数学建模实例

1、微分方程模型微分方程模型二、微分方程模型二、微分方程模型三、微分方程案例分析三、微分方程案例分析一、微分方程建模简介一、微分方程建模简介四、微分方程的四、微分方程的MATLABMATLAB求解求解五、微分方程综合案例分析五、微分方程综合案例分析微分方程是研究变化规律的有力工具，在科微分方程是研究变化规律的有力工具，在科技、工程、经济管理、生态、环境、人口和技、工程、经济管理、生态、环境、人口和交通各个领域中有广泛的应用。交通各个领域中有广泛的应用。不少实际问题当我们采用微观眼光观察时都不少实际问题当我们采用微观眼光观察时都遵循着下面的模式：遵循着下面的模式：净变化率输入率输出率（守恒原理）净变

2、化率输入率输出率（守恒原理）一、微分方程模型简介一、微分方程模型简介引例一引例一在凌晨在凌晨1时警察发现一具尸体，测得尸体温度是时警察发现一具尸体，测得尸体温度是29oC，当时环境的温度是，当时环境的温度是21oC。1h后尸体温度下后尸体温度下降到降到27oC，若人体的正常温度是，若人体的正常温度是37oC，估计死者，估计死者的死亡时间。的死亡时间。解：设解：设T(t)为死者在被杀害后为死者在被杀害后t时刻尸体的温度；时刻尸体的温度；k为比例系数。由牛顿冷却定律，得为比例系数。由牛顿冷却定律，得)(0TTkdtdT则通解为则通解为21ktCeT由已知，由已知，由由4094. 2t因此死者大约是

3、在前一天的夜晚因此死者大约是在前一天的夜晚10:35被害的。被害的。27) 1(,29)(,37)0(tTtTT可得微分方程的特解：可得微分方程的特解：213416)(ttT29)(tT，代入解得，代入解得图图 1尸体的温度尸体的温度下降曲线下降曲线建立微分方程的常用方法建立微分方程的常用方法1、按变化规律直接列方程，如：、按变化规律直接列方程，如： 利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，如牛顿第二定律，放射性物质的放射规律等。对某些实际问题如牛顿第二定律，放射性物质的放射规律等。对某些实际问题直接列出微分方程直接列出微分方程2

4、、利用微元分析方法建模、利用微元分析方法建模 根据已知的规律或定理，通过寻求微元之间的关系式得出根据已知的规律或定理，通过寻求微元之间的关系式得出微分方程。微分方程。3、模拟近似法，如：、模拟近似法，如： 在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚，而且现象也相当复杂，因而需根据实际资料或大量的实验楚，而且现象也相当复杂，因而需根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设，在一定的假设下，给出实际现象所满足数据，提出各种假设，在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法得出微分方程。的规律，然后利用适当的数学方法得出

5、微分方程。微分方程的建模步骤微分方程的建模步骤1、翻译或转化：、翻译或转化： 在实际问题中许多表示导数的常用词，如在实际问题中许多表示导数的常用词，如“速率速率”、增长增长”(在生物学以及人口问题研究中在生物学以及人口问题研究中)，“衰变衰变”(在放射性问题中在放射性问题中)，以及，以及“边际的边际的”(在经在经济学中济学中)等等 2、建立瞬时表达式：、建立瞬时表达式： 根据自变量有微小改变根据自变量有微小改变t时，因变量的增时，因变量的增量量W，建立起在时段，建立起在时段t上的增量表达式，令上的增量表达式，令t 0，即得到，即得到 的表达式的表达式dtdW二、微分方程模型二、微分方程模型3、

6、配备物理单位：、配备物理单位： 在建模中应注意每一项采用同样的物理单位在建模中应注意每一项采用同样的物理单位 4、确定条件：、确定条件： 这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。案例案例1：一位女士每天摄入：一位女士每天摄入2500cal食物，食物，1200cal用于基本新陈代谢用于基本新陈代谢(即自动消耗

