届高三数学直接证明与间接证明ppt课件

1、第2课时 直接证明与间接证明1直接证明直接证明(1)综合法综合法定义：利用已知条件和某些数定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列学定义、公理、定理等，经过一系列的的 ，最后推导出所要证明的，最后推导出所要证明的结论结论 ，这种证明方法叫综合，这种证明方法叫综合法法基础知识梳理基础知识梳理推理证明推理证明成立成立框图表示：框图表示：基础知识梳理基础知识梳理(2)分析法分析法定义：从定义：从 出发，逐步出发，逐步寻求使它成立的寻求使它成立的 直至最后，把要直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条证明的结论归结为判定一个明显成立的条件件(已已知条件、定理、定义、公理等知

2、条件、定理、定义、公理等)为为止这种证明的方法叫做分析法止这种证明的方法叫做分析法基础知识梳理基础知识梳理要证明的结论要证明的结论充分条件充分条件基础知识梳理基础知识梳理基础知识梳理基础知识梳理综合法和分析法有什么区别与联系？综合法和分析法有什么区别与联系？【思考思考提示提示】分析法的特点是：从分析法的特点是：从“未知未知”看看“需知需知”，逐步靠拢，逐步靠拢“已知已知”，其逐步，其逐步推理，实际上是寻求它的充分条件；综合法推理，实际上是寻求它的充分条件；综合法的特点是：从的特点是：从“已知已知”看看“可知可知”，逐步推向，逐步推向“未知未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必，其逐步推理，实际

3、上是寻找它的必要条件分析法与综合法各有其特点，有些要条件分析法与综合法各有其特点，有些具体的待证命题，用分析法或综合法均能证具体的待证命题，用分析法或综合法均能证明出来，往往选择较简单的一种明出来，往往选择较简单的一种2间接证明间接证明反证法：假设原命题反证法：假设原命题 ，经，经过正确的推理，最后得出过正确的推理，最后得出 ，因此，因此说明假设错误，从而证明了原命题成说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法立，这样的证明方法叫反证法基础知识梳理基础知识梳理不成立不成立矛盾矛盾1分析法是从要证的结论出发，分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的寻求使它成立的()A充分条件充分

4、条件B必要条件必要条件C充要条件充要条件 D既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件答案：答案：A三基能力强化三基能力强化2若若ab0，则下列不等式中总，则下列不等式中总成立的是成立的是()答案：答案：A三基能力强化三基能力强化3用反证法证明命题：若整系数用反证法证明命题：若整系数一元二次方程一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理有有理数根，那么数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是时，下列假设中正确的是()A假设假设a、b、c都是偶数都是偶数B假设假设a、b、c都不是偶数都不是偶数C假设假设a、b、c至多有一个偶数至多有一个偶数D假设假设a、b、c至

5、多有两个偶数至多有两个偶数答案：答案：B三基能力强化三基能力强化4设设p2x41，q2x3x2，xR，则则p与与q的大小关系是的大小关系是_答案：答案：pq三基能力强化三基能力强化5“任何三角形的外角都至少有任何三角形的外角都至少有两个钝角两个钝角”的否定应是的否定应是_答案：答案：存在一个三角形，其外角存在一个三角形，其外角最多有一个钝角最多有一个钝角三基能力强化三基能力强化1综合法是综合法是“由因导果由因导果”，它，它是从已知条件出发，顺着推证，经是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性用综合法证明题证结论的真实性用综合法证明

6、题的逻辑关系是：的逻辑关系是：AB1B2BnB(A为已知为已知条件或数学定义、定理、公理等，条件或数学定义、定理、公理等，B为要证结论为要证结论)，它的常见书面表达，它的常见书面表达是是“，”或或“”课堂互动讲练课堂互动讲练考点一考点一综合法综合法2综合法是中学数学证明中常综合法是中学数学证明中常用方法，其逻辑依据是三段论式的演用方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法绎推理方法课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【证明证明】x2y22xy，y2z22yz，z2x22zx，(x2y2)(y2z2)(z2x2)2xy2yz2zx，3(x2y2z2)x2y2z2

7、2xy2yz2zx，即即3(x2y2z2)(xyz)21，课堂互动讲练课堂互动讲练【方法总结方法总结】(1)综合法的思维特点综合法的思维特点是：由已知推出结论用综合法证明不等是：由已知推出结论用综合法证明不等式中常用的重要不等式有：式中常用的重要不等式有：a20，a2课堂互动讲练课堂互动讲练(2)用综合法证不等式时，以基本用综合法证不等式时，以基本不等式为基础，以不等式的性质为依不等式为基础，以不等式的性质为依据，进行推理论证因此，关键是找据，进行推理论证因此，关键是找到与要证结论相匹配的基本不等式及到与要证结论相匹配的基本不等式及其不等式的性质其不等式的性质课堂互动讲练课堂互动讲练分析法是分

