复数的概念复数的概念电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论121122()zzxy ixy i（二）复数的运算（二）复数的运算1 1、复数的加减法、复数的加减法1212()()xxyy i1212zzzz1212zzzz1 1）2 2）1.1 1.1 复

13、数与复数运算复数与复数运算注：注：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论121122()()zzxy i xy i2 2、复数的乘法、复数的乘法12121221()()x xy yi x yx y121122iiezez12()12ie 121212cos()sin()i 1212zzzz1212arg()argargzzzz利用复数指数形式进行乘法运算比较简单利用复数指数形式进行乘法运算比较简单指数式：指数式：1.1 1.1 复数与复数运算复数与复数运算（二）复数的运算（二）复数的运算注：注：电子科技大学电子科技大学电磁

14、场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论111222zxy izxy i3 3、复数的除法、复数的除法1212iiee1212211222222222x xy yx yx yixyxy指数式：指数式：12zz12()12ie1122zzzz1122argargargzzzz注：注：利用复数指数形式进行除法运算比较简单利用复数指数形式进行除法运算比较简单1.1 1.1 复数与复数运算复数与复数运算（二）复数的运算（二）复数的运算电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论2*22z zzx

15、y2()()z zzxyi xyi222xyi xy1 1）2 2）*2 Rezzz*2 Imzziz3 3）*1212()zzzz1.1 1.1 复数与复数运算复数与复数运算（二）复数的运算（二）复数的运算注：注：4)4)复数的运算满足交换律、结合律、分配律。复数的运算满足交换律、结合律、分配律。电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论n=wz例：若例：若 ，求，求w。1.1 1.1 复数与复数运算复数与复数运算解：解：=nwz1nn=cos+ sin=nninie=arg +2( =0, 1,2,)而zkk故故 的主幅角

16、有的主幅角有n个，即对应有个，即对应有n个值：个值：n=wzn=kwzargz+2n=(00，若存在若存在 0，使得，使得 时，有时，有0zz0( )f zw则称则称w0为为z z0时极限时极限，计为，计为00lim( )zzf zw 1) z在全平面，在全平面，z z0的方式是任意的的方式是任意的（比实变函数要求更高）1 1、复变函数的极限、复变函数的极限 2) w0是复数是复数. 3) 若若f(z)在处有极限在处有极限,其极限是唯一的其极限是唯一的注：注：1.3 1.3 复变函数的导数复变函数的导数电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法

17、第一篇 复变函数论若若 在在 处连续，则有处连续，则有（一）复变函数的极限与连续性（一）复变函数的极限与连续性若若 时，有时，有00lim( )()zzf zf z ，称，称f(z)在在z0点连续点连续000000( , )(,00( , )(,lim( , )= (,)lim( , )= (,)x yx yx yx yu x yu xyv x yv xy）0zz2 2、复变函数的连续性、复变函数的连续性若若f(z)在区域在区域D内内处处连续处处连续，则称，则称f(z)在区域在区域D D内连续内连续( )( , )+ ( , )f zu x yiv x y000=+zxiy1.3 1.3 复变

18、函数的导数复变函数的导数电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论（二）导数定义与求导（二）导数定义与求导设设w=f(z)是在是在z点及其邻域定义的点及其邻域定义的单值函数单值函数，如果极限，如果极限00()( )limlimzzwf zzf zzz 存在，并且与存在，并且与z0的方式无关的方式无关，则称函数，则称函数w=f(z)在点在点z处处可导可导，该极限值称为函数，该极限值称为函数f(z)在点在点z处的处的导数导数，即，即0()( )( )limzf zzf zdffzzdz 1 1、定义、定义1.3 1.3 复变函数的

19、导数复变函数的导数电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论（二）导数定义与求导（二）导数定义与求导1.3 1.3 复变函数的导数复变函数的导数实变函数中的求导公式和法则可应用于复变函数。实变函数中的求导公式和法则可应用于复变函数。2 2、复变函数的求导法则、复变函数的求导法则1212()wwww121221()w ww ww w11212222()ww ww www( )( )ddF w dwF wdzdwdz1()nnznz()zzee(sin )coszz(cos )sinzz 1(ln )zz电子科技大学电子科技大学电

