金融数学引论课件第六章实际应用

1、利息理论与应用第6章 1第六章第六章 实际应用实际应用6.1 抵押贷款分析抵押贷款分析资本市场的债务产品主要分为两大类资本市场的债务产品主要分为两大类v一类为国债和企业债券一类为国债和企业债券v一类是各种形式的贷款一类是各种形式的贷款特别是消费贷款特别是消费贷款注注C 商业贷款和消费贷款是一般企业经营活动商业贷款和消费贷款是一般企业经营活动和个人消费的主要债务形式和个人消费的主要债务形式利息理论与应用第6章 2从现金流的角度看从现金流的角度看两类产品最大的区别是两类产品最大的区别是v 债券多为定期付利息债券多为定期付利息到期一次性偿还本金到期一次性偿还本金v 贷款多为本金贷款多为本金利息同时逐

2、渐偿还利息同时逐渐偿还注注C 采用两种形式的主要原因是两类债务的信用程采用两种形式的主要原因是两类债务的信用程度的差异度的差异 前者信用高前者信用高 本金支付没有信用风险本金支付没有信用风险 后后者则不同者则不同利息理论与应用第6章 3商人计息法商人计息法 (Merchants Rule)商人计息法商人计息法以单利方式将贷款本利和还款本利以单利方式将贷款本利和还款本利累计到贷款期限结束时刻累计到贷款期限结束时刻 然后计算未结利息和本金然后计算未结利息和本金注注C 在十九世纪之前该方法为常用的计息方法在十九世纪之前该方法为常用的计息方法 而本而本质上即为单利计算质上即为单利计算注注C 商人计息法

3、对于短期业务比较适用商人计息法对于短期业务比较适用 但是对于长但是对于长期贷款则可能会出现不合逻辑的结果期贷款则可能会出现不合逻辑的结果利息理论与应用第6章 4例例1000 元两年期贷款元两年期贷款年利率年利率 9% 如果第一年底如果第一年底还款还款 1085 元元问问第二年底应还款多少第二年底应还款多少解解设第二年底应还款设第二年底应还款 K用商人计息法用商人计息法在第二年在第二年底应有底应有1000(1+29%) =1085(1+9%)+ K即即1180 =1182.65+K由此可得由此可得 K = 2.65元元从而借款人从而借款人债务人债务人变成了贷款人变成了贷款人债权人债权人利息理论与

4、应用第6章 5分析分析 在第一年底的时候在第一年底的时候 贷款的本息和应为贷款的本息和应为 1090 元元1085 元还款并没有还清当时的应计本利和元还款并没有还清当时的应计本利和思考思考为什么会出现这样的情形为什么会出现这样的情形注注C 1795 年年 Virginia 州州 Ross v Pleasants 案案债权人债权人和债务人角色出现了互换和债务人角色出现了互换美国计息法美国计息法United States Rule1839 年产生了新的计息法年产生了新的计息法 即所谓的即所谓的 美国计息法美国计息法United States Rule该计息法要求该计息法要求利息理论与应用第6章 6

5、1 在每次的贷款偿还时刻或有新的贷款余额计入的时在每次的贷款偿还时刻或有新的贷款余额计入的时刻刻都要进行贷款本金和利息的结算都要进行贷款本金和利息的结算2 借款人的付款应当首先用来支付任何应计利息借款人的付款应当首先用来支付任何应计利息 超超过的部分用来抵消未偿还贷款余额过的部分用来抵消未偿还贷款余额3 贷款余额为上一次结算时的余额与应计利息贷款余额为上一次结算时的余额与应计利息 单利单利计算计算之和之和再扣除再扣除或加上或加上本次的还款本次的还款贷款贷款金额金额注注C 美国计息法本质上是单利和复利的混合美国计息法本质上是单利和复利的混合 每次新每次新的还款的还款贷款贷款都将重新开始贷款余额的

6、计息都将重新开始贷款余额的计息 利息利息力将随之变大力将随之变大利息理论与应用第6章 7例例用美国计息法考虑上例用美国计息法考虑上例解解第一年底的贷款余额为第一年底的贷款余额为1000(108510009%)= 5元元从而第二年底的还款额应为从而第二年底的还款额应为5(1+9%) =5.45元元注注C 债权人和债务人角色没有出现互换债权人和债务人角色没有出现互换利息理论与应用第6章 8例例 某人借款某人借款 1000 元元 利率利率 10% 12 个月内还清个月内还清 若若借款人在三月底还借款人在三月底还 200 元元 在八月底还在八月底还 300 元元 计算第计算第十二个月底应还的金额十二个

7、月底应还的金额1 用商人计息法计算用商人计息法计算2 用美国计息法计算用美国计息法计算3 用复利计算用复利计算解解1 用商人计息法计算用商人计息法计算第十二个月底应还的金额为第十二个月底应还的金额为3 14 3利息理论与应用第6章 92 用美国计息法计算用美国计息法计算三月底的应计利息为三月底的应计利息为1000(1/4)10% = 25.00从而三月底还的从而三月底还的 200 元中有元中有 25 元为偿还利息元为偿还利息 剩余的剩余的175 元为偿还本金元为偿还本金由此可得贷款余额为由此可得贷款余额为1000 - 175 = 825 元元八月底的应计利息为八月底的应计利息为825 (5/1

