微积分第10章级数

1、10.5 10.5 傅里叶傅里叶(Fourier)级数级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10章 10.5.1 10.5.1 三角函数系与三角级数三角函数系与三角级数 10.5.2 10.5.2 Fourier 级数及其收敛性级数及其收敛性10.5.4 10.5.4 正弦级数和余弦级数正弦级数和余弦级数10.5.5 10.5.5 任意区间上函数的任意区间上函数的 Fourier 展开展开 10.5.3 10.5.3 闭区间闭区间, 上函数的上函数的 Fourier 展开展开10.5.1 10.5.1 三角函数系与三角级数三角函数系与三角级数定义定义：称称）为为三角函数系三角函数系。由积

2、化和差公式，不难证明以下结果：由积化和差公式，不难证明以下结果：机动 目录 上页 下页 返回 结束 1,cos , xsin , x,cos,nx0cosdnxx,1,2,;0cossindmxmxnnxcoscosdxmxnxsinsindxmxnx）,1,2,;sindnxnx,nm,0,1,2,;n m ,nmsin,nx 0,nm,1,2,;n m ,nm0,定义定义：102cossinnnnnnxxaab00;2Aas,innnnaA由三角函数系中的函数为由三角函数系中的函数为基函数基函数所构成的函数项级数所构成的函数项级数从而有：从而有：称为称为三角级数三角级数。令令机动 目录 上

3、页 下页 返回 结束 102cossinnnnnnxxaab012sincoscossinnnnnnAxAnxna22,nnnaAbcos, 2, 1,nnnbnA10sinnnnnxAA10.5.2 10.5.2 Fourier 级数及其收敛性级数及其收敛性102cossinnnnnnxxaab f x f x 定理定理 1 . 证明证明: :对在闭区间对在闭区间上逐项积分，上逐项积分， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 在闭区间在闭区间若若上上可积可积，则则在区间在区间都有都有, 上上一致收敛一致收敛，且三角级数且三角级数,x 1,dcosnf xxnxa 1,dsinnf xxnx

4、b, ,0;1 , 2n 设函数设函数由定理条件，由定理条件，2doax df xx1 ndcosnxnxandsinxnxb0,a 01;df xxa即即得得, ( (利用正交性利用正交性) )类似地，类似地， 用用 sin k x 乘乘 式两边，式两边， 再逐项积分可得再逐项积分可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于任意的对于任意的,kN2,cosdkkkxxaa ,12, 1sindkfkxkxxb ,12, 1cosdkfkxkxxa cosdf xxkx1 n02cosdkxaxcoscosdnxxknxacossindnxxknxb即即三角级数三角级数 的的傅傅里里叶叶(Fo

5、urier)系数系数 ；由公式由公式 确定的系数确定的系数以函数以函数的傅的傅里叶里叶(Fourier)系数所构成的系数所构成的所导出的所导出的傅傅里里叶级数叶级数 。称为函数称为函数 傅里叶 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义： f x f x,nnab102cossinnnnnnxxaab f x ,1cosdnf xxnxa ,1sindnf xxnxb, ,0;1 , 2n f x因此得因此得其中：其中：称为函数称为函数定理定理 2 (收敛定理、展开定理、收敛定理、展开定理、Dirichlet充分条件充分条件) f x设函数设函数满足以下的满足以下的 (狄利克莱狄利克莱( Diri

6、chlet)条件条件:上连续上连续上只有有限个极值点；上只有有限个极值点；则则( 证明略证明略 )注意注意: 函数展成函数展成傅傅里里叶级叶级数的条件数的条件比展成幂比展成幂级数的条级数的条件低得多件低得多.简介 目录 上页 下页 返回 结束 xS, 1) 在区间在区间其和函数其和函数2是以是以 1R所导出的傅所导出的傅里里叶级数在叶级数在 f x上处处收敛上处处收敛 , 为周期的周期函数，为周期的周期函数， 且满足且满足 ：012cossinnnnxxnnaab xS,x x 12,f xf xxR;2ffxx,2ffxx2.ff,x , 2) 在区间在区间或至多有有限个第一类间断点；或至多

7、有有限个第一类间断点；例例1. f x, ,011,0 xf xx设函数设函数里的表达式为：里的表达式为：解解: :将其展成傅将其展成傅里里叶级数。叶级数。oyx11机动 目录 上页 下页 返回 结束 先求傅先求傅里里叶系数叶系数 cos1dnf xnxax是以是以 2 的周期函数，的周期函数，它在区间它在区间0c11osdnxx01 cos1dxnx0 ,0,1,2,n0cos1nnx0cos1nnxnncos12nn) 1(12x3sin31xkk) 12sin(121),2,0,(xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 而而 sin1dnf xnxbx01 sin1dxnx0s11 in