7、即自动消耗)，并以每千克体，并以每千克体重消耗重消耗16cal用于日常锻炼，其他的热量转变为身用于日常锻炼，其他的热量转变为身体的脂肪（设体的脂肪（设10000cal可转换成可转换成1kg脂肪）。星期脂肪）。星期天晚上，该女士的体重是天晚上，该女士的体重是57.1526kg，星期四那天，星期四那天她饱餐了一顿，共摄入了她饱餐了一顿，共摄入了3500cal的食物，要求建的食物，要求建立一个通过时间预测体重的数学模型，并用它估立一个通过时间预测体重的数学模型，并用它估计：计：（1）星期六该女士的体重？）星期六该女士的体重？（2）为了不增重，每天她最多的摄入量是多少？）为了不增重，每天她最多的摄入量

8、是多少？（3）若不进食，）若不进食，N周后她的体重是多少？周后她的体重是多少？二、微分方程案例分析二、微分方程案例分析解解1、翻译或转化：、翻译或转化：2、配备物理单位：、配备物理单位：3、建立表达式：、建立表达式：4、确定条件：、确定条件：1、“每天每天”：体重的变化输入一输出：体重的变化输入一输出 其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量 吸收；输出是进行健身训练时的消耗吸收；输出是进行健身训练时的消耗2、上述陈述更好的表示结构式：、上述陈述更好的表示结构式： 取天为计时单位，记取天为计时单位，记W(t)为为t天时体重天时体重(kg)，则：，则： 每

9、天的净吸收量每天的净吸收量2500 1200 1300（cal) 每天的净输出量每天的净输出量16(cal)W16W(cal) 转换成脂肪量转换成脂肪量1300 16W（cal）3、体重的变化天、体重的变化天 (千克天千克天)tWdtdWt01、翻译或转化：、翻译或转化：2、配备物理单位：、配备物理单位：3、建立表达式：、建立表达式：4、确定条件：、确定条件： 有些量是用能量有些量是用能量(cal)的形式给出的，而另外的形式给出的，而另外一些量是用重量的形式一些量是用重量的形式(cal)给出，考虑单位给出，考虑单位的匹配，利用的匹配，利用单位匹配单位匹配100001calkg 1、翻译或转化：

10、、翻译或转化：2、配备物理单位：、配备物理单位：3、建立表达式：、建立表达式：4、确定条件：、确定条件：建立表达式建立表达式1000016)12002500(WdtdW积分后可求得其通解为：积分后可求得其通解为：（1）当）当 时，每天体重的变化：时，每天体重的变化：03t 0.00161( )81.25tW tC e初始条件为：初始条件为：，代入解出，代入解出124.0974C 则则0.0016( )81.2524.0974tW te(3)57.26799Wkg1526.570W(3500 1200) 1610000dWWdt(3)57.26799W积分后可求得其通解为：积分后可求得其通解为：

11、（2）当）当 时，每天体重的变化：时，每天体重的变化：34t 0.00162( )143.75tW tC e初始条件为：初始条件为：，代入解出，代入解出286.89812C 则则0.0016( )81.25 86.89812tW te(4)57.40625Wkg(2500 1200) 1610000dWWdt(4)57.40625W积分后可求得其通解为：积分后可求得其通解为：（2）当）当 时，食物的摄入量恢复正常时，食物的摄入量恢复正常4t 0.00163( )81.25tW tC e初始条件为：初始条件为：，代入解出，代入解出323.9968C 则则0.0016( )81.2523.9968

12、tW te0.00160.00160.001681.2524.0974,03( )143.7586.8981,3481.2523.9968,4tttetW tetet 最后得到不同阶段的微分方程是：最后得到不同阶段的微分方程是：6t (16)/100000dWbWdt（1） 代入对应方程，求得代入对应方程，求得现回答上述问题现回答上述问题(6)57.48247Wkg（2）要满足体重不增，即）要满足体重不增，即所以所以1616 57.1256914bW因此每天总卡路里摄取量是因此每天总卡路里摄取量是1200+9142114cal0.0016dWWdt 0.00160.0016( )(0)57.1

13、526ttW tWee(cal)（3）由于每天不摄取能量，所以）由于每天不摄取能量，所以解得解得因此，因此，n周后的体重为周后的体重为0.0016 7(7 )57.1526nWne案例案例2 在一个巴基斯坦洞穴里，发现了具有古代在一个巴基斯坦洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家们把它们带尼安德特人特征的人骨碎片，科学家们把它们带到实验室，作碳到实验室，作碳14年代测定。分析表明年代测定。分析表明C14与与C12的的比例仅仅是活组织内的比例仅仅是活组织内的6.24，此人生活在多少年，此人生活在多少年前？前？（碳（碳14年代测定：活体中的碳有一小部分是放射性同位素年代测定：活体中