8、2)10% = 34.38从而八月底还的从而八月底还的 300 元中有元中有 34.38 元为偿还利息元为偿还利息 剩剩余的余的 265.62 元为偿还本金元为偿还本金由此可得贷款余额为由此可得贷款余额为825 - 265.62 = 559.38 元元利息理论与应用第6章 10第十二个月底应还的金额为第十二个月底应还的金额为559.381 + (1/3)10% = 578.03 元元3 用复利计算用复利计算第十二个月底应还的金额为第十二个月底应还的金额为3 14利息理论与应用第6章 11消费信贷保护法案消费信贷保护法案 Consumer Credit Protection Act诚实贷款法案诚

9、实贷款法案Truth in Lending Act1968 年由美国国会通过的年由美国国会通过的 消费信贷保护法案消费信贷保护法案 中中建立了消费信贷中的各种规则建立了消费信贷中的各种规则规定了贷款人在同借规定了贷款人在同借款人交易时必须公开的一些情况款人交易时必须公开的一些情况该法案规定必须将融资费用和贷款年利率该法案规定必须将融资费用和贷款年利率APR以及任何特殊的贷款条件等告知顾客以及任何特殊的贷款条件等告知顾客利息理论与应用第6章 12该法案要求计算的两个重要指标该法案要求计算的两个重要指标1 融资费用融资费用finance charge包括利息在内包括利息在内的由消费者为取得消费贷款

10、而支出的所有费用的由消费者为取得消费贷款而支出的所有费用2 年百分率年百分率 annual percentage rate / APR用简单百分比数字表示消费者所支付的平均贷款成本用简单百分比数字表示消费者所支付的平均贷款成本在贷款之初借款人为获得贷款必须付出一些固定的在贷款之初借款人为获得贷款必须付出一些固定的费用费用如如与贷款金额成比例的一部分费用与贷款金额成比例的一部分费用 一般用一般用点数表示点数表示以及所有业务必须支出的固定费用以及所有业务必须支出的固定费用 如如贷款手续费贷款手续费 服务费服务费 信贷报告费用和信用保险费等信贷报告费用和信用保险费等利息理论与应用第6章 13注注C

11、APR 用精算方法用精算方法actuarial method计算计算具体业务中的具体业务中的 APR 一般是用名利率方式标出的一般是用名利率方式标出的 计计息频率与还款频率相同息频率与还款频率相同而对应的实际还款周期可以而对应的实际还款周期可以是不同的是不同的例例两种贷款项目都标出两种贷款项目都标出APR=12%一种是按月一种是按月还贷还贷另一种是按季还贷另一种是按季还贷则两种贷款的实际贷款利则两种贷款的实际贷款利率是不同的率是不同的利息理论与应用第6章 14诚实信贷要求诚实信贷要求 区分开放型信贷区分开放型信贷(open-end credit)与封与封闭型信贷闭型信贷(closed-end

12、credit)开放型信贷开放型信贷贷款期限没有事先规定贷款期限没有事先规定贷款的财务贷款的财务费用每个周期费用每个周期如一个月如一个月公布一次公布一次贷款人在一定贷款人在一定限度内可以随时贷款或还贷限度内可以随时贷款或还贷例如信用卡例如信用卡封闭型信贷封闭型信贷即为传统意义上的贷款即为传统意义上的贷款贷款期限贷款期限额度等都要事先明确规定额度等都要事先明确规定例如分期偿还的贷款例如分期偿还的贷款注注C 对于开放型信贷对于开放型信贷 只需在每次结算时计算融资费只需在每次结算时计算融资费用即可用即可APR 是未结贷款余额应付的挂牌年利率是未结贷款余额应付的挂牌年利率利息理论与应用第6章 15例例某

13、信用卡公司每月底对用户账面的余额按照某信用卡公司每月底对用户账面的余额按照1.75%计算利息计算利息 如果用如果用 APR 表示则为表示则为 APR=21%分期偿还的贷款分期偿还的贷款 APR 的计算的计算L = 实际贷款金额实际贷款金额 已扣除相关费用后的诚实信贷额已扣除相关费用后的诚实信贷额K = 融资费用融资费用R = 分期付款金额分期付款金额m = 每年的付款次数每年的付款次数n = 贷款期限内总的付款次数贷款期限内总的付款次数j = 每个付款周期的实际利率每个付款周期的实际利率i = 年百分率年百分率APR利息理论与应用第6章 16结论结论1)K =n RL即即 融资费用等于还款总额

14、减去实融资费用等于还款总额减去实际贷款额际贷款额2) i = m j其中其中 j 满足价值方程满足价值方程Ran | j=L注注C 年百分率年百分率 APR 和融资比和融资比KL融资费用占实际贷融资费用占实际贷款额的比例款额的比例两个量都可以表示融资两个量都可以表示融资贷款贷款成本成本一般的更侧重用一般的更侧重用 APR 衡量贷款成本衡量贷款成本利息理论与应用第6章 17例例 一年期消费贷款一年期消费贷款 1 万元万元 每月偿还每月偿还 860 元元 计算计算贷款成本贷款成本解解融资费用为融资费用为K =1286010,000 = 320用用 j表示每月的实际贷款利率表示每月的实际贷款利率则有

15、则有860a12 | j =10,000 或或a12 | j =11.6279由此可得由此可得j 0.488% APR 5.856%利息理论与应用第6章 18注注C 贷款年利率为贷款年利率为 5.856% 而项目的融资费用而项目的融资费用 320元占贷款额元占贷款额 10000 元的比例仅仅为元的比例仅仅为 3.2% 看上去远看上去远远低于相应的贷款年利率远低于相应的贷款年利率注注C 融资比融资比 3.2%只与还款额度有关只与还款额度有关 与还款的早晚与还款的早晚无关无关而年百分率则不然而年百分率则不然利息理论与应用第6章 19例例 如果保持总的还款额如果保持总的还款额 10320 不变不变

