一章节函数与极限PPT学习教案

1、会计学1一章节函数与极限一章节函数与极限第七节第七节 无穷小的比较无穷小的比较第八节第八节 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点第九节第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性第十节第十节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质第1页/共55页第一节第一节 映射与函数映射与函数一、一、 集合集合二、二、 映射映射三、三、 函数函数返回返回第2页/共55页 一、集合一、集合 集合与元素之间的关系集合与元素之间的关系aM：若：若x是集合的元素；是集合的元素；1.1.集合概念集合概念(1)(1)集合：集合：具有某种特定性质的事物的总体，具有某种特定性质的事物的

2、总体， 集合的元素通常用集合的元素通常用A，B，S，T 等表示等表示. .元素元素: : 组成这个集合的事物组成这个集合的事物 集合的元素通常用集合的元素通常用a，b，x，y等表示等表示. .集合分为有限集和无限集集合分为有限集和无限集. .a M: : 若若x不是集合的元素不是集合的元素. . (2)集合的表示法集合的表示法列举法列举法: :将集合的元素一一列举出来将集合的元素一一列举出来, ,1,2,3, N,dcbaA 描述法描述法: :|PxxM具有性质具有性质 01|2 xxB如如: :第3页/共55页N=全体自然数全体自然数 ，Z=全体整数全体整数 ，Q=全体有理数全体有理数 ，R

3、=全体实数全体实数.(3)常用的集合记号常用的集合记号 如果如果 ，必有，必有 , ,则称则称A是是B的子集，记为的子集，记为Ax Bx .BA 不含任何元素的集合，不含任何元素的集合，则称为则称为空集空集记为记为. 是任何集合的是任何集合的 子集子集. (4) 集合的关系集合的关系 A集合集合:集合集合A内排除内排除0的集的集. A集合集合:集合集合B内排除内排除0与负数的集与负数的集. 若若 ，且，且 , ,则称则称A是是B的真子集的真子集, ,记为记为 . .BA BA A B 若若 ，且，且 , ,则称则称A与与B相等相等, ,记为记为 . .BA AB BA 第4页/共55页2、集合

4、的运算、集合的运算是二个集合，定义是二个集合，定义设设A、BBxAxxBA 或或(A与与B的的并集并集)BxAxxBA 且且(A与与B的的交集交集)BxAxxBA 且且(A与与B的的差集差集)设设I表示我们研究某个问题的全体表示我们研究某个问题的全体, 则其他集合则其他集合A都是都是I的子集的子集,称称I为全集或基本集为全集或基本集.CAAI A的余集或补集记为的余集或补集记为:例如例如: 在实数集在实数集R中中10 xxA10 xxxAC或或则有则有第5页/共55页设设A、B、C为任意三个集合，则有下列法则成立：为任意三个集合，则有下列法则成立：（1）交换律）交换律ABBAABBA ,（2）

5、结合律）结合律)()(CBACBA )()(CBACBA )()()(CBCACBA （3）分配律）分配律)()()(CBCACBA CCCBABA )(（4）对偶律）对偶律CCCBABA )(以上这些法则都可以根据集合相等的定义验证以上这些法则都可以根据集合相等的定义验证.第6页/共55页证明证明:两个集合的并集的余集等于它们的余集的交集两个集合的并集的余集等于它们的余集的交集.证明证明:CBAx)( BAx Ax 且且Bx cAx 且且cBx ,ccBAx ;)(cccBABA 反之反之,ccBAx Ax 且且Bx BAx ,)(cBAx .)(cCCBABA 注注:在以后的证明中在以后的

6、证明中,“ ”表示表示“推出推出”(或或“蕴含蕴含”), “ ”表示表示“等价等价”.cAx 且且cBx 于是于是.)(cCCBABA 第7页/共55页,ByAxyxBA 且且直积或笛卡儿乘积直积或笛卡儿乘积例如：例如： RyRxyxRR ,),(为为xOy面上全体点的集合，记为面上全体点的集合，记为.2R第8页/共55页3 3、区间和邻域、区间和邻域Oab,ba设设a, ,bR, ,且且a b, ,|),(bxaxba 开区间开区间|,bxaxba 闭区间闭区间半开区间半开区间|,(bxaxba |),bxaxba 和和称称a, ,b为区间的端点，为区间的端点，称称ba为这些区间的长度为这些