14、的碳有一小部分是放射性同位素C14。这种放射性碳是由于宇宙射线在高层大气中的撞击引。这种放射性碳是由于宇宙射线在高层大气中的撞击引起的，经过一系列交换过程进入活组织中，直到在生物体起的，经过一系列交换过程进入活组织中，直到在生物体中达到平衡浓度。这意味着在活体中，中达到平衡浓度。这意味着在活体中，C14的数量与稳定的的数量与稳定的C12的数量成定比。生物体死亡后，交换过程就停止了，放的数量成定比。生物体死亡后，交换过程就停止了，放射性碳便以每年八千分之一的速度减少）射性碳便以每年八千分之一的速度减少）（1 1）问题分析与模型的建立）问题分析与模型的建立1、放射性衰变的这种性质还可描述为、放射性

15、衰变的这种性质还可描述为“放射性物放射性物质在任意时刻的衰变速度都与该物质现存的数量质在任意时刻的衰变速度都与该物质现存的数量成比例成比例”。而。而C14的比例数为每年八千分之一。的比例数为每年八千分之一。2、碳、碳14年代测定可计算出生物体的死亡时间；所年代测定可计算出生物体的死亡时间；所以，我们问题实际上就是：以，我们问题实际上就是：“这人死去多久了？这人死去多久了？”若设若设t为死后年数，为死后年数，y(t)为比例数，则为比例数，则y(t)=C14/C12(mgC14/mgC12)，则上文中最后一句话就给出了我，则上文中最后一句话就给出了我们的微分方程，单位为们的微分方程，单位为mgC1

16、4/mgC12/yr(与关键词与关键词“速率速率”相当相当)8000dyydt （2 2）解）解微分方程的通解为：微分方程的通解为：8000tyke由初始条件由初始条件0ky，故有，故有80000tyy e由问题，当由问题，当00.0624yy8000000.0624tyy e，代入原方程，代入原方程8000ln0.062422400t （年）案例案例3、追线问题、追线问题 我缉私舰雷达发现，在其正西方距我缉私舰雷达发现，在其正西方距c海里处海里处有一艘走私船正以匀速度有一艘走私船正以匀速度a沿直线向北行驶，缉沿直线向北行驶，缉私舰立即以最大的速度私舰立即以最大的速度b追赶，若用雷达进行跟追赶

17、，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐路线和追上的时间。求缉私舰追逐路线和追上的时间。图图2 走私船与缉私舰的位置关系走私船与缉私舰的位置关系(c,0)xD(x,y)走私船走私船R(0,at)缉私艇缉私艇O几何关系几何关系atydxdyxxatytgdxdy即如何消去时间t?1、求导：2、速度与路程的关系：3、分解 得： （这里有负号是因为s随x的减小而增大）4、将第2、3步代入第1步，可得模型dtdsb dxdt追线模型：追线模型：模型的解：模型的解：0)(,0)(1222cycydxdykdxydx1( )0,/2k

18、kdyxcpy ckb adxcx解的进一步讨论解的进一步讨论112112 111kkcxxckykckck（1）若）若ab，从而，从而kb，即，即k1，显然缉私舰也不可能追上走私船。，显然缉私舰也不可能追上走私船。 如图所示一个容量为如图所示一个容量为2000m3的小湖的示的小湖的示意图，通过小河意图，通过小河A水以水以0.1m3/s的速度流入，的速度流入，以相同的流量湖水通过以相同的流量湖水通过B流出。在上午流出。在上午11:05时，因交通事故一个盛有毒性化学物质的容时，因交通事故一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，图中器倾翻，图中X点处注入湖中。在采取紧急点处注入湖中。在采取紧急措施后，于措