8、dnxx i4s nf xx4,n当当 n 为奇数时，为奇数时，当当 n 为偶数时，为偶数时，0,),2,0,(xx1) 根据收敛定理可知根据收敛定理可知，级数收敛于级数收敛于2) 傅氏级数的部分和逼近傅氏级数的部分和逼近oyx11说明说明: 4sin3sin3xxf xsin55x;1 102 的情况见右图。的情况见右图。机动 目录 上页 下页 返回 结束 f xsin77xsin99x当当时，时，xk01, 2k xoy例例2. f x, ,00,0 xxf xx里的表达式为：里的表达式为：将其展开成傅将其展开成傅里里叶级数。叶级数。 解解: 2332是以是以 2 的周期函数的周期函数 ，

9、机动 目录 上页 下页 返回 结束 01dxx设函数设函数它在区间它在区间 cos1dnf xnxax 01df xxa2012x2; 21;cosnn0s1codnxxx2sincos01xxnnnnx), 2, 1(n),2,1(kkn2, 04 cos x2xsinx2sin21 3sin 3cos xx 23231x4sin41 5sin 5cos xx25251),2,1,0,) 12(,(kkxx当当) 12(kx时时, 级数收敛于级数收敛于22)(0机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明：说明：2212,k21nk f x 1;1nn21 cosnnna sin1dnf xnx

10、bx0i1s ndxxnx周期延拓傅里里叶展开,)(在xf上的傅里里叶级数10.5.3 10.5.3 闭区间闭区间, ,f xx F x 其它其它机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义在闭区间定义在闭区间 ， 上的函数上的函数 f (x)的傅氏级数展开法的傅氏级数展开法,2f xk上函数的上函数的 Fourier 展开展开 ,f xx 1,2,k 例例3. f x ,F x ,0,0 xxf xxxoyx则则xnxxfdcos)(10dcos2xnxx02cossin2nnxnnxx解解:展开成展开成 Foueier 级数。级数。以以2为为周期周期的函数的函数机动 目录 上页 下页 返回 结

11、束 将函数将函数先将函数先将函数延拓为延拓为 01dF xxa 1df xx02dx x2202x, cos1dnF xnxaxx3cos312kn2,0)(Nk xnxxfdsin)(102)(x利用此展式可求出几个特殊的级数的和利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当当 2222) 12(1513118n说明说明:2cos21nnna f x0 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 00,f2214,k21nk sin1dnF xnxbx时，时，从而得：从而得：4xcos21cos55x,421312;242,413121122222217151311,6141212222已知已知2223

12、4131211又又;6248222;12248222机动 目录 上页 下页 返回 结束 设设218,241213210. 5. 4 10. 5. 4 正弦级数和余弦级数正弦级数和余弦级数 1,fxf xxR 12,f xfRxx0,nb 定义定义：定理定理4 . 则其展开成的则其展开成的 Fourier 级数级数为为余弦级数余弦级数 ，Nn; ),2,1,0( n其系数为：其系数为：其系数为：其系数为：则其展开成的则其展开成的 Fourier 级数为级数为正弦级数正弦级数，机动 目录 上页 下页 返回 结束 ）若函数为奇函数：若函数为奇函数：）若函数为偶函数：若函数为偶函数： 1,fxf xx

13、R若三角级数中只含有正弦函数项，若三角级数中只含有正弦函数项，则称该级数为则称该级数为正弦级数正弦级数；若三角级数中不含正弦函数项，若三角级数中不含正弦函数项，则称该级数为则称该级数为余弦级数余弦级数。0,na1. 1. 周期为周期为2 2 的的奇、偶函数的傅里叶级数奇、偶函数的傅里叶级数 0cos0 1 22, , ,;d ,nf xxnnxa 0sin2d ,nnxxnNfxb设函数以设函数以2为周期：为周期：例例4. f x, ,f xx里的里的表达式为：表达式为：将其展成将其展成 Fourier 级数。级数。是是周期为周期为2 的周期函数，的周期函数，解解:),2, 1,0() 12(

14、kkx是周期为是周期为 2 的奇函数，的奇函数，yxo),2,1,0(,0nna),3,2,1(n0dsin2xnxx因此因此02sincos2nnxnnxxnncos21) 1(2nn机动 目录 上页 下页 返回 结束 若不计若不计 设函数设函数它在区间它在区间 f x则函数则函数 0sin2dnf xxnbxn1的正弦级数的正弦级数:,(x12nnxnnsin) 1(1),1,0,) 12(kkxyxo里，里，n2n3n4逼近该函数的情况见右图。逼近该函数的情况见右图。n5机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据收敛定理可得函数根据收敛定理可得函数 f x f x 111122323sin