7、区间的长度. .以上这些区间都称为有限区间以上这些区间都称为有限区间. .),(baOab第9页/共55页无限区间无限区间|),axxa |),(axxa |),(Rxx |),(bxxb |,(bxxb 用数轴可以表示区间用数轴可以表示区间, 区间常用区间常用I表示表示.Oa,a引进记号：引进记号： + + （读作（读作正无穷大正无穷大）( (读作读作负无穷大负无穷大）（读作（读作无穷大无穷大）b),(bO第10页/共55页 (2) (2) 点点a的去心邻域：的去心邻域：| 0 |),( axxaU。注注 若不强调若不强调的大小，点的大小，点a的去心邻域记为的去心邻域记为U( (a) )邻域

8、邻域x a a 点点a的左的左邻域邻域: :开区间开区间( (a-,-,a) )点点a的右的右邻域邻域: :开区间开区间( (a, ,a+)+)(1) (1) 设设是任一正数，称开区间是任一正数，称开区间( (a-,-,a+)+)为点为点a的的邻域邻域，记为，记为U( (a,),)，即，即| |),( axxaxaxaU点点a称为该邻域的称为该邻域的中心中心，称，称为该邻域的为该邻域的半径半径. .a返回返回第11页/共55页二、映射二、映射1、映射的概念、映射的概念定义定义 设设X、Y是二个非空集合，如果存在一个法则是二个非空集合，如果存在一个法则 , 使得对使得对X中每个元素中每个元素x,

9、 按法则按法则 , 在在Y中有唯一确定的元素中有唯一确定的元素 y与之对应与之对应, 则称则称 为从为从X到到Y的映射的映射,记为记为 fff,:YXf其中其中y称为元素称为元素x(在映射在映射 下下)的像的像,记作记作 ,即即 ,f)(xf)(xfy 元素元素x称为元素称为元素y(在映射在映射 下下)的一个原像的一个原像;f集合集合X称为映射称为映射 的定义域的定义域, 记作记作 , 即即ffD;XDf .)()(XxxfXfRf X中所有元素的像所组成的集合称为映射中所有元素的像所组成的集合称为映射 的值域的值域, 记作记作 或或 ,即即f)(XffR第12页/共55页注意注意:(1) 一

10、个映射必须具备以下三个要素一个映射必须具备以下三个要素:集合集合X, 即定义域即定义域;XDf 集合集合Y, 即值域的范围即值域的范围:;YRf 对应法则对应法则,f使对每个使对每个,Xx 有唯一确定的有唯一确定的)(xfy 与之对应与之对应.(2) 对每个对每个 ,元素元素x的像的像y是唯一的是唯一的;Xx 对每个对每个 ,元素元素y的原像不一定是唯一的的原像不一定是唯一的;fRy 映射映射 的值域的值域 是是Y的一个子集的一个子集,即即 ,不一定不一定 .fYRf fRYRf 第13页/共55页例例1 设设 , 对每个对每个 , . RRf:Rx 2)(xxf 显然显然, 是一个映射是一个

11、映射, 的定义域的定义域 ,值域值域 ffRDf ,0 yyRf它是它是R的一个真子集的一个真子集.对于对于 中的元素中的元素y, 除除y=0外外,它的原它的原fR像不是唯一的像不是唯一的.如如y=4的原像就有的原像就有x=2和和x=-2两个两个.例例2 设设 ,1),(22 yxyxX ,1)0 ,( xxY,:YXf对每个对每个 ,有唯一确定的有唯一确定的 Xyx ),(Yx )0 ,(与之对应与之对应.显然显然, 是一个映射是一个映射, 的定义域的定义域 ,值域值域ffXDf .YRf Oxy-11这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到这个映射表示将平面上一个圆心在原点

