数学物理方程与特殊函数PPT课件

1、数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 课程的内容课程的内容三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法波动方程、热传导、拉普拉斯方程贝赛尔函数、勒让德函数 数学物理方程定义数学物理方程定义描述某种物理现象的数学微分方程。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导一、一、 基本方程的建立基本方程的建立第一章第一章 一些典型方程和一些典型方程和定解条件的推导定解条件的推导二、二、

2、定解条件的推导定解条件的推导三、三、 定解问题的概念定解问题的概念数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导一、一、 基本方程的建立基本方程的建立条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近产生振幅极小的 横振动。不受外力影响。例例1、弦的振动、弦的振动研究对象：线上某点在 t 时刻沿纵向的位移。( , )u x t数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导简化假设：(2)振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。cos1

3、cos1 gds M M ds x T y xdx x T 牛顿运动定律：sinsinTTgdsma横向：coscosTT纵向：( , )sintan(d , )sintanu x txu xx tx其中：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导TT(d , )( , )u xx tu x tTgdsmaxx22(d , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tTg xxxxt其中：ddsx22( , )mdsu x tat22(d , )( , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tu

4、x txxxxxxx2222( , )( , )ddux tu x tTgxxxt其中：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导2222( , )( , )ddux tu x tTgxxxt2222( , )( , )Tux tu x tgxt22222uuagtx一维波动方程2Ta 令：-非齐次方程非齐次方程自由项22222uuatx-齐次方程齐次方程忽略重力作用：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导从麦克斯韦方程出发：cv0 DHJtBEtDB在自由空

5、间：HBED00HEtHEtEHcv0,0J例例2、时变电磁场、时变电磁场数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导00HEtHEtEH对第一方程两边取旋度，)(EtH根据矢量运算：2()HHH 2()HHtt222tHH由此得：得 ：2222222xyz 拉普拉斯算子： 同理可得：2221EEt 电场的三维波动方程222222221()HHHHtxyz 磁场的三维波动方程数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导例例3 3、静电场、静电场电势u 确定所要研究的物

6、理量：根据物理规律建立微分方程：Eu/ E)(uE/2 u02 u对方程进行化简：uu2/拉普拉斯方程(无源场) 泊松方程 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导例例4 4、热传导、热传导所要研究的物理量：温度 ),(tzyxu根据热学中的傅里叶实验定律在dt时间内从dS流入V的热量为：从时刻t1到t2通过S流入V的热量为 tSukQttSdd211 高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分） tVukQttVdd2121 tSnukQdddtSnukddtSukdd热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均

7、匀时，有热量从高温处流向低温处。热场MSSVn数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导tVukQttVdd2121 ),(1tzyxu),(2tzyxuVtzyxutzyxucQVd),(),(12221QQ 流入的热量导致V内的温度发生变化 2121dddd2ttVttVtVtuctVuktucuk22ukutc02 ufuatu22流入的热量：温度发生变化需要的热量为：VttucVttdd21 21ddttVtVtuc22au热传导方程热场MSSVn稳恒温度场：有热源：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1

8、章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导有界杆上的热传导（杆的两端绝热）数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件。二、定解条件的推导二、定解条件的推导其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条

9、件的推导初始时刻的温度分布：B、热传导方程的初始条件0(, )|()tu M tMC、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 描述稳恒状态，与初始状态无关，不含初始条件A、 波动方程的初始条件00|( )( )ttuxuxt1、初始条件、初始条件描述系统的初始状态描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初速度数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、边界条件、边界条件描述系统在边界上的状况描述系统在边界上的状况A、 波动方程的边界条件(1)固定端：对于两端固定的弦的横振

10、动，其为：0|0,xu( , )0u a t 或：0 x auTx0 x aux( , )0 xu a t (3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧支承。x ax auTkux 或0 x auux数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导B、热传导方程的边界条件(1) 给定温度在边界上的值|sufS给定区域 v 的边界(2) 绝热状态0sun(3)热交换状态牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。11()d dd dudQk uuS tkS tn 热交换系数；

11、 周围介质的温度1k1u1SSuuun1kk第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导1 1、定解问题、定解问题三、定解问题的概念三、定解问题的概念(1) 初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；(2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；(3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。 把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。定解问题的检验定解问题的检验 解的存在性：定解问题是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的稳

12、定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应 的微小变动。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导3 3、线性偏微分方程的分类、线性偏微分方程的分类 按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分方程 按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程2 2、微分方程一般分类、微分方程一般分类 (1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程；(2) 按未知函数及其导数是否线性，分为线性微分方程和 非线性微分方程；(3) 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶 和高阶微分方程。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1