16、但是改变还但是改变还款的方式款的方式1 一种极端的情况是第一个月底一次还清一种极端的情况是第一个月底一次还清 则融资比则融资比仍然为仍然为 3.2% 月实际利率为月实际利率为 3.2% 年利率为年利率为 38.4%2另一种极端的情况年底一次还清另一种极端的情况年底一次还清融资比仍然为融资比仍然为3.2%年百分率也是年百分率也是 3.2% +利息理论与应用第6章 20对于同一个贷款项目的年百分率和融资比有如下关系对于同一个贷款项目的年百分率和融资比有如下关系K + Lnan | j = L从而从而K nL an | j由于有近似公式由于有近似公式j1an | j1nn +12n =利息理论与应用

17、第6章 21由此可得由此可得KLn+1 n+1j i2 2m或等价的或等价的i 2m Kn+1 L在上例中在上例中 融资比为融资比为 3.2% 从而可知年百分比约为从而可知年百分比约为2413i =3.2% =5.9%2m Kn +1 L注注C 不难看出不难看出 如果当还款期不是短期时如果当还款期不是短期时 如如 2 年以年以上上则年百分率将小于融资比则年百分率将小于融资比利息理论与应用第6章 22例例 一般需要融资一般需要融资 20 万元购买新车万元购买新车 分销商考虑如下分销商考虑如下的两年逐月分期付款方式的两年逐月分期付款方式方式方式 AAPR 为为 8%方式方式 BAPR 为为 10%

18、 同时当前价格优惠同时当前价格优惠 8%试分析两种方式的差异试分析两种方式的差异解解可以从两方面来进行分析可以从两方面来进行分析1 比较每月还款额度比较每月还款额度如果选择如果选择 A则每月的还款为则每月的还款为A 200,000 200,000a 8% 22.110524 |12R =a24|10%= =8491利息理论与应用第6章 23如果选择如果选择 B 则每月的还款为则每月的还款为184,00021.6709B200,000(18%)12结论结论 从购车人角度看从购车人角度看 方式方式 B 的成本要低于方式的成本要低于方式 A所以应该选择方式所以应该选择方式 B2 比较融资成本比较融资

19、成本2.1 从从 APR 来看来看由于方式由于方式 A 为为 8% 而方式而方式 B 为为10% 从而方式从而方式 A 的融资成本较低的融资成本较低利息理论与应用第6章 242.2 从融资比来看从融资比来看如果选择方式如果选择方式 A则有则有KA = 24RA 200,000 =17092从而融资比为从而融资比为8.55%选择方式选择方式 B 则有则有KB = 24RB 184,000 =19776从而融资比为从而融资比为10.75%结论结论方式方式 A 较方式较方式 B 的融资成本低的融资成本低注注C 对于购车人来说对于购车人来说 需要同时考虑所购车的价格和需要同时考虑所购车的价格和融资成本

20、两个方面的情况融资成本两个方面的情况利息理论与应用第6章 25不动产抵押贷款不动产抵押贷款以指定的不动产作为抵押所取得的贷款以指定的不动产作为抵押所取得的贷款在这种贷在这种贷款形式下款形式下借款者必须预先确定偿还计划借款者必须预先确定偿还计划如果借款如果借款者违约者违约则贷款者有权取消借款者抵押物赎回权则贷款者有权取消借款者抵押物赎回权即即贷款者可以通过处置抵押物来确保收回债权贷款者可以通过处置抵押物来确保收回债权在消费贷款中不动产抵押贷款是一类特别重要的贷在消费贷款中不动产抵押贷款是一类特别重要的贷款款这种贷款的金额一般较大这种贷款的金额一般较大是许多家庭的最大一是许多家庭的最大一项支出项支

21、出 同时同时 它的期限也比较长它的期限也比较长 一般为一般为 15 30 年年可用作的抵押物有住宅资产可用作的抵押物有住宅资产农场资产农场资产商业性资商业性资产等产等利息理论与应用第6章 26应用诚实贷款法案于非商业性的不动产抵押贷款与其应用诚实贷款法案于非商业性的不动产抵押贷款与其它的消费贷款的特别之处它的消费贷款的特别之处抵押贷款的还贷周期一般是一个月抵押贷款的还贷周期一般是一个月 且一般在月初且一般在月初偿还偿还偿还金额要由贷款金额决定偿还金额要由贷款金额决定如果贷款的起始如果贷款的起始日期不是月初日期不是月初一般要利用单利方法将该月剩余时间一般要利用单利方法将该月剩余时间的应付利息计算

22、出来的应付利息计算出来并在贷款日付出并在贷款日付出时间用时间用实实际天数际天数/365 表示表示不动产的所有权在法律上从一方转移到另一方的时不动产的所有权在法律上从一方转移到另一方的时间被称为间被称为 结算日结算日settlement date一般情况下一般情况下就是贷款起始日期就是贷款起始日期利息理论与应用第6章 27在不动产抵押贷款的结算日要支付许多的附加费用在不动产抵押贷款的结算日要支付许多的附加费用和手续费和手续费最大的一部分费用是贷款的最大的一部分费用是贷款的始发手续费始发手续费origination fee一般用贷款额的点数表示一般用贷款额的点数表示 1 个点个点表示贷款额的表示贷