12、的单位圆周上的点投影到x轴的区间轴的区间-1,1上上.第14页/共55页例例3 设设,1 , 12,2 : f对每个对每个 ,2,2 x.sin)(xxf f这这 是一个映射是一个映射,其定义域其定义域 ,值域值域2,2 fD.1 , 1 fR 为为X到到Y上的映射（或上的映射（或满射满射）：）：f 为为X到到Y上的上的单射单射：f是从集合是从集合X到集合到集合Y的映射，的映射，f若若,YRf 都是都是X中某元素的像中某元素的像.即即Y中任一元素中任一元素y若对若对X中任意两个不同元素中任意两个不同元素,21xx 它们的像它们的像).()(21xfxf f为一一映射（或为一一映射（或双射双射）

13、：）：若映射若映射 既是单射，又是满射既是单射，又是满射.f如如:例例1 既非单射既非单射, 又非满射又非满射;例例2 不是单射不是单射,是满射是满射;例例3 既是单射既是单射,又是满射又是满射,因此是一一映射因此是一一映射.第15页/共55页映射又称为映射又称为算子算子.根据集合根据集合X、Y的不同情形的不同情形,在不同的数学分支中在不同的数学分支中,映射又有不同的惯用名称映射又有不同的惯用名称.如如: 从非空集合从非空集合X到数集到数集Y的映射又称为的映射又称为X上的上的泛函泛函.从非空集合从非空集合X到它自身的映射又称为到它自身的映射又称为X上的上的变换变换.从实数集从实数集(或其子集或

14、其子集)X到实数集到实数集Y的映射称为定义在的映射称为定义在X上的上的函数函数.第16页/共55页2. 逆映射与复合映射逆映射与复合映射f是是X到到Y上的单射上的单射,设设即即于是于是, 可以定义一个从可以定义一个从fR到到X的新映射的新映射g, ,:XRgf对每个对每个,fRy 规定规定,)(xyg 这这x满足满足.)(yxf 这个映射这个映射g称为称为f 的逆映射的逆映射,记作记作,1 f其定义域其定义域,1ffRD 值域值域.1XRf 注意注意:只有单射才存在逆映射只有单射才存在逆映射.例例1,2,3中中,只有例只有例3有逆映射有逆映射:,1 , 1,arcsin)(1 xxxf.2,2

15、,1 , 111 ffRD第17页/共55页设有两个映射设有两个映射,:,:21ZYfYXg其中其中.21YY 则可以确定一个从则可以确定一个从X 到到Z 的映射的映射, 称为复合映射称为复合映射,记作记作, gf 即即,:ZXgf .,)()(Xxxgfxgf 注意注意:映射映射g 和和f 构成复合映射的条件构成复合映射的条件:.fgDR fggf 两者也不同时有意义两者也不同时有意义.第18页/共55页例例4 设有映射设有映射,1 , 1: Rg对每个对每个,sin)(,xxgRx 映射映射,1 , 0 1 , 1 : f对每个对每个.1)(,1 , 12uufu ,1 , 0:Rgf )

16、(sin)()( ,xfxgfxgfRx .cossin12xx 返回返回第19页/共55页三、函数三、函数1.1.函数概念函数概念因变量因变量自变量自变量)(xfy 定义定义 设数集设数集 ，则称映射，则称映射 为定义为定义D上的函数，通常简记为上的函数，通常简记为 D称为定义域称为定义域, 记作记作 , 即即 . RD RDf:fDDDf 对每个对每个 ,按对应法则按对应法则 f ,总有唯一确定的值总有唯一确定的值y与之对应与之对应, 这个值称为函数这个值称为函数f 在在x处的函数值处的函数值,记作记作f (x),即即y= f (x).Dx fR函数值函数值f (x)的全体所构成的集合称为

17、函数的全体所构成的集合称为函数f 的值域的值域, 记作记作或或 f (D) , 即即.),()(DxxfyyDfRf 第20页/共55页函数是从实数集到实数集的映射函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在其值域总在R内内.函数的函数的两要素两要素: :定义域定义域 与对应法则与对应法则f . .fD如果两个函数的定义域相同如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的否则就是不同的.约定约定: : 定义域是自变量所能取的使算式有定义域是自变量所能取的使算式有( (实际实际) )意义的一切实数值意义的一切实数值. .21x