13、章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导线性方程的解具有叠加特性 iifLu ffiuuifLu 0iLuuui0Lu4 4、叠加原理、叠加原理 几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果的累加。(物理上)xxuatu2222222222uuauxt222uuaxuxt222110uu判断下列方程的类型思考数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导5 5、微分方程的解、微分方程的解 古典解：如果将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方程成为恒等式，则这个函数就是该偏微分方程的解。形式解：未经过验

14、证的解为形式解。 6 6、求解方法、求解方法分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导第二章第二章 分离变量法分离变量法一、有界弦的自由振动二、有限长杆上的热传导三、拉普拉斯方程的定解问题四、非齐次方程的解法五、非齐次边界条件的处理六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解

15、条件确定叠加系数。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等特点：a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。22222,0,0(0, )0,( , )0,0( ,0)( ,0)( ),( ),0uuaxl ttxutu l ttu xu xxxxlt 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导令( , )( ) ( )u x tX x T t带入方程：2( ) ( )( ) ( )X x Tta Xx T t2( )( )( )( )XxTtX xa T t 令2

16、( )( )0( )( )0XxX xTta T t带入边界条件(0) ( )0,( ) ( )0XT tX l T t(0)0,( )0XX l22222,0,0(0, )0,( , )0,0( ,0)( ,0)( ),( ),0uuaxl ttxutu l ttu xu xxxxlt 1 求两端固定的弦自由振动的规律一 有界弦的自由振动数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导( )( )0(0)0,( )0XxX xXX l特征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程在一定条 件下的求解问题特征（固有）值：使方程有非零解的常

17、数值特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解分情况讨论：01）( )xxX xAeBe 00llABAeBe 00ABX02）( )X xAxB00ABX( )cossinX xAxBx0sin0ABl03） 令 ， 为非零实数 2(1,2,3,)nnl222(1,2,3,)nnnl222nl( )sin(1,2,3,)nnnXxBxnl数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导2222 ( )( )0nna nTtT tl( ) cos sin(1,2,3,)nnnn atn atT tCDnll( , )(cossin)si

18、n(1,2,3,)nnnn an anux tCtDtxnlll11( , )( , )(cossin)sin(1,2,3,)nnnnnu x tux tn an anCtDtxnlll2( )( )0( )( )0XxX xTta T t22222,0,0(0, )0,( , )0,0( ,0)( ,0)( ),( ),0uuaxl ttxutu l ttu xu xxxxlt 222(1,2,3,)nnnl( )sin(1,2,3,)nnnXxBxnl数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导01( , )( ,0)sin(

19、 )ntnnu x tu xCxxl10( , )sin( )nntu x tn anDxxtll1sin)sincos(nnnxlntlanDtlanCu2001 cos 2/sindd22llnlnlx xxl001sinsindcoscosd02llnmnmnmxx xxxxllll xxlmxlnCxxlmxlnnldsinsindsin)(010 mCl2lmxxlmxlC0dsin)(2lnxxlnxanD0dsin)(2lnxxlnxlC0dsin)(2数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导)()(),(tTx

20、Xtxu2/lnnxlnBxXnnsin)(tlanDtlanCTnnnsincos1sin)sincos(nnnxlntlanDtlanC11nnnnnTXuulnxxlnxanD0dsin)(2lnxxlnxlC0dsin)(20 XX02 TaT分离变量求特征值和特征函数求另一个函数求通解确定常数分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。 lxxtxuxxuttlututlxxuatu0),()0 ,(),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,22222数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导2 解

21、的性质 x=x0时：( , )(cossin)sinnnnn an anux tCtDtxlll其中：22arctannnnnnnnDn aACDlC00(, )sincos()nnnnnux tAxtlcos()sinnnnnAtxlxlnsin驻波法 2nlnlt=t0时：22nnnaflnnvfnllna 22Ta 00( , )cos()sinnnnnnux tAtxl(1,2,3,)n 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移

22、。( )(10) 1000 xxx)()(),(tTxXtxuTXTX 410TTXX 41010 XX0104 TT0)()0(), 0(tTXtu 0)10(, 0)0(100, 0XXxXX0)0(X0)()10(),10(tTXtu0)10(X100, 0)0 ,(,1000)10()0 ,(0, 0),10(), 0(0,100,1022422xtxuxxxuttututxxutu解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导 0)10(, 0)0(100, 0XXxXX20 02 XX1010(0)0( )0XABX