23、款额的 1%例如例如 十万元的抵押贷款如果始发手续费为两个点十万元的抵押贷款如果始发手续费为两个点则要支付则要支付 2000 元元利息理论与应用第6章 28其它费用包括其它费用包括信贷报告费用信贷报告费用调查费用调查费用文件准文件准备费用备费用 所有权调查费用所有权调查费用 记录费用记录费用 印花税票印花税票 taxstamps 和不动产估价和不动产估价appraisal 等等注注C 依据诚实贷款法案依据诚实贷款法案有些费用要摊在年百分率有些费用要摊在年百分率APR 中中 从而实际的从而实际的 APR 要高于原始贷款的年利率要高于原始贷款的年利率原始贷款年利率只用于确定每月的还款金额和构造摊原

24、始贷款年利率只用于确定每月的还款金额和构造摊还表还表,也称为也称为上市贷款利率上市贷款利率注注C L = L Q利息理论与应用第6章 29不动产抵押贷款计算融资费用和不动产抵押贷款计算融资费用和 APR 的具体方法的具体方法计算使用记号计算使用记号R = 每次还款额每次还款额m = 12 默认值默认值n = 还款的总次数还款的总次数L = 抵押贷款的申请金额抵押贷款的申请金额注注C 不是实际得到的贷款金额不是实际得到的贷款金额Q = 必须摊入必须摊入 APR 中的贷款费用中的贷款费用L* = 由诚实贷款法案确定的实际融资金额由诚实贷款法案确定的实际融资金额*相当于前面讨论中的相当于前面讨论中的

25、L利息理论与应用第6章 30j = 市场贷款月利率市场贷款月利率i = 市场贷款年利率市场贷款年利率 (月换算名利率月换算名利率)j = 实际贷款月利率实际贷款月利率i = 实际贷款年利率实际贷款年利率 (月换算名利率月换算名利率)融资费用为总还款额与融资金额的差融资费用为总还款额与融资金额的差即即K = nR L *市场贷款月利率满足市场贷款月利率满足Ran | j = L市场贷款市场贷款(名义名义)年利率满足年利率满足i = 12 j利息理论与应用第6章 31实际贷款月利率满足实际贷款月利率满足Ran | j=L*从而年百分率从而年百分率 APR 为为i =12 j注注C 年百分率年百分率

26、 APR 大于市场贷款利率大于市场贷款利率 i注注CK + L nan | j = L 利息理论与应用第6章 32例例某家庭购买房产需要五十万元某家庭购买房产需要五十万元首次付款首次付款 20%余额用余额用 30 年抵押贷款方式逐月付清年抵押贷款方式逐月付清贷款年利率贷款年利率8.1%结算时的费用为固定费用结算时的费用为固定费用 800 元再加上两个元再加上两个点点 其中的其中的 1 个半点和固定费用中的一半要摊在每年个半点和固定费用中的一半要摊在每年的的 APR 中中 若购房日期为若购房日期为 7 月月 12 日日 给出贷款结算给出贷款结算时所需要的计算时所需要的计算解解首付款金额为首付款金

27、额为500,00020% =100,000从而原始贷款金额为从而原始贷款金额为L =500,000100,000= 400,000= = 2943.12利息理论与应用第6章 33在在 7月月 12 日所应支付的七月份余下日子日所应支付的七月份余下日子 (共计共计 20天天)的应计利息的应计利息 (单利单利)为为(20365)0.081400,000 =1775.34又有又有i= 0.081 j= 0.675%从而从从而从 8 月月 1 日开始的日开始的(期初方式期初方式)正常月偿还金额为正常月偿还金额为R =400,0001.00675134.9987400,000a &360 | .

28、00675在结算日摊入在结算日摊入 APR 的费用为的费用为利息理论与应用第6章 3412从而实际贷款额为从而实际贷款额为L* = 400,0006400 = 393,600融资费用为融资费用为K =3602,943.12 393,600 =665,923.20最后最后APR 为为2943.12a &360 | j = 393,600由此可得由此可得j 0.69% APR =8.28%利息理论与应用第6章 35注注C APR=8.28%大于市场贷款利率大于市场贷款利率 8.1%贷款本金倾斜贷款本金倾斜在不动产抵押贷款的偿还中在不动产抵押贷款的偿还中 如果用摊还表来考虑如果用摊还表来考虑

29、则可以发现则可以发现前面的还款几乎全部用于还利息前面的还款几乎全部用于还利息 而后而后面的还款几乎完全用于还本金面的还款几乎完全用于还本金所以在购房抵押贷款中所以在购房抵押贷款中还贷款数年后还贷款数年后不动产抵不动产抵押的贷款余额基本上没有降低多少押的贷款余额基本上没有降低多少 这就是所谓的这就是所谓的贷贷款本金倾斜款本金倾斜向后向后现象现象利息理论与应用第6章 36可调利率的抵押贷款可调利率的抵押贷款近几年出现的近几年出现的可调利率的抵押贷款可调利率的抵押贷款adjustablerate mortgage, ARM 是与传统的是与传统的固定利率抵押贷固定利率抵押贷款款fixed rate m

30、ortgage 相对应的相对应的抵押贷款利率往往盯住一些不受银行或储蓄贷款机抵押贷款利率往往盯住一些不受银行或储蓄贷款机构控制的经济指数构控制的经济指数如美国国库券利率和平均国民贷如美国国库券利率和平均国民贷款利率款利率周期地进行利率调整周期地进行利率调整周期通常为周期通常为 1 年年3年或年或 5 年年利率的调整权在贷款人手里利率的调整权在贷款人手里利息理论与应用第6章 37作为承担了利率上升风险的一种补偿作为承担了利率上升风险的一种补偿 借款人在取借款人在取得可调整利率抵押贷款之初所付利息比相同期限的固得可调整利率抵押贷款之初所付利息比相同期限的固定利率抵押贷款利息要低定利率抵押贷款利息要