19、施后，于11:35事故得到控制，但数量不详事故得到控制，但数量不详案例案例4 湖泊污染问题湖泊污染问题的化学物质的化学物质Z已泻入湖中，初步估计已泻入湖中，初步估计Z的量在的量在520m3之间。之间。建立一个模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化建立一个模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化并估计：并估计：（1）湖水何时到达污染高峰；）湖水何时到达污染高峰；（2）何时污染程度可降至安全水平）何时污染程度可降至安全水平(0.05%)图图3 小湖示意图小湖示意图湖泊污染问题分析湖泊污染问题分析 设湖水在设湖水在t时的污染程度为时的污染程度为C(t)，即每立方米受污染的水中含有即每立方米受污

20、染的水中含有Cm3的化学物质和的化学物质和(1-C)m3的清洁水。用的清洁水。用分钟作为时间分钟作为时间t的单位。在的单位。在0tk（药物未吸收完前，输入速率通常总大于分解与（药物未吸收完前，输入速率通常总大于分解与排泄速率），但也有例外的可能（与药物性质及机体对该药物的吸收、分解排泄速率），但也有例外的可能（与药物性质及机体对该药物的吸收、分解能力有关）。当能力有关）。当k1k时，体内药物量均很小，这种情况在医学上被称为触发时，体内药物量均很小，这种情况在医学上被称为触发翻转（翻转（flip-flop）。当）。当k1=k时时，对固定的，对固定的t，令，令kk1取极限（应用罗比达法取极限（应用

21、罗比达法则），可得出在这种情况下的血药浓度为：则），可得出在这种情况下的血药浓度为： 11( )k tk DC tteV 如下图给出了上述三种情况下体内血药浓度的变化曲线。如下图给出了上述三种情况下体内血药浓度的变化曲线。容易看出，快速静脉注射能使血药浓度立即达到峰值，常用于容易看出，快速静脉注射能使血药浓度立即达到峰值，常用于急救等紧急情况；口服、肌注与点滴也有一定的差异，主要表急救等紧急情况；口服、肌注与点滴也有一定的差异，主要表现在血药浓度的峰值出现在不同的时刻，血药的有效浓度保持现在血药浓度的峰值出现在不同的时刻，血药的有效浓度保持时间也不尽相同，（注：为达到治疗目的，血药浓度应达到某

22、时间也不尽相同，（注：为达到治疗目的，血药浓度应达到某一有效浓度，并使之维持一特定的时间长度）。一有效浓度，并使之维持一特定的时间长度）。房室系统房室系统 我们已求得三种常见给药方式下的血药浓度我们已求得三种常见给药方式下的血药浓度C(t)，当然也容，当然也容易求得血药浓度的峰值及出现峰值的时间，因而，也不难根据易求得血药浓度的峰值及出现峰值的时间，因而，也不难根据不同疾病的治疗要求找出最佳治疗方案。不同疾病的治疗要求找出最佳治疗方案。 国家质量监督检验检疫局国家质量监督检验检疫局2004年年5月月31日发布了新的日发布了新的车辆驾驶人员血液、呼气车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验酒精含

23、量阈值与检验国家标准，新标准国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于于或等于20毫克百毫升，小于毫克百毫升，小于80毫克毫克百毫升为饮酒驾车（原标准是小于百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克毫克百毫升），血液中的酒精含量大于或等百毫升），血液中的酒精含量大于或等于于80毫克百毫升为醉酒驾车（原标准是毫克百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于大于或等于100毫克百毫升）。毫克百毫升）。 五、微分方程综合案例分析五、微分方程综合案例分析 大李在中午大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午点喝了一瓶啤酒，下午6点检点检查时符合新的驾车标准，紧接着他

24、在吃晚饭查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？ 请你参考下面给出的数据（或自己收集资请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，对大李碰到的情况做出解释对大李碰到的情况做出解释.参考数据参考数据1. 人的体液占人的体重的人

25、的体液占人的体重的65%至至70%，其中血液只占，其中血液只占体重的体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。含量与在体液中的含量大体是一样的。2. 体重约体重约70kg的某人在短时间内喝下的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克百毫一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克百毫升），得到数据如下：升），得到数据如下： 时间时间(小时小时) 0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量酒精含量306875828277686858515041时间时间(小时小时)67891