23、 lAeBe0 BA0)(xXxxBeAexX)(0BAxxX)(0 BA0)(xX0 X20(0)0(10)sin100XAXB, 3 , 2 , 1,10/nnn100/22nnxnBxXnn10sin)(xBxAxXsincos)(02 XX数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导, 3 , 2 , 1,100/22nnnxnBxXnn10sin)(0104 TT010022 nnTnTtnDtnCTnnn10sin10cos1110sin)10sin10cos(nnnnnxntnDtnCuunnnTXu )10sin1

24、0cos(10sintnDtnCxnBnnnxntnDtnCnn10sin)10sin10cos(100, 0)0 ,(,1000)10()0 ,(0, 0),10(), 0(0,100,1022422xtxuxxxuttututxxutu0 XX0104 TT数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导110sin)10sin10cos(nnnxntnDtnCu1000)10(10sin)0 ,(1xxxnCxunn0sin)0 ,(1nnxlnlanDtxu0nD100d10sin1000)10(102xxnxxCn13310

25、) 12(sin) 12(10cos) 12(54nxntnnu100d10sin)10(50001xxnxx)cos1 (5233nn为奇数，为偶数，nnn33540100, 0)0 ,(,1000)10()0 ,(0, 0),10(), 0(0,100,1022422xtxuxxxuttututxxutu数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导弦的振动振幅放大100倍，红色、蓝色、绿色分别为n=1,2,3时的驻波。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导)

26、()(),(tTxXtxu2XTa X T21XTXaT0 XX20Ta T0)()0(), 0(tTXtu0,010(0)0,( )0XXxXX l0)0(X( , )( ) ( )0u l tX l T tx( )0X l222222,0,0( , )(0, )0,0,0( ,0)( ,0)2 ,0,0uuaxl ttxu l tuttxu xu xxlxxlt解：例2求下列定解问题数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导0,0(0)0,( )0XXxlXX l20 02 XX(0)0( )0llXABX lA eB e0

27、 BA0)(xXxxBeAexX)(0BAxxX)(0 BA0)(xX0 X20(0)0( )cos0XAX lBl(21)/2 ,1,2,3,nnln222(21)/4nnl(21)( )sin2nnnXxBxlxBxAxXsincos)(02 XX数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导222(21)/4nnl(21)( )sin2nnnXxBxl20Ta T2222(21)04nnnaTTl(21)(21)cossin1,2,3,22nnnnanaTCtDtnll11(21)(21)(21)(cossin)sin222n

28、nnnnnananuuCtDtxlllnnnTXu (21)(21)(21)(cossin)sin222nnnananCtDtxlll222222,0,0( , )(0, )0,0,0( ,0)( ,0)2 ,0,0uuaxl ttxu l tuttxu xu xxlxxlt0 XX20Ta T数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导1(21)(21)(21)(cossin)sin222nnnnananuCtDtxlll21(21)( ,0)sin22nnnu xCxxlxl1( ,0)(21)(21)sin022nnu xn

29、anDxtll0nD202(21)(2 )sind2lnnCxlxx xll2331321(21)(21)cossin(21)22nlnanutxnll 23332(21)ln 2( ,0)( ,0)2 ,0u xu xxlxt初始条件数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导222222,0,0( , )(0, )0,0,0( ,0)( ,0)2 ,0,0uuaxl ttxu l tuttxu xu xxlxxlt2331321(21)(21)cossin(21)22nlnanutxnll 若l=1,a=10时的震动。数学物理

30、方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导)()(),(tTxXtxuTXTX TTXX 0 XX0 TT0)() 1 (), 1 (0)()0(), 0(tTXtutTXtu0) 1 (, 0)0(XX 0) 1 (, 0)0(10, 0XXxXX10, 0)0 ,(,sin)0 ,(0, 0), 1 (), 0(0, 10,2222xtxuxxuttututxxutu例3 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导 0) 1 (, 0)0(10, 0

31、XXxXX0202 XX(0)0(1)0XABXAeBe0 BA0)(xXxxBeAexX)(0BAxxX)(0 BA0)(xX0 X02xBxAxXsincos)(0sin) 1 (, 0)0(BXAX, 3 , 2 , 1,nnn22nnxnBxXnnsin)(02 XX10, 0)0 ,(,sin)0 ,(0, 0), 1 (), 0(0, 10,2222xtxuxxuttututxxutu数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导, 3 , 2 , 1,22nnnxnBxXnnsin)(0 TT022 nnTnTtnDt

