《高等数学》空间解析几何

1、1 空间直角坐标系 2 两矢量和在轴上的投影3 矢量积的分配律的证明 4 混合积的几何意义 5 一般柱面 F(x,y)=0 6 一般柱面 F(y,z)=0 7 椭圆柱面 8 双曲柱面 9 抛物柱面 10 旋转面的方程11 双叶旋转双曲面 12 单叶旋转双曲面 13 旋转锥面 14 旋转抛物面15 环面 16 椭球面 17 椭圆抛物面 18 双曲抛物面 19 双曲面的渐近锥面 20 单叶双曲面是直纹面 21 双曲抛物面是直纹面 22 一般锥面23 空间曲线圆柱螺线 24 空间曲线在坐标面上的投影25 空间曲线作为投影柱面的交线(1)26 空间曲线作为投影柱面的交线(2)27 作出平面y=0 ,

2、z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的立体图形 28图形所围立体作出曲面0, 0, 0,222222zyxazxyx，a29 形在第一卦限所围立体图平面 azyx,az,ay,ax30. 1 1 2222所围立体图形和 作出曲面zyxyxz八个卦限八个卦限zyx01. 八个卦限八个卦限zyx0. 1. 八个卦限八个卦限zyx0MxyNz(x,y,z)M (x,y,z)点的坐标点的坐标. 1. 0zyx0MxyNz(x,y,z)(x,y,z)坐标和点坐标和点 M1. .0zyx0NM点到坐标面的距离点到坐标面的距离M点到原点的距离点到原点的距离M点到坐标轴的

3、距离点到坐标轴的距离PQ到到z轴轴:221yxd 到到x轴轴:到到y轴轴:222yzd 223zxd M(x,y,z)d1d2d3.1. .x0zyM点的对称点点的对称点关于关于xoy面面:(x,y,z) (x,y,-z)关于关于x轴轴:(x,y,z) (x,-y,-z)Q0关于原点关于原点:(x,y,z) (-x,-y,-z)1. .M(x,y,z)xRP(x,y,-z)(x,-y,-z)(-x,-y,-z)uABc两矢量的和在轴上的投影等于投影的和两矢量的和在轴上的投影等于投影的和A B c 2. 两矢量和在轴上的投影两矢量和在轴上的投影AcuA B c BCAAC jPrCBBC jPr

4、BAAB jPrCACBBA ACBCAB jPr jPr jPr .两矢量的和在轴上的投影等于投影的和两矢量的和在轴上的投影等于投影的和2. 两矢量和在轴上的投影两矢量和在轴上的投影引理引理 caca1a将矢量将矢量a一投一转（转一投一转（转900），），证明证明 sin| a引入引入 证毕证毕(a+b) c=(a c)+(b c)2cos(| a0ca c03.3. : 两矢方向两矢方向: 一致一致；a2|a2|= |a1|a2得得a2(a+b) c=(a c)+(b c)c0ca baa+b1b11ba 0cb cacac )(| 0cbcbc )(|0cbacbac )()(|00)(

5、cba (a+b) ca c由矢量和的平行四边形法则，由矢量和的平行四边形法则，1a11ba 1a1b得证得证c03.3. : .b c将平行四边形一投一转将平行四边形一投一转(a+b) c=(a c)+(b c)bc a baS=|a b| h| | abc|jPr| cbaba h S V 4.4. 混合混合积的几何意义积的几何意义|cba h ac a bb4.4. 混合混合积的几何意义积的几何意义.| | abc|jPr| cbaba h S V |cba h ac a bb4.4. 混合混合积的几何意义积的几何意义.其混合积其混合积 abc = 0| | abc|jPr| cbaba

6、 h S V |cba 三矢三矢 a, b, c共面共面因此，因此，xzy0母线母线F( x,y )=0z = 0准线准线 (不含不含z)M(x,y,z)N (x, y, 0)S曲面曲面S上每一点都满足方程；上每一点都满足方程；曲面曲面S外的每一点都不满足方程外的每一点都不满足方程点点N满足方程，故满足方程，故点点M满足方程满足方程5.5. 一般一般母线母线准线准线(不含不含x)F( y, z )=0 x = 0 xzy06.6. 一般一般12222 byaxabzxyo7.7. 椭圆椭圆zxy = 0y12222 bzaxo8.8. 双曲双曲pxy22 zxyo9.9. 抛物抛物曲线曲线 C

