数列的前n项和求法学习教案

1、会计学1数列数列(shli)的前的前n项和求法项和求法第一页，共30页。常见的求和常见的求和(qi h)公式公式等差数列等差数列(dn ch sh li)前前n项和公式项和公式等比数列前等比数列前n项和公式项和公式)Nn( d2) 1n( nna2)aa ( ns1n1n2n.q1)q1 (a1n.nasn11n2333322222) 1n(nn321) 1n2)(1n(n61n321 第1页/共30页第二页，共30页。 nanan252b, 9a,21a nb解：设等差数列解：设等差数列(dn ch sh li)的首项为的首项为 公比公比为为d，则有，则有1a21d4a9da11解得解得4d

2、5a1等差数列(dn ch sh li)的通项公式为1n4) 1n(45an1n4n2b所以由于41n45n4n1n222bb故数列 是以 为公比以 为首项的等比数列 nb4252)Nn(3132221)21 (2s5n45n45n第2页/共30页第三页，共30页。已知数列(shli) 满足 求数列(shli)的前100项和 na) 3n4() 1(a1nn100s310043994211713951s100 20050)4(解：解：法一：法二：310043994211713951s100 )3100421135()3994(1791 2002) 310045(502)399441 (50)

3、31004 (21135) 3994 (1791 第3页/共30页第四页，共30页。例1：求n31n,2713 ,912,311 的前n项和nT解)31n()2713()912()311 (Tnn )31313131()n321 (n32 )Nn(32132)n1 (nnn311)311(312)n1(nn一共(ygng)有多少个数200个个n项项n项项第4页/共30页第五页，共30页。变式：已知数列(shli) 的通项 求数列(shli) 的前n项和 na1nn21n2a nans1n210n21n2216214212s )21212121(n26421n210 )Nn(212) 1n(n2

4、112112)n22(n1nn1n1n1n1nnnn21)2(222212 ,21)21(解第5页/共30页第六页，共30页。分组转化法求和分组转化法求和(qi h)(qi h)的常见类型的常见类型 (1)若若anbncn，且，且bn，cn为等差或等比数列为等差或等比数列(dn b sh li)，可采用分组求和法求，可采用分组求和法求an的前的前n项和项和第6页/共30页第七页，共30页。 na1n22a1nnn为偶数(u sh)n为奇数(j sh)第7页/共30页第八页，共30页。第8页/共30页第九页，共30页。第9页/共30页第十页，共30页。第10页/共30页第十一页，共30页。(1)

5、抵消抵消(dxio)后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；利用裂项相消法求和利用裂项相消法求和(qi h)应注意应注意第11页/共30页第十二页，共30页。1nnaac)a1a1(dc1nn变形变形(bin xng)为为其其中中(qzhng)n1naad例如例如：) 1n(n11n1n1两项相乘裂为两项相乘裂为两项相减两项相减试一试试一试？) 1n2)(1n2(1)1n211n21(21注意通分验注意通分验证是否与原证是否与原式相等式相等第12页/共30页第十三页，共30页。1n1n1) 1n(n

6、1)n11n1(k1)kn(n1)1n211n21(21) 1n2)(1n2(11nnn1n1分母分母(fnm)有有理化理化) n1n)(n1n(n1nn1n1第13页/共30页第十四页，共30页。例例1：设数列：设数列(shli) 满足满足 ， na1a1)Nn( 1naan1nna1则数列则数列(shli) 的前的前n项和项和 解：解：2naa1naa)2n(naa3n2n2n1n1nn2aa3aa1223累加求累加求和和(qi h)得得:n432aa1n 2)2n)(1n(所以：所以：2) 1n(n2)2n)(1n(1an当当n=1时：时：12) 11 (1a1满足通项满足通项)Nn (