32、nCTnnnsincos11sin)sincos(nnnnnxntnDtnCuunnnTXu )sincos(sintnDtnCxnBnnnxntnDtnCnnsin)sincos(xxnCxunnsinsin)0 ,(10sin)0 ,(1nnxnnDtxu0nD1011nnCn，xtusincos10, 0)0 ,(,sin)0 ,(0, 0), 1 (), 0(0, 10,2222xtxuxxuttututxxutu数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导10, 0)0 ,(,sin)0 ,(0, 0), 1 (), 0

33、(0, 10,2222xtxuxxuttututxxutuxtusincos数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导lxtxuxxuttlhuxtlututlxxuatu0, 0)0 ,(),()0 ,(0, 0),(),(, 0), 0(, 0,0,22222)()(),(tTxXtxuTXaTX 2TTaXX 210 XX02 TaT0)()0(), 0(tTXtu0)()(, 0)0(lhXlXX 0)()(, 0)0(0, 0lhXlXXlxXX0)()()()()()()(),(),(tTlhXlXtTlhXtTlX

34、tlhuxtlu例4 求下列定解问题令带入方程：解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导 0)()(, 0)0(0, 0lhXlXXlxXX02xxBeAexX)(0)()(0)0(llllBhehAeeBeAlhXlXBAX0 BA0)(xX02 XX0BAxxX)(0)()(hAlAlhXlX0A0)(xX0 X0)0( BX02xBxAxXsincos)(0sincos)()(, 0)0(lBhlBlhXlXAXhl/tan, 3 , 2 , 1,nn2nnxBxXnnnsin)(02 XX数学物理方程与特殊函数数学

35、物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导lxtxuxxuttlhuxtlututlxxuatu0, 0)0 ,(),()0 ,(0, 0),(),(, 0), 0(, 0,0,22222, 3 , 2 , 1,n2nnxBxXnnnsin)(02 TaT022 nnnTaTatDatCTnnnnnsincosnnnTXu 11sinsincosnnnnnnnnxatDatCuuatDatCxBnnnnnnsincossinxatDatCnnnnnsinsincos0 XX02 TaT数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和

36、定解条件的推导典型方程和定解条件的推导lxtxuxxuttlhuxtlututlxxuatu0, 0)0 ,(),()0 ,(0, 0),(),(, 0), 0(, 0,0,222221sinsincosnnnnnnxatDatCu0sin)0 ,(1xaDtxunnnn0nD)(sin)0 ,(1xxCxunnnlmmlmxxxxxC020dsindsin)(1sincosnnnnxatCuxxxxxxClmlmnnndsin)(dsinsin001 lmmxxC02dsin数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导nmnmx

37、xxnlm00dsinsin0nmnmnmnmll)sin()sin(21nmnmnmnmnmnmllllllsincoscossinsincoscossin21llllnmnnmmnmnmcossinsincos)(1mmnnnmnmnmnmlllltantancoscos1)(10 xxxlnmnmd)cos()cos(210hl/tan数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导二 有限长杆上的热传导222,0,0,( , )(0, )0,( , )0,0( ,0)( )0uuaxl ttxu l tuthu l ttxu

38、xxxl)()(),(tTxXtxu2XTa X T 21XTXaT0 XX20Ta T0)()0(), 0(tTXtu0)()(, 0)0(lhXlXX0)()()()()()()(),(),(tTlhXlXtTlhXtTlXtlhuxtlu令带入方程：解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导 0)()(, 0)0(0, 0lhXlXXlxXX02xxBeAexX)(0)()(0)0(llllBhehAeeBeAlhXlXBAX0 BA0)(xX02 XX0BAxxX)(0)()(hAlAlhXlX0A0)(xX0 X0

39、)0( BX02xBxAxXsincos)(0)0( )( )cossin0XAX lhX lBlBhlhl/tan, 3 , 2 , 1,nn2nnxBxXnnnsin)(02 XX数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导, 3 , 2 , 1,n2nnxBxXnnnsin)(20Ta T220nnnTa T22na tnnTC ennnTXu 2211sinna tnnnnnuuC ex22sinna tnnnC B ex22sinna tnnC ex222,0,0,( , )(0, )0,( , )0,0( ,0)( )