20、磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论（三）复变函数可导的充要条件（三）复变函数可导的充要条件1.3 1.3 复变函数的导数复变函数的导数00( )()( )limlimxxf xf xxf xxx 实变函数求导：实变函数求导：x沿实数轴趋近沿实数轴趋近0 0复变函数求导：复变函数求导：00( )()( )limlimzzf zf zzf zzz z沿实平面任一沿实平面任一曲线趋近曲线趋近0 0复变函数可导远比实变函数可导要求严格。复变函数可导远比实变函数可导要求严格。电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电

21、磁场数学方法第一篇 复变函数论（三）复变函数可导的充要条件（三）复变函数可导的充要条件1.3 1.3 复变函数的导数复变函数的导数1 1、柯西、柯西- -黎曼条件（黎曼条件（C-RC-R条件）条件）必要条件必要条件 若函数若函数 f(z) 在点在点 z 可导，则可导，则z沿实轴沿实轴(x(x轴轴) )和虚轴和虚轴(y(y轴轴) )趋近于趋近于0 0应相等，即：应相等，即：yixviuzfyx00lim)( xvixuyixviuzfyx00lim)( xviuxy00lim uviyyyiviuyx00lim= = =沿沿x x轴：轴：沿沿y y轴：轴：,uvvuxyxy 柯西柯西- -黎曼条

22、件黎曼条件（C-RC-R条件）条件）电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论（三）复变函数可导的充要条件（三）复变函数可导的充要条件1.3 1.3 复变函数的导数复变函数的导数 柯西柯西-黎曼条件黎曼条件不是不是复变函数可导的充分条件。复变函数可导的充分条件。例：例：证明证明 在在z=0处满足处满足C.R.条件，但在条件，但在z=0处不处不可导。可导。 ( )f zxy证：证：00(,0)(0,0)0lim0zxuuxuxxx 00zuy00zvy00zvx满足满足C.R.C.R.条件条件而令而令 ，则，则ize( )cos

23、sinf z00cossincossinlimlimiizfzee 随随 而变，极而变，极限不存在。限不存在。( , ), ( , )0u x yxy v x y在在z=0处不可导处不可导电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论（三）复变函数可导的充要条件（三）复变函数可导的充要条件1.3 1.3 复变函数的导数复变函数的导数2 2、复变函数可导的充要条件、复变函数可导的充要条件 函数函数 f(z) 在点在点 z 可导的可导的充要条件充要条件是：是： 1） 在点在点z处处存在存在且且连续连续； 2）满足柯西满足柯西-黎曼条件

24、黎曼条件。,uuvvxyxy证明：证明：uuuxyxyvvvxyxyfuiv ()()uuvvxyixyxyxy电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论（三）复变函数可导的充要条件（三）复变函数可导的充要条件1.3 1.3 复变函数的导数复变函数的导数2 2、复变函数可导的充要条件、复变函数可导的充要条件( (续）续）()()uuvvxyixyxyxy()()uvuvixiyxxyy由由C-R条件条件 ,uvvuxyxy ()()uuuufixiyxyyx()()uuixi yxy0limzfuuizxy z该极限为有限值且

25、该极限为有限值且与与z-0z-0的方式无的方式无关关可导。可导。电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论（三）复变函数可导的充要条件（三）复变函数可导的充要条件1.3 1.3 复变函数的导数复变函数的导数3 3、复变函数导数的计算公式、复变函数导数的计算公式0limzdffuuidzzxy vviyx,uvvuxyxy vuiyyuvixyuvixxvuixy电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论 1 1）可导函数的实部与虚部有密切的联系。当）可导函数的

26、实部与虚部有密切的联系。当函数可导时，函数可导时，仅由其实部或虚部即可求得导数仅由其实部或虚部即可求得导数。（三）复变函数可导的充要条件（三）复变函数可导的充要条件1.3 1.3 复变函数的导数复变函数的导数 2 2）利用该条件可以判断函数是否可导。）利用该条件可以判断函数是否可导。注：注： 3 3）复变函数导数求解步骤：）复变函数导数求解步骤：I ) 判别判别u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性偏导数的连续性II ) 验证验证C-R条件条件III) 由实部或虚部求导数：由实部或虚部求导数：3 3、复变函数导数的计算公式、复变函数导数的计算公式（续）（续）电子科技大学电子科技大学电