18、y 例如，例如， 1 , 1 : D211xy 例如，例如，)1 , 1(: D如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数单值函数，否则叫与，否则叫与多值函数多值函数222ayx 例如例如:第21页/共55页对于多值函数对于多值函数, 往往只要附加一些条件往往只要附加一些条件,就可以将它化为单值函数就可以将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如例如,在由方程在由方程222ayx 给出的对应法则中给出的对应法则中,附加附

19、加“ ”的条件的条件,0 y就可得到一个单值分支就可得到一个单值分支.221xayy 表示函数的主要方法有三种表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法（公式法）表格法、图形法、解析法（公式法）.定义定义: :点集点集),(),(DxxfyyxP 称为函数称为函数Dxxfy ),(的图形的图形.Doxy),(yxxyfR )(xfy 第22页/共55页常见的几种函数常见的几种函数例例5 函数函数y=2它的定义域它的定义域),( D值域值域,2 fR它的图形是一条平行它的图形是一条平行于于x轴的直线轴的直线.Oxyy=2例例6 函数函数 0 , , 0 ,|xxxxxy定义域定义域 D=(

20、=(,+),+),值域值域 =0, +).=0, +).fR这个函数称为绝对值函数这个函数称为绝对值函数.Oxyxy 第23页/共55页1-1xyo 010001sgnxxxxy当当当当当当xxx sgn例例7 函数函数称为符号函数称为符号函数, ,定义域定义域 D=(=(,+),+),值域值域 =1,0,=1,0,1.1.fR第24页/共55页 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数x例例8 取整函数取整函数 y=x如如-3.4=-4,-3.4=-4,1=1=1,1,. 075 定义域定义

21、域 D=(=(,+),+),值域值域 = =Z Z. .fR第25页/共55页例例9 函数函数 1,110 ,2)(xxxxxfy是一个分段函数是一个分段函数.它的定义域它的定义域 D=0,+).=0,+).如如:;221221,1 , 021 f. 431) 3(), 1 (3 fxy 1xy2 yxO1第26页/共55页2. 函数的几种特性函数的几种特性(1) 函数的函数的有界性有界性:oyxM-My=f(x)X有界有界M-MyxoX0 x无界无界则称函数则称函数, 0,XxMDX 若若Mxf )(有有 成立，成立，f (x)在在X上有界上有界.否则称为无界否则称为无界.(2)(2)有界与

22、否是和有界与否是和X有关的有关的. .(1)(1)当一个函数有界时，它的界是不唯一的当一个函数有界时，它的界是不唯一的. .注意注意: :Xx 1Mxf )(1使使(3)证明无界的方法证明无界的方法: 对于任意正数对于任意正数 M ,总存在总存在第27页/共55页(2) 函数的函数的单调性单调性:)(xfy )(1xf)(2xfxyoI及及设函数设函数f (x)的定义域为的定义域为D, 区间区间,DI ),()(21xfxf 1x如果对于区间如果对于区间I上任意两点上任意两点,2x当当 时时,恒有恒有21xx 则称函数则称函数f (x)在区间在区间I上是单调增加的上是单调增加的;第28页/共5

23、5页)(xfy )(1xf)(2xfxyoI及及设函数设函数f (x)的定义域为的定义域为D, 区间区间,DI ),()(21xfxf 则称函数则称函数f (x)在区间在区间I上是单调减少的上是单调减少的;如果对于区间如果对于区间I上任意两点上任意两点1x,2x21xx 当当 时时,恒有恒有第29页/共55页(3) 函数的函数的奇偶性奇偶性:偶函数偶函数yx)( xf )(xfy ox-x)(xf,Dx 设函数设函数f (x)的定义域为的定义域为D关于原点对称关于原点对称,对于对于有有f (-x)= f (x)恒成立恒成立,则称则称f (x)为偶函数为偶函数;偶函数的图形关于偶函数的图形关于y

24、轴对称轴对称.函数函数 y=cosx是偶函数是偶函数.第30页/共55页奇函数奇函数)( xf yx)(xfox-x)(xfy 设函数设函数f (x)的定义域为的定义域为D关于原点对称关于原点对称,对于对于,Dx 有有f (-x)= -f (x)恒成立恒成立,则称则称f (x)为奇函数为奇函数.奇函数的图形关于原点对称奇函数的图形关于原点对称.函数函数 y=sinx是偶函数是偶函数.函数函数 y=sinx+cosx既非奇函数既非奇函数,又非偶函数又非偶函数.第31页/共55页(4) 函数的函数的周期性周期性:2l 2l23l 23l函数函数sinx, cosx的周期是的周期是.2 函数函数ta