15、sinsin1sinnxxxxnn , 级数的部分和在区间级数的部分和在区间 例例5. sinu tEt u t0,nnNb展开成傅里叶级数，展开成傅里叶级数， 其中：其中：E 为正常数为正常数 。解解:2yxo20dsin2ttE,4Ett ntE0dcossin20d) 1sin() 1sin(ttntnE函数函数是周期为是周期为机动 目录 上页 下页 返回 结束 002du tta将周期函数将周期函数2的的偶函数，偶函数，因此，因此， 0cos2dnu ttnatt 2cos31kn212, 0 kn),2,1(k)(t,) 14(42kE21t 4cos151t 6cos351E2E4

16、机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此得：因此得： u t0sin1sin1dnEntntta2141cos241kEkxk1a0sin2dEtt0,2. 2. 在在 0,0, 上的函数展成正弦级数与余弦级数上的函数展成正弦级数与余弦级数 0,f xx F x F x 周期延拓周期延拓在在 0 , 上展成上展成周期延拓周期延拓余弦级数余弦级数奇延拓奇延拓偶延拓偶延拓xoy正弦级数正弦级数在在 0 , 上展成上展成xoy机动 目录 上页 下页 返回 结束 f x F x F x f x 0,f xx 0,f xx0 , 0 x ,0,fxx,0fxx1xyo例例6. ,10,f xxx21co

17、scosnnn分别展成正弦级数与余弦级数。分别展成正弦级数与余弦级数。先将函数展开成正弦级数先将函数展开成正弦级数 ； 解解:去掉端点，去掉端点，02cossincos2nnxnnxnnxx12 knkn2,1222k机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,1k将函数将函数kN对函数作奇周期延拓，对函数作奇周期延拓， 0sin2dnf xxnbx012sindxxnx),2, 1(k21xxsin)2(x2sin2x3sin32x4sin4)0( x在端点在端点与给定函数与给定函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 1xyo因此得因此得 的值不同。的值不同。注意：注意：nb2221,21nkk,

18、 21knk 1f xx级数的和为级数的和为0 ，0,x处，处，再将函数展开成余弦级数：再将函数展开成余弦级数： f x0021 dxxax1y应将应将则有则有o0222xx202sincossin2nnxnnxnnxx12,) 12(42knkkn2,0),2, 1(k作偶周期延拓作偶周期延拓 ，机动 目录 上页 下页 返回 结束 22cos1nn0os21 cdnxxnaxxcosx3cos312)0( xx5cos512令令851311222即即412机动 目录 上页 下页 返回 结束 1yox说明：说明：112x 2141cos 2121kkkx0,x 得数项级数的和得数项级数的和22

19、121.18nn定理定理：则它的傅里叶展开式为则它的傅里叶展开式为10sincos2)(nnnlxnblxnaaxf(在在 f (x) 的连续点处的连续点处):naxlxnxflbllndsin)(1其中：其中：10. 5. 5 10. 5. 5 任意区间上函数的任意区间上函数的Fourier展开展开l1xlxnxflldcos)(),2, 1,0(n),2, 1(n机动 目录 上页 下页 返回 结束 设周期为设周期为2l 的周期函数的周期函数 f (x)满足收敛定理条件满足收敛定理条件,证明证明:lxz, 则则,llx,z再令再令)(zF,z lf则则)2(2zlfzFlz lf2z lf

20、zF所以所以 zF且它满足收敛定理条且它满足收敛定理条件件, 将它展成傅里叶级数：将它展成傅里叶级数：10sincos2)(nnnznbznaazF( 在在 F(z) 的连续点处的连续点处 )(xf变成变成是以是以 2 为周期的周期函数为周期的周期函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令令zznzFandcos)(1其中zznzFbndsin)(1lxzlan1xlxnxflbllndsin)(1lxnblxnaaxfnnnsincos2)(10),2, 1,0(n),3,2, 1(n),2, 1,0(n),3,2, 1(n( 在 f (x) 的 连续点处 )xlxnxflldcos)

21、(证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令令 ,f xx ,f xx ,f xx ,f xx说明说明:1)(nnbxf),2, 1(dsin)(nxlxnxfbn其中(在 f (x) 的连续点处)lxnsinl20l如果 f (x) 为偶函数, 则有(在 f (x) 的连续点处)2)(0axf),2, 1,0(dcos)(nxlxnxfan其中1nnalxncos注注: 无论哪种情况 ,).()(21xfxf在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里里叶级数收敛于l20l如果 f (x) 为奇函数, 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(tfto0d) 1sin() 1sin(ttn