27、磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论（三）复变函数可导的充要条件（三）复变函数可导的充要条件1.3 1.3 复变函数的导数复变函数的导数4 4、极坐标系中的柯西、极坐标系中的柯西- -黎曼条件黎曼条件 复数的极坐标表示应用广泛，极坐标系中的柯复数的极坐标表示应用广泛，极坐标系中的柯西西- -黎曼条件也有应用价值。黎曼条件也有应用价值。1uv1uv 电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论（三）复变函数可导的充要条件（三）复变函数可导的充要条件1.3 1.3 复变函数的导数复变函

28、数的导数3 3、极坐标系中的柯西、极坐标系中的柯西- -黎曼条件黎曼条件（续）（续）cossinxyuuxuyxy cossinuuxyvvxvyxy cossinvvxycossinvvyxcossinuuyx (sincos )uuuxy (cossin )vvvyx1uv1uv 电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论例：判定函数例：判定函数 平面上何处可导？平面上何处可导？32( )2(3)f zxyi xy32( , )2,( , )3u x yxyv x yxy26,1;1,6uuvvxyxyxy 2yxuvxy

29、（三）复变函数可导的充要条件（三）复变函数可导的充要条件1.3 1.3 复变函数的导数复变函数的导数解：解：由柯西由柯西- -黎曼条件：黎曼条件：1;uvyx 可知：在曲线可知：在曲线 上函数可导。上函数可导。2yx电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论（一）解析函数及其性质（一）解析函数及其性质1.4 1.4 解析函数解析函数1 1、解析函数的定义、解析函数的定义若若w=f(z) 在在z0点点及其邻域及其邻域上处处可导，称上处处可导，称f(z)在在点点z0解析解析若若w=f(z)是是在在区域区域 B上任意点上任意点可导可

30、导，称，称f(z)在在区域区域 B 解析解析 1 1）在）在某个区域某个区域上，函数可导与解析是等价的。上，函数可导与解析是等价的。注注： 2）函数）函数 f(z) 在区域在区域B内解析的内解析的充要条件充要条件是：是： a） 在区域在区域B内内可导且连续可导且连续； b）满足）满足柯西柯西-黎曼条件黎曼条件。( , ), ( , )u x y v x y 3 3）某区域内）某区域内解析函数在该区域必有解析函数在该区域必有任意阶任意阶导数导数电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论例：判定函数例：判定函数 在在z z平面上何

31、处解析？平面上何处解析？32( )2(3)f zxyi xy（三）复变函数可导的充要条件（三）复变函数可导的充要条件1.3 1.3 复变函数的导数复变函数的导数解：解：函数在曲线函数在曲线 上可导。上可导。2yx在在z z平面内处处不解析。平面内处处不解析。电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论例：证明：例：证明：f(z)=ex(cosy+isiny)在复平面上解析在复平面上解析 ，且且f(z)=f(z)。证：证：cos ,sinxxueyveycosxueyxsinxueyy sinxveyxcosxveyy( )fzi

32、xy( )f z在复平面上均一阶偏导连续且满足在复平面上均一阶偏导连续且满足C.R.条件条件解析解析（一）解析函数及其性质（一）解析函数及其性质1.4 1.4 解析函数解析函数cossinxxeyiey电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论定义定义1 1：在某区域上有：在某区域上有连续二阶偏导数连续二阶偏导数，且满足，且满足拉普拉斯方拉普拉斯方程程的函数，称为的函数，称为调和函数调和函数。（一）解析函数及其性质（一）解析函数及其性质1.4 1.4 解析函数解析函数2 2、解析函数的性质、解析函数的性质由由C.R.条件条件u

33、vxyuvyx 前一式对前一式对x 求导，后式对求导，后式对y 求导，相加求导，相加22220uuxy同理同理22220vvxy2222()0uxy2222()0vxy共轭调和函数共轭调和函数定义定义2 2：若两调和函数分别为：若两调和函数分别为同一同一复变函数的复变函数的实部和虚部实部和虚部，则称为则称为共轭调和函数共轭调和函数。电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论（一）解析函数及其性质（一）解析函数及其性质1.4 1.4 解析函数解析函数性质一性质一：若函数：若函数( )f zuiv在区域在区域B B上解析，则上解析