26、0111213141516酒精含量酒精含量3835282518151210774问题分析问题分析一个人的血中酒精含量取决于他喝了多少酒、他体内原有的酒一个人的血中酒精含量取决于他喝了多少酒、他体内原有的酒精含量以及喝酒方式等。由科普知识知道，酒精是经胃肠精含量以及喝酒方式等。由科普知识知道，酒精是经胃肠（主要是肝脏）的吸收与分解进体液的。因此本文把酒精（主要是肝脏）的吸收与分解进体液的。因此本文把酒精的从胃肠（含肝脏）向体液转移情况用如下简图直观地表的从胃肠（含肝脏）向体液转移情况用如下简图直观地表示：示： k11为酒精从胃肠渗透到（除体液外）其它地方的速率系数；为酒精从胃肠渗透到（除体液外）

27、其它地方的速率系数； k12为酒精从胃肠进入体液的速率系数；为酒精从胃肠进入体液的速率系数； k21为酒精在体液中消耗（向外排除或分解或吸收）的速率系数；为酒精在体液中消耗（向外排除或分解或吸收）的速率系数； f(t)为酒精进入胃肠的速率。为酒精进入胃肠的速率。 由题意，参照房室模型，可建立如下微分方程组：由题意，参照房室模型，可建立如下微分方程组：111 112112 121 1xk xk xyk xk y（1）大李在中午）大李在中午12点喝一瓶啤酒时，即在点喝一瓶啤酒时，即在t=0时，胃肠中的酒精量时，胃肠中的酒精量x1(0)为一瓶酒中的酒为一瓶酒中的酒精精a与饮酒瓶数与饮酒瓶数N的乘积的

28、乘积Na，而此时体液中，而此时体液中的酒精量的酒精量y1(0)为为0。因此初始条件为。因此初始条件为 11(0)(0)0 xNay体液（或血液）中的酒精的浓度为体液（或血液）中的酒精的浓度为1( )( )y tC tV（2）大李第二次喝酒时胃肠和体液中已经有）大李第二次喝酒时胃肠和体液中已经有酒精，所以在第二次喝酒即酒精，所以在第二次喝酒即t=0时胃肠中的时胃肠中的酒精量酒精量 x2(0)为为N瓶酒中的酒精质量瓶酒中的酒精质量Na与第与第一次喝酒后残留在胃肠中的酒精质量一次喝酒后残留在胃肠中的酒精质量x1(T1)之和，而此时体液中的酒精量之和，而此时体液中的酒精量y1(0)为第一为第一次喝酒后

29、残留在胃肠中的酒精质量次喝酒后残留在胃肠中的酒精质量y1(T1)，因此大李第二次喝酒的模型如下：因此大李第二次喝酒的模型如下： 211212221222122112112(0)( )(0)( )( )( )xk xk xyk xk yxx TaNyy Ty tC tV 解以上微分方程组，得解以上微分方程组，得 1112()1kktxNae111221()121111221()kktk tNakyeekkk 1112kk21k12ak令令，解可转化为解可转化为1txNae1()ttNyeeN2，运用最小二乘拟合法，求解得，运用最小二乘拟合法，求解得2.1800.175554468作图如下：作图如

30、下：将以上数据代入问题一的模型中，可求得大李将以上数据代入问题一的模型中，可求得大李在中午在中午12点饮一瓶啤酒，即点饮一瓶啤酒，即N=1时，到下午时，到下午6点第一次检查时体液中的酒精含量（即血点第一次检查时体液中的酒精含量（即血液中的酒精含量）液中的酒精含量） 1(6)(6)19.961620yCV所以大李通过了第一次检查。所以大李通过了第一次检查。大李第二次喝酒模型的方程解为：大李第二次喝酒模型的方程解为： 12(1)TtxaNee考虑到大李在下午考虑到大李在下午6点接受检查，之后由于停点接受检查，之后由于停车等待等原因耽误了大约半个小时，假设大李车等待等原因耽误了大约半个小时，假设大李

31、从第一次检验到第二次喝酒之间间隔从第一次检验到第二次喝酒之间间隔0.5小时，小时，代入数据计算可得第二次检验时，大李血液中代入数据计算可得第二次检验时，大李血液中酒精含量为：酒精含量为：20.2448 (毫克毫克/百毫升百毫升)。这就解。这就解释了大李在第一次喝酒通过检查，第二次喝同释了大李在第一次喝酒通过检查，第二次喝同样的酒且经过更长的时间检查却被定为饮酒驾样的酒且经过更长的时间检查却被定为饮酒驾车的情况，因为第二次喝酒时有第一次喝酒的车的情况，因为第二次喝酒时有第一次喝酒的残留量。残留量。 112(1)(1)TTttNyeeee问题及其背景 降落伞何时张开好 分 析 我们主要关心什么呢？