40、0uuaxl ttxu l tuthu l ttxu xxxl数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导00sinsind0lmnmnxx xmn20sindlnnxxL令)(sin)0 ,(1xxCxunnnlmmlmxxxxxC020dsindsin)(1sincosnnnnxatCuxxxxxxClmlmnnndsin)(dsinsin001 lmmxxC02dsin221sinna tnnnuC ex222,0,0,( , )(0, )0,( , )0,0( ,0)( )0uuaxl ttxu l tuthu l ttx

41、u xxxlhl/tan数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导lxxxuttlututlxxuatu0),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,222)()(),(tTxXtxuXTaXT 2002 TaTXX 0)(, 0)0(00lXXlxXXXXTaT 20)()(),(0)()0(), 0(tTlXtlutTXtu0)(, 0)0(lXX令带入方程：令例5 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导 0)(, 0)0(00

42、lXXlxXX0202 XXxxBeAeX0X00 XBAxX0X 0202 XXxBxAXsincoslnnxlnBXnnsin0)0(BAX0)( llBeAelX0 BA0)0( AX0sin)(lBlX, 3 , 2 , 1,22nlnnn数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导lxxxuttlututlxxuatu0),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,22202TaT02222nnTlnaTtlnanneAT2222nnnTXu 11sin2222ntlnannnxlneCuuxlneBAtlnan

43、nsin22222222sina ntlnnnuC exlxlnBXnnsin, 3 , 2 , 1,22nlnnn1sin)()0 ,(nnxlnCxxuxxlnxlClndsin)(20数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导lxxxutxtluxtutlxxuatu0),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,222)()(),(tTxXtxuXTaXT 2XXTaT 2002 TaTXX 0)(, 0)0(00lXXlxXX0)()(),(0)()0(), 0(tTlXxtlutTXxtu0)(, 0)0(l

44、XX例6 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导 0)(, 0)0(00lXXlxXX0202 XXxxBeAeX0X0)0(BAXlleBeAlX )(0 BA00 XBAxX0BX 0202 XXxBxAXcossinlnnxlnBXnncos0)0(AX0sin)(lBlX, 3 , 2 , 1,22nlnnn数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导lxxxutxtluxtutlxxuatu0),()0 ,(0, 0),(, 0),

45、0(0,0,22200BX xlnBXnncos, 3 , 2 , 1,2nlnn02TaT000T00TA002222nnTlnaTtlnanneAT2222nnnTXu xlneBAtlnanncos2222xlneCtlnancos2222000CAB100cos2222ntlnannnxlneCCuu000TXu 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导lxxxutxtluxtutlxxuatu0),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,222100cos2222ntlnannnxlneCCuu10cos)

46、()0 ,(nnxlnCCxxuxxlCld )(100 xxlnxlClndcos)(20( )1x若 则u为多少？为什么会出现这样的现象？思考数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导( ),10,10 xx al若001( )d2llCx xl022( )cosd2( 1)1()lnnnCxx xllln2222001cosnna ntlnnuuCnC exl有界杆上的热传导（杆的两端绝热）数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导xxtuau20|0 xx

47、 luu)(|0 xut)()(xXtTu0)() 0 (LXXXXTaT/ )/(2220TaT20XX22exp()T Aatsin,nlXx )()(xXtTukkkkkXTu),( txuu分离变量流程图数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导三 拉普拉斯方程的定解问题axxbxuxxubyyauyubyaxyuxu0),(),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222XYu 0 YXYXYYXX 0 XX0 YY 0)()0(0, 0aXXaxXX0)()(),(0)()0(), 0(yYaXy

48、auyYXyu0)(, 0)0(aXX1 直角坐标系下的拉普拉斯问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导axxbxuxxubyyauyubyaxyuxu0),(),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222 0)()0(0, 0aXXaxXX0202 XXxxBeAeX0X0)0(BAX0)( aaBeAeaX0 BA00 XBAxX0X0202 XXxBxAXcossinannxanAXnnsin0)0( BX0sin)(aAaX, 3 , 2 , 1,22nannn数学物理方程与特殊函数数学物

49、理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导axxbxuxxubyyauyubyaxyuxu0),(),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222xanAXnnsin, 3 , 2 , 1,2nann0 YY0222 nnYanYyannyannneDeCYnnnYXu 1nnuu1sinnyannyannxaneDeCxaneDeCyannyannsinsinnnyyaannnnnuC eD eAxa数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导axxbxuxxubyyau

50、yubyaxyuxu0),(),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 022221sinnyannyannxaneDeCuxanDCxxunnn1sin)()0 ,(xaneDeCxbxunabnnabnn1sin)(),(xxanxaDCnndsin)(2a0 xxanxaeDeCabnnabnndsin)(2a0022( )( ) sind1n baann banx exx xaaCe022( )( ) sind1n baann banx exx xaaDe数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导22220

