《高等数学》10-4第一型面积分

1、 高等数学（下）高等数学（下） 河海大学理学院河海大学理学院整理课件第五节 第一型曲面积分 dSzyxf),(:外外形形上上 高等数学（下）高等数学（下）整理课件一、问题的提出 若若曲曲面面 是是光光滑滑的的, 它它的的面面密密度度为为连连续续函函数数),(zyx , 求求它它的的质质量量.实例实例 所谓曲面光滑即所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切曲面上各点处都有切平面平面, ,且当点在曲面且当点在曲面上连续移动时上连续移动时, ,切平切平面也连续转动面也连续转动. . 高等数学（下）高等数学（下）整理课件二、对面积的曲面积分的定义 设设曲曲面面 是是光光滑滑的的, , 函函数数),(zyxf在

2、在 上上有有界界, , 把把 分分成成n小小块块iS （iS 同同时时也也表表示示第第i小小块块曲曲面面的的面面积积）, ,设设点点),(iii 为为iS 上上任任意意取取定定的的点点, ,作作乘乘积积 ),(iiif iS , , 4步步:划分划分,取点作乘积取点作乘积,求和求和,取极限取极限. 高等数学（下）高等数学（下）整理课件即即 dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 记记为为 dSzyxf),(.则则及及可可分分为为分分片片光光滑滑的的曲曲面面若若,21 叫叫被被积积函函数数，其其中中),(zyxf.叫叫积积分分曲曲面面 其它性质同定积分其它性质同定积分, ,重重积分

3、如积分如线性线性, 高等数学（下）高等数学（下）整理课件三、计算法;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(xyDyxyxzz ),(),(:. 1若若曲曲面面则则按照曲面的不同情况分为以下三种：按照曲面的不同情况分为以下三种：(一投二代一投二代) xyD是是 在在XOY面上的投影面上的投影 高等数学（下）高等数学（下）整理课件),(. 2zxyy ：若若曲曲面面则则 dSzyxf),(;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx ),(. 3zyxx ：若若曲曲面面则则 dSzyxf),(.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy 高等数学（下）高等

4、数学（下）整理课件例例1 1 积积分分曲曲面面 ：yz 5 ,解解投投影影域域 ：25| ),(22 yxyxDxy 高等数学（下）高等数学（下）整理课件 dszyx)(故故 xyDdxdyx)5(2Ddxdy25.2125 dxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy 高等数学（下）高等数学（下）整理课件例例 2 2 计计算算dSxyz |,其其中中 为为抛抛物物面面 22yxz （10 z）.解解依对称性知：依对称性知：被被积积函函数数| xyz关关于于 y、x 是是偶偶函函数数. 面对称，、关于抛物面yozxozyxz22有有 14成成立立，(1 为为第第一一卦卦限限部

5、部分分曲曲面面)xyz 高等数学（下）高等数学（下）整理课件dxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 原式原式dSxyz |dSxyz 14dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 其其中中1| ),(22 yxyxDxy, 0, 0 yx 高等数学（下）高等数学（下）整理课件 利利用用极极坐坐标标 trxcos , trysin ,rdrrrttrdt 102222041sincos4 drrrtdt21050412sin22 令令241ru duuu251)41(41 .42015125 高等数学（下）高等数学（下）整理课件 计计算算 xdS, 其其中中 是

6、是圆圆柱柱面面 122 yx,平平面面2 xz及及0 z所所围围成成的的空空间间立立体体的的表表面面.例例3 3 高等数学（下）高等数学（下）整理课件解解 321 其其中中1 ：0 z,2 ：2 xz,3 ：122 yx.投影域投影域1D：122 yx 显显然然 011 DxdxdyxdS, 01112 DdxdyxxdS3 122 yx：能否投到能否投到XOY面上面上? 高等数学（下）高等数学（下）整理课件讨讨论论3 时时, 将将投投影影域域选选在在xoz上上.（注注意意：21xy 分分为为左左、右右两两片片） 3xdS 31xdS 32xdS（左右两片投影相同）（左右两片投影相同） xzD

7、zxdxdzyyx2212 高等数学（下）高等数学（下）整理课件 xzDdxdzxxx22112 1120212xdzdxxx, xdS 00. 高等数学（下）高等数学（下）整理课件例例4 4解解关关于于 x、y、z 均均为为偶偶函函数数 , (其其中中1 表表示示第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)dSzyxM),( 质质量量dSdm 高等数学（下）高等数学（下）整理课件1 ：azyx , 即即yxaz dxdyzzdSyx221 dxdy3 dSzyx)(222 1)(8222dSzyxdxdyyxayxxyD 3)(8222.324a 高等数学（下）高等数学（下）整理课件四、小结2、对面积

8、的曲面积分的解法是将其化为投影、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算域上的二重积分计算(一投二代一投二代).1、 对面积的曲面积分的概念对面积的曲面积分的概念; dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 （按照曲面的不同情况分为三种）（按照曲面的不同情况分为三种）3、物理应用、物理应用:同定积分同定积分. 高等数学（下）高等数学（下）整理课件4转动惯量元4重心坐标dSdI 2距离距离),(zyx dSzMzdSyMydSxMx 1,1,1 高等数学（下）高等数学（下）整理课件思考题思考题1 设曲面设曲面：x x2 2y y2 2z z2 2a a2 2，rdSzyxr则,222思考题思考题2设曲面设曲面：x x2 2y y2 2z z2 22ax2ax，dSzyx)(222求 高等数学（下）高等数学（下）整理课件解答解答是曲面元的面积是曲面元的面积,dS2211),cos(yxzzzn 221yx