31、低担心利率急剧上升的房地产主可能选择固定利率贷担心利率急剧上升的房地产主可能选择固定利率贷款款而认为利率将会有节制地上升而认为利率将会有节制地上升 保持平稳保持平稳或下或下降的人则选择可调整利率抵押贷款降的人则选择可调整利率抵押贷款 ARM从贷款一方看从贷款一方看虽然虽然 ARM 在开始时有低于固定抵在开始时有低于固定抵押贷款利率的贷款利率押贷款利率的贷款利率但可以保证在未来的但可以保证在未来的 15 到到30 年间实际利率与固定利率相同年间实际利率与固定利率相同利息理论与应用第6章 38在利率上升期间在利率上升期间 贷款人将利率锁定在固定利率上贷款人将利率锁定在固定利率上在利率下降期间在利率

32、下降期间贷款人可以通过用较低的利率对贷贷款人可以通过用较低的利率对贷款或部分贷款进行再融资款或部分贷款进行再融资从借款人一方看从借款人一方看 ARM 的吸引力在于开始的利率较的吸引力在于开始的利率较低低月偿还金额也就较低月偿还金额也就较低但是但是固定利率贷款的利固定利率贷款的利率波动风险是由贷款人承担的率波动风险是由贷款人承担的 而而 ARM 贷款的利率贷款的利率波动风险则被转嫁到借款人身上波动风险则被转嫁到借款人身上注注C 我国目前的住房抵押贷款就是可调利率抵押贷我国目前的住房抵押贷款就是可调利率抵押贷款款 ARM)136.2835利息理论与应用第6章 39例例某人贷款某人贷款 65,000

33、 元元期限期限 30 年年为可调利率贷为可调利率贷款款第一年的利率为第一年的利率为 8% 如果从第二年开始利率增如果从第二年开始利率增为为 10% 计算月偿还金额的增长幅度计算月偿还金额的增长幅度解解按照期初年金方式按照期初年金方式第一年的月偿还金额为第一年的月偿还金额为65,0008%12a= 473.788(1+65,000&360 | .0812利率调整后新的月偿还金额为利率调整后新的月偿还金额为1212473.788=565.053a &348 | .08a &348 | .10利息理论与应用第6章 40绝对增量为绝对增量为1212473.7881= 91.27

34、a &348 | .08a &348 | .10增长幅度为增长幅度为12121=19.3%a &348 | .08a &348 | .10K + L利息理论与应用第6章 41APR 近似计算和分析近似计算和分析APR 的精确方程为的精确方程为K +Lnan | j = LAPRmj =K表示融资费用表示融资费用 每次的每次的其中其中 L表示实际贷款金额表示实际贷款金额偿还金额为偿还金额为n注注C APR 的计算可通过的计算可通过 Excel 求数值解求数值解传统近似计算方法可以帮助对基本概念的理解传统近似计算方法可以帮助对基本概念的理解下面介绍四种下面介绍四种

35、APR 近似计算的方法近似计算的方法利息理论与应用第6章 42基本记号基本记号每年分为每年分为m个时间段个时间段年百分率年百分率 APR 用用 i 表示表示 则则im每个时间段内的实际利率为每个时间段内的实际利率为 j =用用Bt 表示在时刻表示在时刻mtm的未结贷款余额的未结贷款余额B0 = Lm则则融资费用的计算可表为融资费用的计算可表为i n1m即即融资费用融资费用 K等于每个时间段内未结贷款余额依等于每个时间段内未结贷款余额依APR 计算的应计利息之和计算的应计利息之和B利息理论与应用第6章 43从而从而 APR 可以表示为可以表示为mmKn1tt=0i =注注C 这里的这里的K是在计

36、算是在计算 i 之前就已经计算好的之前就已经计算好的注注C 四种近似计算四种近似计算 APR 的方法都是从上述公式出发的方法都是从上述公式出发得到的得到的区别在于如何看待每次分期付款中的偿还本区别在于如何看待每次分期付款中的偿还本金和所付利息金和所付利息即如何计算未结贷款余额即如何计算未结贷款余额利息理论与应用第6章 441 最大收益法最大收益法maximum yield method这种方法的数值结果比其它结果都大这种方法的数值结果比其它结果都大记为记为imax基本思想基本思想每次的分期付款首先用于偿还本金每次的分期付款首先用于偿还本金 只只有当本金全部还清后有当本金全部还清后再开始偿还利息

37、再开始偿还利息即即若假定若假定K + LKLn 1K + Ln即即K 可以计算融资费用大于每次付款条件下的一般公可以计算融资费用大于每次付款条件下的一般公式式如假设有如假设有K + L K + Ln n则同样的可以构造摊还表则同样的可以构造摊还表注意摊还表中的变化注意摊还表中的变化LL2nK K利息理论与应用第6章 49时间时间 分期付款分期付款 偿还利息偿还利息偿还本金偿还本金未结贷款余额未结贷款余额01m2mK + LnK + Ln00K + LnK + LnLK + LnK + LnK +Ln2n 2 K + Lm nn 1 K + Lmn K + L0K + LnK + LK + Ln

38、K + Ln0L(n 2)00m总和总和nL+KnKL= L KK利息理论与应用第6章 50由此可得未结贷款余额由此可得未结贷款余额表中的最后一列表中的最后一列的和为的和为12n1K + L (n1)(n2)n 2= L(n1)(n +2)(n 1) (n 2)(n 1)n n从而有从而有maxiL=2mK(n +2)(n 1) (n 2)(n 1)n nB利息理论与应用第6章 51思考思考为什么这种算法得到的数值结果要大于真实的为什么这种算法得到的数值结果要大于真实的APR分析分析m因为表中计算的因为表中计算的Bt 一定小于真实的一定小于真实的 Btm从而从而mmKn1tt=0导致导致i =