25、nx的周期是的周期是. （通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.则称则称f (x)为周期函数为周期函数, l 称为称为f (x)的周期的周期.)()(xflxf 一一Dx 有有,)(Dlx 且且恒成立恒成立,设函数设函数f (x)的定义域为的定义域为D,如果存在一个正数如果存在一个正数l ,使得对于任使得对于任第32页/共55页有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo cQxQxxDy, 0, 1)(例例10 狄利克雷函数狄利克雷函数它是一个周期函数它是一个周期函数,任何有理数都是它的周期任何有理数都是它的周期,但它没有最小正周期但它没有最小正周期.第3

26、3页/共55页3. 3. 反函数与复合函数反函数与复合函数反函数的反函数的定义定义:设函数设函数)(:DfDf是单射是单射,则它存在逆函数则它存在逆函数,)(:1DDff 称此映射称此映射1 f为函数为函数f 的反函数的反函数.如如:函数函数Rxxy ,3是单射是单射,其反函数为其反函数为.,31Rxxy 若函数若函数f (x)在在D上是单调函数上是单调函数,则则1 f也是也是f (D)上的单调函数上的单调函数.0 x0yxyD)(yx 反函数反函数ofRfR0 x0yxyDo)(xfy 函数函数第34页/共55页)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy 反反函函数数

27、 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy 相对于反函数相对于反函数),(1xfy 原来的函数原来的函数y=f (x)称为直接函数称为直接函数.第35页/共55页复合函数复合函数定义定义:设函数设函数 )(ufy 的定义域为的定义域为,1D函数函数u=g(x)在在D上有上有定义定义,且且,)(1DDg 则由下式确定的函数则由下式确定的函数 Dxxgfy , )(称为由函数称为由函数u=g(x)和函数和函数 构成的复合函数构成的复合函数,它的定义域为它的定义域为D,变量变量u称为中间变量称为中间变量.)(ufy 函数函数g与函数与函数f 构成的复合函数通常记为

28、构成的复合函数通常记为. gf 函数函数g与函数与函数f 构成复合函数构成复合函数gf的条件是的条件是:函数函数g在在D上的值域上的值域g(D)必须含在必须含在f 的定义域的定义域fD内内,即即.)(fDDg 第36页/共55页注意注意: :1. 不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;)2arcsin(2xy 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,uy ,cotvu .2xv ,arcsinuy ;22xu 如如:)1 , 12,(2yDxuRx ,2cotxy 如如:第37页/共55页4. 函数

29、的运算函数的运算设函数设函数f (x), g (x)的定义域依次为的定义域依次为,2121 DDDDD则可以定义这两个函数的下列运算：则可以定义这两个函数的下列运算：和和(差差) :gf ;),()()(Dxxgxfxgf 积积:gf ;),()()(Dxxgxfxgf 商商:gf .0)(,)()()( xgxDxxgxfxgf第38页/共55页例例11 设函数设函数f (x)的定义域为的定义域为(-l ,l ),证明必存在证明必存在(-l ,l )上的偶函数上的偶函数g (x)和奇函数和奇函数h (x), 使得使得)()()(xhxgxf 证证 先分析如下先分析如下:假若这样的假若这样的g

30、 (x)、 h (x)存在存在,使得使得)()()(xhxgxf (1)且且).()(),()(xhxhxgxg 于是有于是有).()()()()(xhxgxhxgxf (2)利用利用(1)、(2)式式,就可作出就可作出g (x), h (x).作作 . )()(21)(, )()(21)(xfxfxhxfxfxg 则则),()()(xfxhxg ),()()(21)(xgxfxfxg ),()()(21)(xhxfxfxh 证毕证毕.第39页/共55页5. 初等函数初等函数oxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy (1)幂函数幂函数Rxy ( 是常数是常数)第40页/共55页xay xay)1( )1( a)1 , 0( (2) 指数函数指数函数)1, 0(