2.3数学归纳法

1、高二高二 选修选修2-2 2-2 苏教版苏教版广东梅县东山中学广东梅县东山中学 陈洪旗陈洪旗 在数学研究中，人们会遇到这样的情在数学研究中，人们会遇到这样的情 况，对于任意况，对于任意正整数正整数n或不小于某个数或不小于某个数n0 的的任意任意正整数正整数n，都有某种关系成立。都有某种关系成立。对这类问题的证明我们将使用又一种重要的数学推理方法对这类问题的证明我们将使用又一种重要的数学推理方法-数学归纳法数学归纳法与正整数有关与正整数有关的命题的命题例如：例如： 14+27+310+n(3n+1)=n(n+1)2 (nN+) n21+nx (x-1,nN+).*).()()124332221)

2、 3()()(0)2();()() 1 (*).(! 3! 21)(,()(311322NnexgnxgxfxxgxfNnnxxxxxgeexfnnnnnx（）（）（）（证明：的大小，并说明理由；与时，比较当证明：为自然对数的底数）设函数 2012广州一模第21题（压轴题）11a问题1:盒中有盒中有5个小球，如何验证它们都是绿色的？个小球，如何验证它们都是绿色的？ 情境导入：*)(1Nnnan猜想数列的通项公式为：212a 313a 解:414=a .1, 1,211nnnnaaaaa若：对于数列问题（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？（2）你的猜想一定是正确的吗？把研究对象一一都考查到，

3、而推出结论的归纳法。把研究对象一一都考查到，而推出结论的归纳法。完全归纳法完全归纳法不完全归纳法不完全归纳法从一类对象中的部分对从一类对象中的部分对象都具有某种性质推出象都具有某种性质推出这类对象全体都具有这这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法种性质的归纳推理方法919=a717=a818=a验证验证: :515=a616=a逐一验证，不可能！逐一验证，不可能！归纳法：由一系列有限的归纳法：由一系列有限的特殊事例特殊事例得出得出一般结论一般结论的推理方法。的推理方法。 （结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜

4、想）（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）（1 1）完全归纳法：考察）完全归纳法：考察全体全体对象，得到一般结论的推理方法。对象，得到一般结论的推理方法。（2 2）不完全归纳法）不完全归纳法, ,考察考察部分部分对象对象, ,得到一般结论的推理方法。得到一般结论的推理方法。归纳法分为归纳法分为 完全归纳法完全归纳法 和和 不完全归纳法。不完全归纳法。归纳法归纳法如何解决不完全归纳法如何解决不完全归纳法存在的问题呢？存在的问题呢？必须寻找一种用必须寻找一种用有限有限个步骤，就个步骤，就能处理完能处理完无限无限多个对象的方法。多个对象的方法。 骨牌全倒下，骨牌全倒下， 需要哪些条件呢？需要

5、哪些条件呢？1.第一块要倒下2.若前一个倒，则后一个也倒第kK+1数学归纳法数学归纳法（1 1）证明当证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0( (例如例如n n0 0=1) =1) 时结论正确时结论正确; ;（2 2）假设当假设当n=k(kNn=k(kN* * ,k n,k n0 0) )时结论正确时结论正确, ,证明当证明当n=k+1n=k+1时时结论也正确结论也正确. . 在完成了这两个步骤以后在完成了这两个步骤以后, ,就可以断定这个命题和猜想对于就可以断定这个命题和猜想对于从从n n0 0开始的所有正整数开始的所有正整数n n都正确都正确. .1 1、数学归纳法是一种完全归纳法数

6、学归纳法是一种完全归纳法 ，它是在可靠的基础上，它是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用利用命题自身具有的传递性，运用“有限有限”的手段，来解决的手段，来解决“无限无限”的问题。的问题。 2 2、它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，使我们认识到事情完全归纳法结论不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷由特殊到一般、由有限到无穷. .数学归纳法的核心思想数学归纳法的核心思想证明：证明： （1）当）当n=1时，时， 左边左边=12=1 右边右边=1 等式成立等式

7、成立(2)假设当假设当n=k时等式成立时等式成立,即即6) 12)(1(3212222+=+kkkk那么那么,当当n=k+1时时2) 1( + k6) 1(6) 12)(1(2+=kkkk6)672)(1(2+=kkk6)32)(2)(1(+=kkk6 1) 1(21) 1)(1(+=kkk即当即当n=k+1等式也成立等式也成立根据根据(1)和和(2),可知等式对任何可知等式对任何 都成立都成立.*Nn22222) 1(321+kk凑出目标凑出目标6) 12)(1(+=kkk用到假设用到假设例例1 用数学归纳法证明用数学归纳法证明)(6) 12)(1(321*2222Nnnnnn证明证明n取初

8、始取初始值时命题成值时命题成立立问题问题1 1：甲同学猜想：甲同学猜想 用数学归纳法证明步骤如下：用数学归纳法证明步骤如下：2135.211nn结论结论1 1：第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了保证，不要误认为第一步是一个简单的验证，可有可无。保证，不要误认为第一步是一个简单的验证，可有可无。证明：假设证明：假设n=k时等式成立，即时等式成立，即21 3 5(23)(21)1kkk 则则n=k+1时时135(21)(21)kk221(21)(1)1kkknN即即n=k+1n=k+1时等式成立。时等式成立。所以等式对一切自然数所以等式对一切自然数 均