7、 00),(xzyfCy zo绕绕 z轴轴10.10. 旋转旋转的方程的方程曲线曲线 C 00),(xzyfxCy zo绕绕 z轴轴.10.10. 旋转旋转的方程的方程曲线曲线 C 00),(xzyf旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SCSMN), 0(11zy zz 1zPMPy |11y1zy zo绕绕 z轴轴.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)10.10. 旋转旋转的方程的方程.x S曲线曲线 C 00),(xzyf旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面 SxCSMN), 0(11zyzz 1zPMPy |11y1z0),( 22 zyxfS：.绕绕 z轴轴.22yx

8、f (y1, z1)=0M(x,y,z)f (y1, z1)=0f (y1, z1)=010.10. 旋转旋转的方程的方程.y zo Sx zbyax 双曲线双曲线0y11.11. 绕绕 x 轴一周轴一周x zbyax 双曲线双曲线0zy绕绕 x 轴一周轴一周11.11. x0zy 得得双双叶叶旋旋转转双双曲曲面面122222 bzyax. zbyax 双曲线双曲线11.11. .绕绕 x 轴一周轴一周axyo12.12. 上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周 012222 zbyax axyoz上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周 012222 zbyax 12.12. a.xy

9、oz 得得单单叶叶旋旋转转双双曲曲面面122222 byazx.12.12. 上题双曲线上题双曲线绕绕 y 轴一周轴一周 012222 zbyax 0 0 2222 =z=byax13.13. 旋转锥面旋转锥面两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周x yo 0 0 2222 =z=byax.两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周x yoz13.13. 旋转锥面旋转锥面x yoz 0 0 2222 =z=byax.两条相交直线两条相交直线绕绕 x 轴一周轴一周得旋转锥面得旋转锥面022222 bzyax.13.13. 旋转锥面旋转锥面yoz 02 xazy14.14. 抛物线抛物

10、线绕绕 z 轴一周轴一周yoxz 02 xazy抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周14.14. yayxz22 .oxz生活中见过这个曲面吗？生活中见过这个曲面吗？.14.14. 02 xazy抛物线抛物线绕绕 z 轴一周轴一周得旋转抛物面得旋转抛物面14. 例例.15.15.yxorR)0()222 rRryRx（ 圆圆绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面15.15.z绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面yxo.)0()222 rRryRx（ 圆圆15.15.z绕绕 y轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面22222)(ryRzx 环面方程环面方程.生活中见过这个曲面吗？生活中见过这个曲面吗？y

11、xo)(4)( 222222222zxRrRzyx 或或.)0()222 rRryRx（ 圆圆.15.15.1 222222 czbyax截痕法截痕法用用z = h截曲面截曲面用用y = m截曲面截曲面用用x = n截曲面截曲面abcyx zo16.16. xzy0截痕法截痕法用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用x = c截曲面截曲面17.17. zqypx22222 xzy0截痕法截痕法用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用x = c截曲面截曲面17.17. .zqypx22222 用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面

12、截曲面xzy0zqypx 2222截痕法截痕法 （马鞍面）（马鞍面）18.18. 双曲抛物面双曲抛物面 截痕法截痕法.18.18. 双曲抛物面双曲抛物面 （马鞍面）（马鞍面）xzy0用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面zqypx 2222截痕法截痕法.18.18. 双曲抛物面双曲抛物面 （马鞍面）（马鞍面）xzy0用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面zqypx 2222 1222222 czbyax1222222 czbyax0222222 czbyax单叶单叶：双叶双叶：yx zo 在平面上，双曲线有渐进线。