22、tn例例7. tEtEsin)(经半波整流后负压消失，经半波整流后负压消失，试求半波整流函数的试求半波整流函数的解解: :2,它在它在)(tfna0dcossinttntE,sintE,0傅傅里里叶级数叶级数. .,上的表达式为上的表达式为0t t02E的周期是的周期是22机动 目录 上页 下页 返回 结束 交流电压交流电压这个半波整流函数这个半波整流函数000d2sintt21Ea 2cos212E时1n0d) 1sin() 1sin(ttntn2Eantnn) 1cos() 1(12E0tnn) 1cos() 1(1111) 1(111) 1(21nnnnEnn) 1(1) 1(21nEn

23、32 ,0 kn,)41 (22kE), 1,0(kkn2机动 目录 上页 下页 返回 结束 由此得：由此得： ,f xx ,f xx ,f xx ,f xxtttEbdsinsin01ttntnEd) 1cos() 1cos(20) 1() 1sin(2ntnEbn0) 1() 1sin(0ntnttntEbndsinsin0ttEd)2cos1 (20022sin2ttE2En 1 时机动 目录 上页 下页 返回 结束 为此，为此， ,f xx ,f xx ,f xx ,f xxtEsin2tkkEk2cos411212)(t直流部分说明说明:交流部分由收敛定理可得：由收敛定理可得：2 k

24、 次谐波的振幅为次谐波的振幅为,14122kEAk k 越大振幅越小越大振幅越小,因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近f (x)了了.to22上述级数可分解为直流部分与交流部分的和上述级数可分解为直流部分与交流部分的和. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由于半波整流函数由于半波整流函数 f t,C f tE f x傅里叶傅里叶 (1768 1830)法国数学家. 他的著作热的解析 理论(1822) 是数学史上一部经典性 书中系统的运用了三角级数和 三角积分, 他的学生将它们命名为傅里叶级数和傅里叶积分. 最卓越的工具. 以后以傅里叶著作为基础发展

25、起来的 文献, 他深信数学是解决实际问题傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展 都产生了深远的影响. 狄利克雷狄利克雷 (18 05 1859)德国数学家. 对数论, 数学分析和数学物理有突出的贡献, 是解析数论 他是最早提倡严格化方法的数学家.函数 f (x) 的傅里叶级数收敛的第一个充分条件; 了改变绝对收敛级数中项的顺序不影响级数的和, 举例说明条件收敛级数不具有这样的性质. 他的主要的创始人之一, 并论文都收在狄利克雷论文集 (1889一1897)中. 1829年他得到了给定证明例例2. 把展开成)20()(xxxf(1) 正弦级数; (2) 余弦级数.解解: (1) 将 f (

26、x) 作奇周期延拓, 则有2oyx),2, 1,0(0nan2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos4),2, 1() 1(41nnn14)(nxf2sin) 1(1xnnn)20( x在 x = 2 k 处级数收敛于何值?机动 目录 上页 下页 返回 结束 2oyx(2) 将 作偶周期延拓,)(xf),2, 1(0nbn2022xanxxnd2cos0222cos22sin2xnnxnxn1) 1(422nnxxf)(200d22xxa2kn2,0,) 12(822k),2, 1(k则有1222) 12(cos) 12(181kxkk)20( x12

27、kn机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 此式对0 x也成立,8) 12(1212kk由此还可导出121nn8212141nn61212nn12)2(1kk1222) 12(cos) 12(181)(kxkkxxf)20( x12) 12(1kk据此有2oyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 当函数定义在任意有限区间上时,方法方法1, , )(baxxf令,2abzx即2abxzzabzfxfzF, )2()()(2,2abab在2,2abab上展成傅里里叶级数)(zF周期延拓将2abxz)(xf在,ba代入展开式上的傅里里叶级数 其傅里里叶展开方法:机动 目录 上页 下页 返回

28、结束 方法方法2, , )(baxxf令,azxzazfxfzF, )()()(ab,0在ab,0上展成正弦或余弦级数)(zF奇或偶式周期延拓将 代入展开式axz)(xf在,ba即axz上的正弦或余弦级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(zFz55例例3. 将函数)155(10)(xxxf展成傅里里叶级数.解解: 令,10 xz设)55( )10()()(zzzfxfzF将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数, 理条件.由于F(z) 是奇函数, 故),2, 1,0(0nan5052zbnzznd5sinnn10) 1(),2,1(n则它满足收敛定5sin) 1(10)(1znnzFnn)55(z5sin) 1(10101xnnxnn)155( x机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 周期为 2 的函数的傅里里叶级数及收敛定理 012cossinnnnanxnxxfab)(间断点x其中xxnxfandcos)(1xxnxfbndsin)(1),2, 1 ,0(n),2, 1(n注意注意: 若0 x为间断点,则级数收敛于2)()(00 xfxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 周期为 2 的奇、偶函数的傅里里叶级数 奇函数正弦级数 偶函数余弦级数3. 在 0 , 上函数的傅里里叶展开法 作奇周期延拓 ,