9、成立。均成立。上述证法是正确的吗？为什么？上述证法是正确的吗？为什么？2135(23)(21)1nnn 上述证明是错误的,事实上命题本身是错误的当n=1时,左边=1,右边=0左边右边理解新知问题问题2 2：乙同学用数学归纳法证明：乙同学用数学归纳法证明如采用下面证法，对吗？为什么如采用下面证法，对吗？为什么2135.21nn 右边左边时当证明：1,11n 221 3 .21nkkk 假设当时，等式成立，即时，则1 kn21 1211 3 .2112kkkk .1时等式也成立即 kn .21都成立，可知等式对任何和根据Nn结论结论2 2：在第二步中在第二步中, ,证明证明n=k+1n=k+1命题

10、成立时命题成立时, ,必须用到必须用到n=kn=k命题成立这一归纳假设命题成立这一归纳假设, ,否则就打破数学归纳法步否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系骤之间的逻辑严密关系, ,造成推理无效造成推理无效. . 22135(21)(21)(21)1kkkkk 上 述 证 明 没 有 用 到 n=k命 题 成 立 这 一 归 纳 假 设正 解 ：理解新知1、三个步骤缺一不可、三个步骤缺一不可:第一步第一步:奠基步骤奠基步骤，是命题论证的基础，称之为，是命题论证的基础，称之为归纳基础归纳基础，但，但n 的的初始值不一定是从初始值不一定是从1开始取，同时还有注意开始取，同时还有注意n取初始值左

11、边所得的取初始值左边所得的结果是什么。结果是什么。第二步第二步:归纳步骤归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的正确性能否由，是推理的依据，是判断命题的正确性能否由特殊推广到特殊推广到 一般，它反映了无限一般，它反映了无限递推递推关系，其中关系，其中 “假设假设n=k时成时成立立” 称为称为归纳假设归纳假设 (注意是注意是“假设假设”，而不是确认命题成立，而不是确认命题成立);第三步第三步:总体结论总体结论，也不可少。，也不可少。2、在第二步的证明中、在第二步的证明中必须用到归纳假设必须用到归纳假设，否则就不是数学归纳，否则就不是数学归纳法了。法了。3、数学归纳法的难点是在第二步中从、数学归纳法的

12、难点是在第二步中从k到到k+1项到底增加了哪些项到底增加了哪些项。项。4、数学归纳法只适用于、数学归纳法只适用于和正整数有关和正整数有关的命题。的命题。用数学归纳法需用数学归纳法需注意注意 ：4. .用数学归纳法证明用数学归纳法证明 1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1) 1) ) 2n)(1n( n31+练习巩固练习巩固 从从n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么变化有什么变化利用利用假设假设凑结论凑结论证明证明:2)假设假设n=k时命题成立时命题成立,即即122334k(k+1)2)(1(31kkk)2)(1() 1(.4332211kkkkkn时，左边则当)2)(1()

13、2)(1(31kkkkk)2)(1)(131(kkk1(1)(1) 1(1)23kkk右边1)当当n=1时，左边时，左边=12=2,右边右边= =2. 命题成立命题成立1 111223 33 3 n=k+1时命题正确。时命题正确。 由由(1)和和(2)知，当知，当 ，命题正确，命题正确。Nn2 2. .已知已知: ,: ,则则 等于等于( )( ) A: B: A: B: C: D: C: D: 131.2111)( nnnnf) 1( kf1) 1( 31)( Kkf231)( Kkf11431331231)( KKKKkf11431)( KKkfC1.用数学归纳法证明用数学归纳法证明 第一

14、步应验证第一步应验证n=（ ）), 3(33Nnnnk A. 1 B. 2 C . 3 D. 4C3 3. .用数学归纳法证明某命题时，左边为用数学归纳法证明某命题时，左边为 , , 则从则从k k到到k+1k+1应增加的项为应增加的项为( )( ) A. A. B. B. C. C. D. D. 121.413121n1211k121121211kkk121211kk121121211 kkkD数学归纳法数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。主要有两个步骤、一个结论主要有两个步骤、一个结论: : （1 1）证明当）证明当n n取第一

15、个值取第一个值n n0 0（如（如 n n0 0=1=1或或2 2等）时结论正确等）时结论正确（2 2）假设）假设n=k (kNn=k (kN ， 且且k nk n0 0) )时结论正确，时结论正确， 证明证明n=k+1n=k+1时结论也正确时结论也正确 由（由（1 1）、（）、（2 2）得出结论正确）得出结论正确（1）数学归纳法是一种完全归纳法的证明方法它适用于）数学归纳法是一种完全归纳法的证明方法它适用于与正整数有关与正整数有关的问题。的问题。（2）两个步骤，一个结论缺一不可两个步骤，一个结论缺一不可，否则结论不能成立。，否则结论不能成立。（3）在证明递推步骤时，必须）在证明递推步骤时，必须使用归纳假设使用归纳假设。递推基础不可少递推基础不可少归纳假设要用到归纳假设要用到结论写明莫忘掉结论写明莫忘掉归纳法归纳法完全归纳法完全归纳法不完全归纳法不完全归纳法数学归纳法数学归纳法穷举法穷举法可能错误如何避免？ 数学归纳法是一种完全归纳法数学归纳法是一种完全归纳法 ，它是在可靠的基它是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限有