34、，则( , ), ( , )u x y v x y为区域为区域B B上的上的共轭调和函数共轭调和函数。2 2、解析函数的性质、解析函数的性质（续）（续）性质二性质二：若函数：若函数12( , ), ( , )u x yc v x yc在区域在区域B B上解析，则上解析，则( )f zuiv是是相互正交相互正交的两组曲线的两组曲线. .( )f zuiv0uvuvxxyy() ()0 xyxyuuvveeeexyxy证：证：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论（二）解析函数的确定（二）解析函数的确定1.4 1.4 解析函数

35、解析函数 若只给定一个二元调和函数若只给定一个二元调和函数u(x,y)或或v(x,y)，可利用，可利用C.R.条件条件，求，求出其出其共轭调和函数共轭调和函数v(x,y)或或u(x,y)，确定解析函数确定解析函数具体方法：具体方法：设已知设已知 u(x,y)，求求v(x,y)uvxyuvyx vvdvdxdyxyuudvdxdyyx uuvdvdxdyyx全微分式全微分式电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论（二）解析函数的确定（二）解析函数的确定1.4 1.4 解析函数解析函数uuvdvdxdyyx求解方法：求解方法：方

36、法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）方法二、凑全微分显式法方法二、凑全微分显式法方法三、不定积分法方法三、不定积分法电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论例：已知解析函数实部例：已知解析函数实部 u(x,y)=x2-y2，求求 v(x,y)。解：解：故故u为调和函数为调和函数222uy 222ux（二）解析函数的确定（二）解析函数的确定1.4 1.4 解析函数解析函数22220uuxy方法一、曲线积分法方法一、曲线积分法2uvxxyvvdvdxdyxy2uvyyx 22yd

37、xxdy( , )(0,0)(22)x yvydxxdy)0,( x),(yxxy2xyC( ,0)( , )(0,0)( ,0)(22)(22)xx yxydxxdyydxxdyC电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论例：已知解析函数实部例：已知解析函数实部 u(x,y)=x2-y2，求求 v(x,y)。解：解：（二）解析函数的确定（二）解析函数的确定1.4 1.4 解析函数解析函数方法二、凑全微分显式法方法二、凑全微分显式法(2)dyx2vxyC2uvxxyvvdvdxdyxy2uvyyx 22ydxxdy电子科技大学

38、电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论例：已知解析函数实部例：已知解析函数实部 u(x,y)=x2-y2，求求 v(x,y)。解：解：（二）解析函数的确定（二）解析函数的确定1.4 1.4 解析函数解析函数方法三、不定积分法方法三、不定积分法2vyx2vxy对第二式对对第二式对y积分，视积分，视x为参数，则有：为参数，则有：2( )vxdyx2( )xyx2( )vyxx( )0 x( ) xC2vxyC 电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论例：已知解析函数例：

39、已知解析函数f(z)实部实部 ,求求 v(x,y)解：解：化为极坐标求解化为极坐标求解1vu 22222,( )0()xyufxy ( )( , )( , )f zuiv 22224cossinu2cos(2 )32sin(2 )vu22cos(2 ) vvdvdd（二）解析函数的确定（二）解析函数的确定1.4 1.4 解析函数解析函数cos ,sinxy322sin(2 )2cos(2 )dd2sin(2 )d 2sin(2 )vC 1uv1uv 电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论1.5 1.5 单值函数与多值函数单

40、值函数与多值函数单值函数单值函数： 复数平面上点集复数平面上点集E E中的每一个点中的每一个点 , ,均按照某均按照某种映射关系，与种映射关系，与一个一个复数值对应，单值复变函数。复数值对应，单值复变函数。zx iy 多值函数多值函数： 复数平面上点集复数平面上点集E E中的每一个点中的每一个点 , ,均按照某均按照某种映射关系，与种映射关系，与多个多个复数值对应，单值复变函数。复数值对应，单值复变函数。zx iy 电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论1.5 1.5 单值函数与多值函数单值函数与多值函数（一）初等单值函数