39、变大变大利息理论与应用第6章 522 最小收益法最小收益法minimum yield method这种方法的数值结果比其它结果都小这种方法的数值结果比其它结果都小min记为记为i基本思想基本思想每次的分期付款首先用于偿还利息每次的分期付款首先用于偿还利息 只只有当利息全部还清后有当利息全部还清后再开始偿还本金再开始偿还本金即即若假定若假定K + LKn融资费用小于每次的付款金额融资费用小于每次的付款金额则可以得到这种方法的修正摊还表则可以得到这种方法的修正摊还表注注C 在上述假定下在上述假定下 第一次的还款即可付清全部利息第一次的还款即可付清全部利息利息理论与应用第6章 53时间时间分期付款分

40、期付款偿还利息偿还利息 偿还本金偿还本金未结贷款余额未结贷款余额LK01m2mK +LnK +LnK0K + LnK + Ln(n(n1)2)K +LnK +Lnn 1mnK +LnK +L00K + LnK + LK + Ln0m总和总和nL + KKnL利息理论与应用第6章 54由此可得未结贷款余额的和为由此可得未结贷款余额的和为12n1K + L n(n +1)n 2=K从而有从而有mini=2mKL(n+1)+ K(n1)B利息理论与应用第6章 55思考思考为什么这种算法得到的数值结果要小于真实的为什么这种算法得到的数值结果要小于真实的APR分析分析m因为表中计算的因为表中计算的Bt

41、一定大于真实的一定大于真实的 Btm从而从而mmKn1tt=0导致导致i =变小变小利息理论与应用第6章 563 固定比率法固定比率法constant ratio method假定每次付款中以固定比例偿还本金假定每次付款中以固定比例偿还本金 固定比例偿固定比例偿还利息还利息cr该方法的数值结果记为该方法的数值结果记为i相应这种方法的修正摊还表为相应这种方法的修正摊还表为注注C 通常的摊还通常的摊还 偿还本金的比例在逐渐增大偿还本金的比例在逐渐增大 而偿而偿还利息的比例在逐渐减少还利息的比例在逐渐减少n 1n2利息理论与应用第6章 57时间时间 分期付款分期付款偿还利息偿还利息偿还本金偿还本金

42、未结贷款余额未结贷款余额Kn01m2mK + LnK + LnKnLnLnLnn L Ln 1mnK + LnK + LKnKLnL1Ln0m总和总和nL + KnKnLi =利息理论与应用第6章 58由此可得未结贷款余额的和为由此可得未结贷款余额的和为(n +1)2n1+L+从而有从而有cr2mKL(n+1)利息理论与应用第6章 594 直接比率法直接比率法direct ratio method对本金和利息给以非常接近精算方法的近似结果对本金和利息给以非常接近精算方法的近似结果即相应的摊还表中的利息部分是随着时间的推移而递即相应的摊还表中的利息部分是随着时间的推移而递减的减的本金部分是随着时

43、间的推移而递增的本金部分是随着时间的推移而递增的dr该方法的数值计算结果记为该方法的数值计算结果记为i例例考虑一年期的贷款考虑一年期的贷款 因为数字因为数字 1 到到 12 的和为的和为78所以所以直接比例法假定第一个月偿还融资费用的直接比例法假定第一个月偿还融资费用的12/78 第二个月偿还融资费用的第二个月偿还融资费用的 11/78 最后一最后一个月偿还融资费用的个月偿还融资费用的 1/78利息理论与应用第6章 60注注C 该方法也称为该方法也称为 78 计算法计算法Rule of 78引入记号引入记号srsr= 1 + 2 +r=r(r +1)2则可以得到该方法的修正摊还表则可以得到该方

44、法的修正摊还表K + L K( ) K + L n Kn sn KKK KK + L s1 K利息理论与应用第6章 61时间时间 分期还款分期还款 偿还利息偿还利息偿还本金偿还本金未结贷款余额未结贷款余额nn sn01m2mKK + L n 1 K +L n 1n sn n snLK + L sn1n snK + L sn2n sn(n 1)(n 2)n1 K + Lm nK2snK + L 2n sn Kn sn0nm总和总和K + LnL + K1KsnKK + L 1n snLB1+2+L+n K+L+ +1K i =L(n +1)+ K(n 1)利息理论与应用第6章 62由此可以得到未

45、结贷款余额的和为由此可以得到未结贷款余额的和为1 12 3tmn1t=0K + L S1 Sn1n Sn Sn=K + L n(n +1) n +2n 2 3=从而有从而有dr2mK13= =6.072%= =5.752%利息理论与应用第6章 63例例一年期消费贷款一年期消费贷款 1 万元万元每月偿还每月偿还 860 元元用上用上述四种近似方法计算该分期付款贷款的利率述四种近似方法计算该分期付款贷款的利率解解方法方法 1最大收益法最大收益法maxi21232010,0001332011方法方法 2最小收益法最小收益法mini21232010,00013+32011i =利息理论与应用第6章 6