13、在平面上，双曲线有渐进线。 相仿，相仿，单叶双曲面单叶双曲面和和双叶双曲面双叶双曲面有有渐进锥面渐进锥面。 用用z=z=h h去截它们，当去截它们，当| |h h| |无限增大时，无限增大时，双曲面双曲面的截口椭圆与它的的截口椭圆与它的渐进锥面渐进锥面 的截口椭圆任意接近，即：的截口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接近。双曲面和锥面任意接近。渐进锥面：渐进锥面：19.19. 锥锥 1222222 czbyax 例如，储水塔、例如，储水塔、电视塔等建筑都电视塔等建筑都有用这种结构的。有用这种结构的。.20.20. zbyax 222221. 21. n次齐次方程次齐次方程F(x,y,z)= 0

14、的图形是以原点为顶点的锥面；的图形是以原点为顶点的锥面；方程方程 F(x,y,z)= 0是是 n次齐次的：次齐次的： ).,(),( zyxFttztytxFn 若若准线准线顶点顶点n次齐次方程次齐次方程F(x,y,z)= 0.反之，以原点为顶点的锥面的方程是反之，以原点为顶点的锥面的方程是锥面是直纹面锥面是直纹面x0z yt是任意数是任意数22.22. 一般锥一般锥23.23. 圆柱螺线圆柱螺线P同时又在平行于同时又在平行于z轴的方向轴的方向等速地上升。等速地上升。其轨迹就是圆柱螺线。其轨迹就是圆柱螺线。 圆柱面圆柱面222ayx yz0 xa x = y =z =acos tbtM(x,y

15、,z)asin ttM螺线从点螺线从点P Q当当 t 从从 0 2 ，bPQ 2叫螺距叫螺距N.Q（移动及转动都是等速进（移动及转动都是等速进行，所以行，所以z与与t t成正比。成正比。) )点点P在圆柱面上等速地绕在圆柱面上等速地绕z轴旋转；轴旋转； 。平平面面的的投投影影在在的的交交线线及及求求曲曲面面 2 2222xoyLyxzyxz 22222 yxzyxz1. 11 22zyx解解yxzo得得交线交线L：24. 24. 由由z =0.21 11 22zyxyxzo解解122 yxL 所求投影曲线为所求投影曲线为122 yx 01 22zyx.得得交线交线L：24. 24. .投影柱面

16、投影柱面 22222 yxzyxz由由。平平面面的的投投影影在在的的交交线线及及求求曲曲面面 2 2222xoyLyxzyxz 1283442 2222xzyzxzy将将其其换换成成L:xz y0( )投投影影柱柱面面的的交交线线25. 25. 消去消去zy2 = 4x y2 = 4x 1283442 2222xzyzxzy将将其其换换成成L:xz y0( )投投影影柱柱面面的的交交线线 消去消去z(消去消去x )25. 25. .y2+(z 2)2 = 4y2+(z 2)2 = 4y2 = 4x y2 = 4x 1283442 2222xzyzxzy将将其其换换成成L：L:xz y0L转动坐

17、标系，有下页图( )投投影影柱柱面面的的交交线线转动坐标系，有下页图. 消去消去z(消去消去x ).y2+(z 2)2 = 4y2 = 4x y2+(z 2)2 = 4y2 = 4x 25. 25. L：Lxz y0y2+(z 2)2 = 4y2 = 4x (消去消去z)y 2 + (z 2)2 = 4 (消去消去x)y2 = 4x 26. 666x+y+z=63x+y=6227. 27. 作图练习作图练习x0z y 平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和x+y+z =6所围成的立体图所围成的立体图666x+y+z=63x+y=62.x0z y 平面平面y=0

18、, z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和x+y+z =6所围成的立体图所围成的立体图27. 27. 作图练习作图练习3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z y42 平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和x+y+z =6所围成的立体图所围成的立体图27. 27. 作图练习作图练习3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z y42 平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和x+y+z =6所围成的立体图所围成的立体图27. 27. 作图练习作图练习42x+y+z=6.x0z y666 平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和x+y+z =6所围成的立体图所围成的立体图27. 27. 作图练习作图练习42.x0z y666 平面平面y=0