41、（一）初等单值函数1、幂函数、幂函数( )nf zz( )nnjnf zze 当当n n是是正整数正整数或或0 0在复平面上解析。在复平面上解析。1010( )(0)nnnwP za za zaa其中2 2、多项式函数、多项式函数在在复平面复平面上解析上解析. .3 3、有理函数、有理函数10100101( )(,0)( )nnnmmma za zaP zwa bQ zb zb zb其中在复平面上在复平面上除使除使Q(z)=0的点外的点外解析解析电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论1.5 1.5 单值函数与多值函数单值函

42、数与多值函数（一）初等单值函数（一）初等单值函数4、指数函数、指数函数(cossin )zx iyxweeeyiy() ez0,因为因为|ez|=|exeiy|=ex0.() 对于实数对于实数z=x(y=0)来说来说,我们定义与通常实指数函数的我们定义与通常实指数函数的定义是一致的定义是一致的.() ez1ez2=ez1+z2. () w=ez在复平面上解析在复平面上解析, 且且.zzdwdeedzdz () 2(0, 1, 2,),zk izee k 电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论由欧拉公式由欧拉公式: : co

43、ssin ,cossin .iieieisin,cos22iiiieeeei由此可得正弦函数、余弦函数由此可得正弦函数、余弦函数: :sin2cos2izizizizeezieez（一）初等单值函数（一）初等单值函数1.5 1.5 单值函数与多值函数单值函数与多值函数5、正、余弦函数、正、余弦函数有有: : 电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论（一）初等单值函数（一）初等单值函数1.5 1.5 单值函数与多值函数单值函数与多值函数性质性质1:1:在复平面上解析在复平面上解析, ,且且sincos ,cossin .ddz

44、zzzdzdz 性质性质2：sinz是奇函数是奇函数,cosz是偶函数是偶函数,它们遵从三角公式它们遵从三角公式22sincos1zz121212121212sin()sincoscossincos()coscossinsinzzzzzzzzzzzz性质性质3：sin z及及cos z以以 为周期为周期.2正弦函数、余弦函数性质：正弦函数、余弦函数性质：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论性质性质4：sinz=0必须且只须必须且只须,0, 1, 2,.znn cosz=0必须且只须必须且只须1,0, 1, 2,.2znn

45、 （一）初等单值函数（一）初等单值函数1.5 1.5 单值函数与多值函数单值函数与多值函数正弦函数、余弦函数性质（续）：正弦函数、余弦函数性质（续）：性质性质5 5：在复数范围内：在复数范围内不再能断定不再能断定|sin| 1,|cos | 1.zz 通过通过sinz, cosz我们可以依照通常的关系定义正切、余切、我们可以依照通常的关系定义正切、余切、正割、余割正割、余割.电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论（二）初等多值函数（二）初等多值函数1.5 1.5 单值函数与多值函数单值函数与多值函数根式函数、对数函数等均为

46、多值函数。根式函数、对数函数等均为多值函数。1 1、根式函数、根式函数wz1arg2111arg +arg222=iziz iizwz ewz ez e=iwz re令=rz11=arg +( =0,1)22Argzz nn即：即：多值函数多值函数电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论造成根式函数造成根式函数 多值的原因：多值的原因：（二）初等多值函数（二）初等多值函数1.5 1.5 单值函数与多值函数单值函数与多值函数考察考察z z的连续变化：的连续变化：(1) z从给定点从给定点z0 出发，对应的值出发，对应的值w从从

47、w0出发；出发；(2) z环绕原点环绕原点(z=0)转一圈回到原处，辐角变为转一圈回到原处，辐角变为0+2，而，而w由由 w0变为变为w1，即，即w从一个单值分支变到另一个单值分支；从一个单值分支变到另一个单值分支；(3) 继续沿逆时针方向绕继续沿逆时针方向绕 z =0 转一圈，转一圈，z再次回到原处，辐角再次回到原处，辐角变为变为 0 + 4，而，而w由由w1 变为变为w0。(4) 如路径未包围原点如路径未包围原点( (z z=0),=0),则则w w始终在同一单值分支中变化，始终在同一单值分支中变化，不会变化到另一分支不会变化到另一分支z的辐角的多值性，即的辐角的多值性，即wzarg2(0