46、4方法方法 3固定比率法固定比率法cr 21232010,00013方法方法 4直接比率法直接比率法113dr=5.855%21232010,00013+320结论结论精确解为精确解为APR 5.856%从而四个近似方法得从而四个近似方法得到的数值解与精确解之间的关系为到的数值解与精确解之间的关系为imin idr i =5.856% icr imax利息理论与应用第6章 65预收融资费用预收融资费用unearned finance charge预收融资费用预收融资费用在有些贷款项目中在有些贷款项目中经过一段时间经过一段时间后后借款人可能希望加快还贷进程借款人可能希望加快还贷进程或者是将余额一

47、或者是将余额一次还清次还清或者是对余额进行再融资或者是对余额进行再融资但无论怎样但无论怎样原原始融资费用中的一部分是借款人必须支付的始融资费用中的一部分是借款人必须支付的 因为这因为这部分费用是贷款人已经支出的费用部分费用是贷款人已经支出的费用 无论还贷时间长无论还贷时间长短都要偿还的短都要偿还的例例在上例的消费贷款中在上例的消费贷款中如果只用上半年的六次分如果只用上半年的六次分期付款就完成还贷期付款就完成还贷分别用分别用1精算方法精算方法278法则法则计算借款人的预收融资费用计算借款人的预收融资费用利息理论与应用第6章 66解解用直接比率法求得近似用直接比率法求得近似 APR=5.85%本例

48、中全部的融资费用即为贷款利息本例中全部的融资费用即为贷款利息1 在六月底的未结贷款余额用预期法计算为在六月底的未结贷款余额用预期法计算为6|5.85%12860a=5073.09后半年的计划还款总和为后半年的计划还款总和为6 860 = 5160从而两者的差为从而两者的差为51605073.09 =86.91利息理论与应用第6章 67如果按照未结贷款余额提前还贷如果按照未结贷款余额提前还贷 这个差值是无法收这个差值是无法收回的回的所以应该是一种预收的融资费用所以应该是一种预收的融资费用2 已知已知 s6= 21, s12 = 78 总的融资费用为总的融资费用为 320 元元按照比例后半年的预收

49、融资费用为按照比例后半年的预收融资费用为2178320 =86.15结论结论已交付的融资费用为已交付的融资费用为320 = 233.8512+11+L+778利息理论与应用第6章 68抵押贷款债务的证券化抵押贷款债务的证券化问题的提出问题的提出在前面讨论抵押贷款的时候在前面讨论抵押贷款的时候 总是假设每一笔现总是假设每一笔现金流收到的时间都是确定的金流收到的时间都是确定的 借款人不会在规定的借款人不会在规定的时间之前偿还贷款时间之前偿还贷款在实际中借款人却经常有可能会提前偿还贷款在实际中借款人却经常有可能会提前偿还贷款这使得抵押贷款的现金流成为不确定的这使得抵押贷款的现金流成为不确定的注注C

50、提前偿还会有一定的代价提前偿还会有一定的代价例如需要多支付例如需要多支付一个月的利息金额等一个月的利息金额等利息理论与应用第6章 69利用抵押贷款构造的利用抵押贷款构造的抵押支持证券抵押支持证券(mortgagebacked securities / MBS) 虽然不能减少提前支付虽然不能减少提前支付风险的总的大小风险的总的大小 但却可以改变风险在不同投资者但却可以改变风险在不同投资者中的分布中的分布比如比如 投资者如果只购买某一笔抵押贷款投资者如果只购买某一笔抵押贷款 则很则很难预测提前支付发生的可能性难预测提前支付发生的可能性但如果购买但如果购买 10 笔笔或更多笔抵押贷款的组合或更多笔抵

51、押贷款的组合 由于每笔贷款的提前支由于每笔贷款的提前支付风险的相互关系付风险的相互关系就有可能较好的预测提前支就有可能较好的预测提前支付付利息理论与应用第6章 70抵押贷款债务产生的证券产品是一类投资工具抵押贷款债务产生的证券产品是一类投资工具它的现金流由支持它的抵押按揭贷款合约决定它的现金流由支持它的抵押按揭贷款合约决定基本原理基本原理抵押按揭贷款的贷款方抵押按揭贷款的贷款方也可以是另外的发起也可以是另外的发起人人 将一定量的按揭合约汇集在一起将一定量的按揭合约汇集在一起 从资本市场从资本市场投资者投资者 为这些债务合约进行融资为这些债务合约进行融资 同时承诺按同时承诺按一定的回报方式回报投

52、资者一定的回报方式回报投资者利息理论与应用第6章 71抵押贷款债务产生的主要证券产品抵押贷款债务产生的主要证券产品 抵押支持证抵押支持证券包括券包括v 抵押贷款转递证券抵押贷款转递证券 (mortgage pass- through)v 担保抵押贷款证券担保抵押贷款证券 (collateralized mortgageobligation / CMO)v 剥离抵押贷款证券剥离抵押贷款证券 (stripped mortgage-backedsecurities)利息理论与应用第6章 72MBS 现金流的基本特征现金流的基本特征抵押贷款转递证券抵押贷款转递证券投资机构购买多笔抵押贷款投资机构购买多

53、笔抵押贷款 然后打包以作为债然后打包以作为债券的担保品券的担保品 这种证券的现金流就是抵押贷款的现这种证券的现金流就是抵押贷款的现金流扣除证券发行费用及其它服务费用后的部分金流扣除证券发行费用及其它服务费用后的部分例例 某投资机构购买了某投资机构购买了 10 笔贷款组成一个贷款池笔贷款组成一个贷款池总价值为总价值为 100 万元万元然后分成然后分成 40 个单位个单位即证券即证券的份额的份额每个单位价值每个单位价值 2 万万 5 千元千元即每个单位即每个单位的现金流为总现金流的的现金流为总现金流的 2.5%注注C 这个过程称为证券化这个过程称为证券化抵押贷款的证券化被抵押贷款的证券化被称为是称