51、,0,0(0, )( , )0,0( ,0)( ), ( , )( ),0uuxaybxyuyu a yybxxu xx u x bxxaXYu 0 YXYXYYXX 0 XX0 YY 0)()0(0, 0aXXaxXX0)()(),(0)()0(), 0(yYaXxyauyYXxyu0)(, 0)0(aXX例7 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导axxbxuxxubyxyauxyubyaxyuxu0),(),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222 0)()0(0, 0aXXa

52、xXX0202 XXxxBeAeX0X0)( aaeBeAaX0)(BAaXa0 BA00 XBAxX00BX0202 XXxBxAXcossinannxanBXnncos0)0(AX0sin)(aBaX, 3 , 2 , 1,22nannn数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导axxbxuxxubyxyauxyubyaxyuxu0),(),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222xanBXnncos, 3 , 2 , 1,22nannn000BX0 YY0000DyCY0 Y00222 nnYanY

53、yannyannneDeCYnnnYXu 000YXu 00000C yDBC yDxaneDeCyannyanncosxanBeDeCnyannyanncosxaneDeCDyCuunyannyannnn1000cos数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导axxbxuxxubyxyauxyubyaxyuxu0),(),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222xaneDeCDyCunyannyann100cosxanDCDxxunnn10cos)()0 ,(xaneDeCDbCxbxunabnnabn

54、n100cos)(),(xxanxaDCnndcos)(2a0 xxanxaeDeCabnnabnndcos)(2a01dcos)()(22a0abnabnnexxanxexaC1dcos)()(22a0abnabnnexxanxexaDxxaDd )(1a00 xxaDbCd )(1a000 xxxabCd)(-)(1a00数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导axxuxxuyyauyuyaxyuxu0, 0),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222XYu 0 YXYXYYXX 0 XX0 YY

55、0)()0(0, 0aXXaxXX0)()(),(0)()0(), 0(yYaXyauyYXyu0)(, 0)0(aXX例8 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导axxuxxuyyauyuyaxyuxu0, 0),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222 0)()0(0, 0aXXaxXX0202 XXxxBeAeX0X0)( aaBeAeaX0)0(BAX0 BA00 XBAxX0X0202 XXxBxAXcossinannxanBXnnsin0)0( BX0sin)(aAaX,

56、 3 , 2 , 1,22nannn数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导axxuxxuyyauyuyaxyuxu0, 0),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222xanBXnnsin, 3 , 2 , 1,2nann0 YY0222 nnYanYyannyannneDeCYyanneD11sinnyannnnxaneDuunnnYXu xanBeDnyannsinxaneDyannsinxanDxxunn1sin)()0 ,(xxanxaDandsin)(20数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特

57、殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导2 圆域内的拉普拉斯问题22222yuxuu22,arctanyxxysin,cos221cos,sin/1122222yxyxxyxyxyxuu2222222222222sincoscos2sinsinuuuuuyuxuxuxu2222222222222sinsinsin2sincosuuuuuxuuuuyuxu11222222222cossinuuyuyuyusincosuu22211uu数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导20),(),(20 ,

58、01100222fuuu), 0(u)2 ,()0 ,(uu)()(),(u0112 0112 欧拉方程 21102 0 )2()0( )2()0(20, 0)()2()()0(例9 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导20),(),(20 , 01100222fuuu )2()0(20, 00202 BeAe000 AB00A02sincosBAnn, 3 , 2 , 1,22nnnnnBnAnnnsincos02 欧拉方程 lntet令ddd1 ddd ddPPtPtt 222d1 d1dd()()d

59、dddPPPttt 0 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导20),(),(20 , 01100222fuuu000A, 3 , 2 , 1,2nnnnBnAnnnsincos02 00002 ln000DC 0C02 n022 nnnnnnnnDCnnC000unnnu100sincosnnnnnnnFnEEuu000ECAnnnnnnnnFnECnBnAsincossincos1000sincos)(),(nnnnnFnEEfu222000000111( )d ,( )cosd ,( )sind2nnnnEfEfnFf

60、n 0 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导20,cos),(20 , 01100222uuu)2 ,()0 ,(uu),(u)()(),(u0112 0112 21102 0 )2()0( )2()0(20, 0)()2()()0(例10 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导20,cos),(20 , 01100222uuu )2()0(20, 00202 BeAe000 AB00A02sincosBAnn, 3 , 2 , 1,2