48、,1,2,)Argzzkk电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论2 2、单值分支、单值分支 多值函数的每个值称为单值分支。多值函数的每个值称为单值分支。 如如 的两个单值分支分别为：的两个单值分支分别为：2)2)所有分支值域合起来覆盖整个所有分支值域合起来覆盖整个w平面。平面。（二）初等多值函数（二）初等多值函数1.5 1.5 单值函数与多值函数单值函数与多值函数1)1)单值分支间值域互不交迭。单值分支间值域互不交迭。wz注：注：1arg21izwz e11(arg)arg222izizwz ez e 电子科技大学电子科技

49、大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论（二）初等多值函数（二）初等多值函数1.5 1.5 单值函数与多值函数单值函数与多值函数3 3、支点、支点支点特性支点特性: : 当当z z绕任一包围它的绕任一包围它的路径一周路径一周并回到原处时并回到原处时, , 函数值不复函数值不复原，多值函数值由一个分支变到另一个分支，具有这种性质原，多值函数值由一个分支变到另一个分支，具有这种性质的点称为多值函数的的点称为多值函数的支点支点。显然：显然：z=0，z=均为均为 的支点。的支点。wz 若若z绕支点绕支点n周后，函数值周后，函数值w复原，则称该复原，则称

50、该支点为支点为n-1n-1阶支点阶支点。注：注：电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论例： 的割缝：其支点为 z =0， z = （二）初等多值函数（二）初等多值函数1.5 1.5 单值函数与多值函数单值函数与多值函数4 4、支割线、支割线 在两个支点之间作割缝，并规定：在两个支点之间作割缝，并规定：z z在连续变化的过程中在连续变化的过程中不能跨越割缝，该割缝所在位置称为割线。不能跨越割缝，该割缝所在位置称为割线。 从从z=0出发，沿出发，沿x轴正方向作一割缝至轴正方向作一割缝至z=。此时，。此时，z无无论在平面上怎样变

51、化都不可能绕论在平面上怎样变化都不可能绕 z= 0或或 z =转一圈，则辐转一圈，则辐角的变化范围在角的变化范围在2之内，由此可知，之内，由此可知，w 的值必在一个单值的值必在一个单值分支之内。分支之内。wz电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论（二）初等多值函数（二）初等多值函数1.5 1.5 单值函数与多值函数单值函数与多值函数5 5、黎曼面、黎曼面 中，中，z z的第一圈和第二圈分别在的第一圈和第二圈分别在“不同的不同的”复数平复数平面上运行，即将面上运行，即将z z平面分为两叶平面。平面分为两叶平面。wz为了将各个

52、分支作为整体来研究：为了将各个分支作为整体来研究： (1)(1)第一页的下岸与第二页的上第一页的下岸与第二页的上岸岸=2=2粘合在一起粘合在一起; ; (2) (2)第二页的下岸与第一页的上第二页的下岸与第一页的上岸岸= 0= 0粘合在一起。粘合在一起。 形成的面称为黎曼面。形成的面称为黎曼面。电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论（二）初等多值函数（二）初等多值函数1.5 1.5 单值函数与多值函数单值函数与多值函数6 6、几个常见多值函数、几个常见多值函数1）对数函数）对数函数Lnz定义：若定义：若 ，则称，则称 为为

53、 的对数函数，记为的对数函数，记为wzewzwLnz注：注： 时，时， 未定义。未定义。0z Lnz令令:,izrewuivwzeiu ivuivreeee(2)uivikereelnln2urzvA gkr zlnLnzuivziArgzln(arg)0, 1, 22rizkk电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论（二）初等多值函数（二）初等多值函数1.5 1.5 单值函数与多值函数单值函数与多值函数6 6、几个常见多值函数、几个常见多值函数2）一般幂函数）一般幂函数定义：定义：当：当 时，为幂函数时，为幂函数单值解析函