54、为是转递转递Pass-through利息理论与应用第6章 73注注C 抵押贷款转递证券使得投资者可以较少的资金抵押贷款转递证券使得投资者可以较少的资金获得相应比例的获得相应比例的 10 笔贷款的现金流收入笔贷款的现金流收入 减少了交易减少了交易成本成本担保抵押贷款证券担保抵押贷款证券投资于抵押贷款转递证券的投资者面临所有贷款的投资于抵押贷款转递证券的投资者面临所有贷款的提前支付的风险提前支付的风险而担保抵押贷款证券则是将每个月而担保抵押贷款证券则是将每个月的现金流进行重新分配的现金流进行重新分配从而重新分配提前支付的风从而重新分配提前支付的风险险使得不同的投资者面临不同的风险使得不同的投资者面

55、临不同的风险利息理论与应用第6章 74例例将将 100 万元贷款总额分成三个部分万元贷款总额分成三个部分 分别为分别为 A 部部分分 40 万元万元B 部分部分 35 万元万元C 部分部分 25 万元万元三个等级的利息支付是以占总价值的比率来确定利三个等级的利息支付是以占总价值的比率来确定利息的金额息的金额而本金支付则采取顺序支付的方法而本金支付则采取顺序支付的方法 即将即将全部所得的正常支付本金和提前支付本金都先用来支全部所得的正常支付本金和提前支付本金都先用来支付付 A 的本金的本金 直到直到 A 的所有本金完全支付后的所有本金完全支付后 再开始再开始支付支付 B 的本金的本金 而而 C

56、的本金支付需要等到的本金支付需要等到 B 的所有本的所有本金完全支付后才进行金完全支付后才进行从而从而 A 的期限较短的期限较短B 的期限长一些的期限长一些C 的期限是的期限是最长的最长的投资者可以根据各自的资产负债结构的不同投资者可以根据各自的资产负债结构的不同选择不同期限的债券选择不同期限的债券利息理论与应用第6章 75剥离抵押贷款证券剥离抵押贷款证券将抵押贷款的所有利息偿还和本金偿还的现金将抵押贷款的所有利息偿还和本金偿还的现金流分解成两种债券流分解成两种债券v 包包 含含 所所 有有 利利 息息 的的 债债 券券 称称 为为 IO 债债 券券Interest-Only Bondv 包含

57、所有本金包含所有本金 PO 债券债券Principal-OnlyBond注注C 下面以抵押贷款转递证券为例介绍在抵押贷下面以抵押贷款转递证券为例介绍在抵押贷款债务的证券化过程中的主要计算问题款债务的证券化过程中的主要计算问题 具体为产具体为产品定价和价值评估中的计算品定价和价值评估中的计算利息理论与应用第6章 76提前偿还的模式分析提前偿还的模式分析提前偿还的模式分析是指对大量抵押按揭合约提前偿还的模式分析是指对大量抵押按揭合约组成的资产池的提前偿还模式的分析组成的资产池的提前偿还模式的分析注注C 抵押按揭的提前偿还模式是影响抵押贷款转抵押按揭的提前偿还模式是影响抵押贷款转递证券现金流的重要因

58、素递证券现金流的重要因素 但只对某个个体贷款合但只对某个个体贷款合约进行提前偿付的现金流分析很难把握约进行提前偿付的现金流分析很难把握基本计算基本计算1) 时间时间 t 1 t n以月为单位以月为单位Bt正常偿还情形第正常偿还情形第t 月月底未结本金贷款余额月月底未结本金贷款余额利息理论与应用第6章 77B t实际偿还实际偿还可能有提前偿还可能有提前偿还后第后第 t 个月月个月月底的未结本金余额底的未结本金余额注注C B0 = B0Rt不考虑提前偿还时计算的第不考虑提前偿还时计算的第 t 个月的计划偿还个月的计划偿还额额从而由从而由 B t1的定义有的定义有B t1 = Rtan(t1)| j

59、2) 记记PRt为第为第 t 个月月底的提前偿还量个月月底的提前偿还量直接用于直接用于扣除本金扣除本金则有则有PRt = Bt Bt利息理论与应用第6章 783) 记记B tBtQt =在原计划在原计划Bt的条件下的条件下第第 t 个月底的剩个月底的剩余未偿还比例余未偿还比例1Qt已被提前偿还的比例已被提前偿还的比例注注C Q0 =1例例 因提前偿还实际的余额因提前偿还实际的余额为为Bt = 90,000 则剩余的未偿还比例为则剩余的未偿还比例为90,00099,000Qt1 Qt Qt利息理论与应用第6章 79即即还有原计划的还有原计划的 90.9%没有提前偿还没有提前偿还 原计划的原计划的

60、9.1%已被提前偿还已被提前偿还注注C Bt BtQt 14) 记月提前支付率记月提前支付率 single monthly mortality rate为为Qt1 Qt1SMMt =1即即 在原计划在原计划Bt的条件下第的条件下第t个月初的一个单位的本个月初的一个单位的本金余额金余额在本月内被提前偿还的可能性在本月内被提前偿还的可能性注注 SMMt 1C 0 m有有nm5) 记年提前支付率记年提前支付率 CPRt (Conditional PrepaymentRate)为为12j=1在此基础上在此基础上 提前偿还模式分析也就是提前偿还模式分析也就是SMMt(CPRt)和和Qt的模式分析的模式分析现有的方法主要有以下两种现有的方法主要有以下两种 6%利息理论与