7、2) 1n ( nan所以：所以：第14页/共30页第十五页，共30页。)1n1n1(2) 1n(n2a1n)1n1n1(2)4131(2)3121(2)211 (2sn )1n1n141313121211 (2 )Nn(1nn2)1n11 (2所以所以(suy)第15页/共30页第十六页，共30页。例例2:已知等差数列已知等差数列(dn ch sh li) 满足满足 na26aa, 7a7531）求数列）求数列(shli) 的前的前n项和项和 nans2）令）令 ，求数列，求数列(shli) 前前n项和项和)Nn(1a1b2nn nbnT26d10a27da112d3a11n2an解：解：1

8、）设数列）设数列 的首项为的首项为 公差为公差为d na1a由题意得由题意得：解得解得所以所以第16页/共30页第十七页，共30页。n4n41) 1n2(1a222n)Nn)(1n1n1(41)1n(n41bn)1n1n1(41)4131(41)3121(41)211 (41sn ) 1n(4n)1n1n141313121211 (41 Nn2):所以所以(suy)第17页/共30页第十八页，共30页。练习练习(linx)：已知数列：已知数列an的前的前n项和为项和为Sn，a11，Snnann(n1)(nN*)(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；第18页/共30页第十九页，共30页。

9、解解(1)Snnann(n1)，当，当n2时，时，Sn1(n1)an1(n1)(n2)，anSnSn1nann(n1)(n1)an1(n1)(n2)，即即anan12.数列数列an是首项是首项(shu xin)a11，公差，公差d2的等差数列，的等差数列，故故an1(n1)22n1，nN*.第19页/共30页第二十页，共30页。第20页/共30页第二十一页，共30页。错位相减法：错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列如果一个数列的各项是由一个等差数列(dn ch sh li)和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前列的前n项和即可用

10、此法来求，等比数列的前项和即可用此法来求，等比数列的前n项和就是项和就是用此法推导的用此法推导的第21页/共30页第二十二页，共30页。q,得nqS.qaqaqaqaqan11n12n1211，得,111nnqaaSq由此得q1时，qqaSnn111nnaaaaS321设等比数列,321naaaa它的前n项和是.11212111nnnqaqaqaqaaS即说明：这种求和方法称为(chn wi)错位相减法显然，当q=1时，1naSn第22页/共30页第二十三页，共30页。1n3210nnxx4x3x2xs 1n2n3210nnxx ) 1n (x4x3x2xs n1n4321nxx ) 1n (

11、x4x3x2x nxs两式相减得：两式相减得：n1n3210nnxxxxxxs )x1 ( nnnxx1x1) 1x ( 第23页/共30页第二十四页，共30页。x1nx)x1 (x1sn2nn当当x=1时：时：2) 1n(nn4321sn ) 1x(2) 1n(n) 1x(x1nx)x1 (x1sn2nn所以所以(suy)：第24页/共30页第二十五页，共30页。第三步：第三步：Sna1b1a2b2anbn的两边的两边(lingbin)同乘同乘以公比以公比q，得，得qSnqa1b1qa2b2qanbn 教你一个万能教你一个万能(wnnng)模板模板 利用错位相减法利用错位相减法(jinf)求

12、数列的前求数列的前n项和，一般可用以下几项和，一般可用以下几步解答：步解答：第一步：将数列第一步：将数列cn写成两个数列写成两个数列的积的形式的积的形式cnanbn，其中，其中an为等为等差数列，差数列，bn为等为等比数列比数列 第二步：写第二步：写出数列出数列cn的的前前n项和项和Sna1b1a2b2anbn 第25页/共30页第二十六页，共30页。第六步：反思第六步：反思回顾，查看关回顾，查看关键点，易错点键点，易错点及解题规范及解题规范. .如本题错位如本题错位(cu wi)(cu wi)相相减时，是否有减时，是否有漏项漏项 第四步：两式第四步：两式错位错位(cu wi)相减得相减得(q1)Sn 第五步：等式第五步：等式(dngsh)两边两边同时除以同时除以q1，得，得Sn 第26页/共30页第二十七页，共30页。例例1、已知数列、已知数列an是等差数列是等差数列(dn ch sh li)，且，且a1=2, a1+a2+a3=12, (1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)令令bn=anxn(xR)，求数列，求数列bn的前的前n项和的公式。项和的公式。解：解：(1)设公差设公差(gn