54、数单值解析函数 anawz(awza为复常数)：当：当 时，为时，为1/annwz：其他情况时：其他情况时：aaLnzwze时有意义。时有意义。0z 由于由于 具有多值性，故函数也具有多值性。具有多值性，故函数也具有多值性。Lnz电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论（二）初等多值函数（二）初等多值函数1.5 1.5 单值函数与多值函数单值函数与多值函数6 6、几个常见多值函数、几个常见多值函数3）一般指数函数）一般指数函数定义：定义：zwa(zwaa为复常数)nzL ae由于由于 具有多值性，故函数也具有多值性。具有多值

55、性，故函数也具有多值性。Lna电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论（二）初等多值函数（二）初等多值函数1.5 1.5 单值函数与多值函数单值函数与多值函数6 6、几个常见多值函数、几个常见多值函数例：求例：求解：解：?ii iiLniie(ln1)iiArgie2)2(ke(0, 1, 2,)k 例：求例：求12?i解：解：1222 22iiiLne(ln22)2iike 2ln22kiee22cos(ln2)(sinln2)kei电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方

56、法第一篇 复变函数论2.2 2.2 柯西定理柯西定理2.3 2.3 不定积分不定积分2.1 2.1 复变函数的积分复变函数的积分第二章第二章 复变函数的积分复变函数的积分第一篇 复变函数论2.4 2.4 柯西公式柯西公式电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论 设：设：(1) 连续连续复变函数复变函数（一）复变函数积分定义（一）复变函数积分定义2.1 2.1 复变函数的积分复变函数的积分( ),wf zzD (2) C为为区域区域D内一条内一条AB的的有向有向光滑路径。光滑路径。 (3) 将将C划任意分成划任意分成n个小段，

57、端点为个小段，端点为z0， z z1 1，, ,z zn n。 (4) 在每一小段在每一小段z zk-1k-1，z zk k上，任取上，任取k，做乘积做乘积 。1()()kkkfzz (5) 做和式做和式 。11()()nkkkkSfzz 若：无论如何分割若：无论如何分割C，极限，极限11lim()()nkkknkfzz存在存在，且且与与k选取选取无关无关，则称此极限为，则称此极限为 沿沿C从从A到到B的的路积分路积分( )f z电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论（二）复变函数积分的计算公式（二）复变函数积分的计算公式

58、2.1 2.1 复变函数的积分复变函数的积分11( )lim()()nkkkcnkf z dzfzz 复变函数的路积分可以归结为两个实变函数的线积分。因此实变函数线积分的很多性质可以应用到复变函数中。 函数积分表示为：函数积分表示为： 由于由于 ，则，则,( )( , )( , )kkkzxiyf zu x yiv x y( ) ( , )( , ) ()kkccf z dzu x yiv x y d xiy( , )( , )( , )( , )ccu x y dxv x y dyiv x y dx u x y dy电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方

59、法电磁场数学方法第一篇 复变函数论例：计算积分例：计算积分Relzdz分别沿路径分别沿路径(1)(1)和和(2),(2),如图如图解：解：路径路径(1)(1)RezxRellzdzxdxixdy由此可见，对于有些被积函数而言，积分与路径有关Relzdz11000idyxdx12路径路径(2)(2)Rellzdzxdxixdy11001xdxi dy12i), 1 ( iAxy1i(1)(1)(2)(2)OB2.1 2.1 复变函数的积分复变函数的积分010101xyyxxdxixdyxdxixdy ( )( , )( , )( , )( , )cccf x dzu x y dxv x y dy

60、iv x y dx u x y dy电子科技大学电子科技大学电磁场数学方法课程组电磁场数学方法课程组电磁场数学方法电磁场数学方法第一篇 复变函数论2.2 2.2 柯西定理柯西定理 柯西定理揭示了复变函数的柯西定理揭示了复变函数的积分值与积分路径的关系积分值与积分路径的关系。（一）单通区域柯西定理（一）单通区域柯西定理 若函数若函数 在在闭单连通区域闭单连通区域 上解析，上解析， 为区域内任意分段光为区域内任意分段光滑闭合曲线（也可为滑闭合曲线（也可为 边界曲线），则有边界曲线），则有( )f zBlB( )=0lf z dz( )( , )( , ) ( , )( , )llf z dzu x