8、析法是“执果索因执果索因”，它是从，它是从要证的结论出发，倒着分析，逐渐要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知事实地靠近已知事实用分析法证用分析法证“若若P则则Q”这个命这个命题的模式是：题的模式是：课堂互动讲练课堂互动讲练考点二考点二 分析法分析法为了证明命题为了证明命题Q为真，为真，这只需证明命题这只需证明命题P1为真，从而有为真，从而有这只需证明命题这只需证明命题P2为真，从而有为真，从而有这只需证明命题这只需证明命题P为真为真而已知而已知P为真，故为真，故Q必为真必为真课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【证明证明】ab，ab0.平方得：平方得：|a|2|b|22|a|b

9、|2(|a|2|b|22ab)，只需证：只需证：|a|2|b|22|a|b|0，即即(|a|b|)20，显然成立故原，显然成立故原不等式得证不等式得证课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】abab0，利用利用a2|a|2.【名师点评名师点评】本题从要证明的结本题从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到恰恰都是已证的命题最后找到恰恰都是已证的命题(定义、公定义、公理、定理、法则、公式等理、定理、法则、公式等)或是要证命题或是要证命题的已知条件时，命题得证这正是分析的已知条件时，命题得证这正是分析法证明问题的一般思路法证明问题的一般思路一般地，

10、含有根号、绝对值的等式一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，若从正面不易推导时，可以或不等式，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法考虑用分析法课堂互动讲练课堂互动讲练反证法体现了正难则反的思维反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步方法，用反证法证明问题的一般步骤是：骤是： (1)分清问题的条件和结论；分清问题的条件和结论；(2)假定所要证的结论不成立，假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立而设结论的反面成立(否定结论否定结论)；课堂互动讲练课堂互动讲练考点三考点三反证法反证法(3)从假定和条件出发，经过正确从假定和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定的推理

11、，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾自相矛盾(推导矛盾推导矛盾)；(4)因为推理正确，所以断定产生因为推理正确，所以断定产生矛盾的原因是矛盾的原因是“假设假设”错误既然结论错误既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成的反面不成立，从而证明了原结论成立立(结论成立结论成立)课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练(解题示范解题示范)(本题满分本题满分12分分)已知已知ac2(bd)，求证：方程，求证：方程x2axb0与方程与方程x2cxd0中至少中至少有一个有实数根有一个有实数根【思路点拨思路点拨】命题中有命题中有“至少至少”

12、形式出形式出现，从正面思考不易解决，故可用反证法加以现，从正面思考不易解决，故可用反证法加以证明证明【证明证明】法一：法一：(综合法综合法)因因a2c22ac，可推知，可推知a2c24(bd)，即即(a24b)(c24d)0. 6分分故得故得(a24b)与与(c24d)中至少有一个不小中至少有一个不小于零于零可知，原命题成立可知，原命题成立. 12分分课堂互动讲练课堂互动讲练法二：法二：(反证法反证法)假设两方程都没有实数根，则假设两方程都没有实数根，则1a24b0与与2c24d0，有，有a2c24(bd)， 6分分而而a2c22ac，从而有，从而有2ac4(bd)，即：，即：ac2(bd)，

13、与题设矛盾，故原命题成立与题设矛盾，故原命题成立. 12分分课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评名师点评】用反证法证明问用反证法证明问题时要注意以下三点：题时要注意以下三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；任何一种可能，反证都是不完全的；课堂互动讲练课堂互动讲练(2)反证法必须从否定结论进行推反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，必须

14、根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的须是明显的课堂互动讲练课堂互动讲练(本题满分本题满分12分分)若若x，y都是正实数，都是正实数，课堂互动讲练课堂互动讲练因为因为x0且且y0，所以所以1x2y，且，且1y2x.两式相加，得两式相加，得2xy2x2y，所以所以xy2. 8分分这与已知条件这与已知条件xy

15、2矛盾，矛盾，课堂互动讲练课堂互动讲练1综合法与分析法综合法与分析法分析法与综合法是两种思路截然分析法与综合法是两种思路截然相反的证明方法，既对立又统一用相反的证明方法，既对立又统一用综合法证题前往往用分析法寻找解题综合法证题前往往用分析法寻找解题思路，即所谓的思路，即所谓的“分析分析”因此，分析因此，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程并且在解决较复杂完整的证明过程并且在解决较复杂问题时，往往是分析法与综合法相互问题时，往往是分析法与综合法相互结合使用结合使用规律方法总结规律方法总结2反证法反证法(1)使用反证法证明的关键是在正使用反证法证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式、事实或与定义、公理、定理、公式、事实矛盾等矛盾等反证法的步骤：反证法的步骤：反设；反设；推出推出矛盾；矛盾；下结论下结论规律方法总结规律方法总结矛盾的主要类型：矛盾的主要类型：与假设矛盾；与假设矛盾；与数学公式、法则、公理、定理、定义或与数学公式、法则、公理、定理、定义或已被证明了的结论矛盾；已被证明了的结论矛盾；与公认的简单与公认的简单事实矛盾；事实矛盾；自相矛盾自相矛盾(2)常见的常见的“结论