32、是跳伞者的落 地速度和在空中的停留时间。因此我们首先要考虑跳伞者的降落速度，它是时间的函数。跳伞者（包括降落伞，下同）在降落过程中主要受到重力和空气阻力的作用以及气流运动的影响，一般所受到的空气阻力与降落速度成正比。因为我们主要关心一般情况下降落速度的垂直分量变化情况，可以忽略水平分量，不考虑气流运动的影响，只考虑其作垂直降落运动。 根据牛顿运动学第二定律以及加 速度是速度关于时间的导数，我们 就能列出降落速度满足的微分方程。虽然张伞前后跳伞者所受到的空气阻力的情况差别较大，但可认为仅是所受空气阻力与降落速度的比例系数不同而已，这样，如果忽略张伞时间，可以分张伞前和张伞后来建立类似的模型。下面

33、主要建立张伞后的模型。 跳伞者（包括降落伞）在降落过程中只受到重力和空气阻力的作用，只作垂直降落运动。所受到的空气阻力的大小与降落速率成正比，比例系数是与时间无关的常数，设为k。张伞时刻为t=0，此时降落速率为v0。模型的建立 设跳伞者（包括降落伞）的质量为 m重力加速度为g，降落速度为v由Newton力学第二定律，可得：00dd|tvmmgkvtvv，即 00dd|tvkvgtmvv这就是跳伞者的降落速度满足的数学模型，这是一个常微分方程的初值问题。模型的求解 如何求解这个模型呢？注意到ddd()()()dddkkkkttttmmmmvkmgevevegettmtk即d()0dkkttmmm

34、ge vetk，我们有kkttmmmge veCk其中C为任意常数。将定解条件00|tvv代入，即得0mgCvk因此，模型的解为：0( )()ktmmgmgv tvekk模型解的分析和应用 因为lim ( )tmgv tk，随着时间的增大，降落速度( )v t将很快趋于常值mgk落地有足够的时间，那么落地时的降落dmgvk。 。如果从张伞到速度约等于k的大小与伞张开时伞面的形状和有效面积有关，考虑安全等原因，张伞经过10秒后约下降速度约6.0000076米/秒，通常设计降落伞使得6dv ，若6,dv 9.8g 0100v 米/秒，117.55米，此时降落已非常接近6米/秒的速度。所以，一个经过

35、一定训练的跳伞者，若从离地面8000米的高空跳伞，即使离地面只有几百米时才张开伞，也能安全着地，而这和刚跳落时就张伞相比，空中滞留时间将大大减少。 进一步的考虑进一步的考虑 上述模型可根据需要作进一步的改进。比如，因为空气的稀薄程度与海拔高度有关，因此k的大小也与海拔h有一定关系，可认为( )kk h此时可转而考虑降落速度v与h的关系。 高度，设0hh时开始张伞，此时速度为0v因为ddddddddvvhvvthth ，所以原模型可以改写为：00d( )d|h hvk hvvghmvv 同学们可以根据具体情况分析求解此模型。 求微分方程（组）解析解的命令求微分方程（组）解析解的命令:dsolve

36、(方程方程1,方程方程2,方程方程n,初始条件初始条件,自变量自变量)To MATLAB（ff1） 结结 果：果：u = tan(t-c)五、微分方程的五、微分方程的MATLAB求解求解ezplot 解解 输入命令输入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x)结结 果果 为为 : y =3e-2xsin（5x）To MATLAB（ff2）解解 输入命令输入命令 ： x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t)； x=simple(x) % 将将x化简化简 y=sim

37、ple(y) z=simple(z)结结 果果 为：为：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t To MATLAB（ff3）返返 回回微分方程的数值解微分方程的数值解（一）常微分方程数值解的定义（一）常微分方程数值解的定义 在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂,且大且大多得不出一般解而实际中的对初值问题，一般是要求多得不出一般解而实际中的对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度