电磁场与电磁波：第三章 静电场边值问题

1、1电磁场与电磁波第三章 静电场边值问题武武 汉汉 科科 技技 大大 学学 信信 息息 科科 学学 与与 工工 程程 学学 院院2本章要点本章要点v 电位微分方程电位微分方程v 镜像法镜像法v 分离变量法分离变量法3电位微分方程电位微分方程电位微分方程的提出：电位微分方程的提出：0 EE2E02泊松方程泊松方程4电位微分方程电位微分方程02拉普拉斯方程拉普拉斯方程在电荷密度为在电荷密度为0 0的无源空间，有：的无源空间，有：5电位微分方程电位微分方程边值问题的分类：边值问题的分类：第一类边值问题（第一类边值问题（狄里赫利问题狄里赫利问题）：）：给定未知函数在边界上的函数值。给定未知函数在边界上的

2、函数值。例如：静电场中已知各导体表面的电位例如：静电场中已知各导体表面的电位, , 求解求解空间的电位问题。空间的电位问题。第二类边值问题（第二类边值问题（诺伊曼问题诺伊曼问题）：）：给定未知函数在边界上的法向导数值。给定未知函数在边界上的法向导数值。如静电场中已知导体表面的面电荷密度分布，如静电场中已知导体表面的面电荷密度分布，求解空间的电位问题。求解空间的电位问题。6电位微分方程电位微分方程第三类边值问题（第三类边值问题（混合问题混合问题）：）：在部分边界上给定未知函数在这部分边界上的在部分边界上给定未知函数在这部分边界上的函数值，在其它边界上给定未知函数在这部分函数值，在其它边界上给定未

3、知函数在这部分边界上的法向导数值。边界上的法向导数值。7电位微分方程电位微分方程例例3.1 3.1 两块无限大的接地导体平面分别置于两块无限大的接地导体平面分别置于x=0和和x=a处，其间在处，其间在x=x0处有一面密度为处有一面密度为 0(C/m2)的无限大均匀电荷分布，求两导体板的无限大均匀电荷分布，求两导体板之间的电位。之间的电位。xyx00a 0)(1x)(2xen8电位微分方程电位微分方程解：解：除除x=x0处，空间其它地方都没有电荷，电位满处，空间其它地方都没有电荷，电位满足一维拉普拉斯方程，根据导体平面及足一维拉普拉斯方程，根据导体平面及x=x0处处的边界条件，可以求出电位分布。

4、的边界条件，可以求出电位分布。)0(0)(0212xxdxxd电位仅是坐标电位仅是坐标x的函数：的函数：)(0)(0222axxdxxdxyx00a 0)(1x)(2xen9电位微分方程电位微分方程可解得：可解得：111)(DxCx)0(0 xx 222)(DxCx)(0axx 1和和 2满足的边界条件为：满足的边界条件为：0)0(10)(2a)()(0201xx)()()(00021xxxxxx思考：上式如何得来？思考：上式如何得来？xyx00a 0)(1x)(2xen10电位微分方程电位微分方程002120210122100CCDxCDxCDaCD代入数据得方程组：代入数据得方程组：得到得

5、到C1、C2、C3和和C4，代入电位表达式得：，代入电位表达式得：)0()()(00001xxaxxax)()()(00002axxxaaxx11镜像法镜像法镜像法的实质：镜像法的实质：用镜像电荷（或源）代替边界，使边界上的未用镜像电荷（或源）代替边界，使边界上的未知函数（电位知函数（电位/ /电场电场/ /磁位磁位/ /磁场）值，或其法磁场）值，或其法向导数值保持不变，即边界条件不变；电力线向导数值保持不变，即边界条件不变；电力线或磁力线在求解区域中将保持不变，镜像源一或磁力线在求解区域中将保持不变，镜像源一定处在求解区域之外。定处在求解区域之外。 12镜像法镜像法第一类第一类 点电荷与无限

6、大的导体平面点电荷与无限大的导体平面例例3.2 3.2 置于无限大接地平面导体上方，距置于无限大接地平面导体上方，距导体导体面为面为h h处的点电荷处的点电荷q q。 13镜像法镜像法分析：分析：- - - - - - - - - - - - - - - - =0=0可用叠加法求解可用叠加法求解XYXY平面平面Z Z轴轴14镜像法镜像法解：解：在直角坐标系中，在直角坐标系中，当当z z0 0 时，时，当当z z=0=0时，时，=0=0；当当z z、| |x x|、| |y y|时，时，00。02rqrq041选无穷远点为电位参考点，利用叠加法求出导选无穷远点为电位参考点，利用叠加法求出导体上方

7、无源区任一点的电位：体上方无源区任一点的电位：XYXY平面平面Z Z轴轴15镜像法镜像法2/12222/1222)()(hzyxrhzyxr其中：其中：3303303304114114rhzrhzqzErrqyErrqxEzyx由由 得电场的各分量得电场的各分量：EXYXY平面平面Z Z轴轴16镜像法镜像法由由Dn=S可得导体表面（可得导体表面（z=0）的感应面电荷密）的感应面电荷密度：度： 2/32220)(2hyxqhEzS令令2=x2+y2，则，则导体表面总的感应电荷：导体表面总的感应电荷： )()(20222/322020CqhqhhddqhdsqSsi17镜像法镜像法分析：分析：当点

8、电荷位于无限大的导体平面时，由于静电当点电荷位于无限大的导体平面时，由于静电感应，导体表面将产生等量的异性的感应电荷，感应，导体表面将产生等量的异性的感应电荷，使用镜像法时，可以用一个异性的镜像电荷代使用镜像法时，可以用一个异性的镜像电荷代替导体表面的感应电荷。替导体表面的感应电荷。电场线处处垂直于导体的平面，零电位面与导电场线处处垂直于导体的平面，零电位面与导体表面重合。体表面重合。18例例3.3 3.3 设有两块接地半无限大导体平板相交成设有两块接地半无限大导体平板相交成角，角角，角满足满足n=180/，n为正整数，即为正整数，即n=1、2、3，交角内置一点电荷交角内置一点电荷( (或一线

9、电或一线电荷荷) )。镜像法镜像法解：解：轮流找出镜像电荷及镜像电荷的镜像轮流找出镜像电荷及镜像电荷的镜像, , 直到最直到最后的镜像电荷与原电荷重合为止。但是只有当后的镜像电荷与原电荷重合为止。但是只有当n为整数时，最后的镜像才能和原电荷重合，为整数时，最后的镜像才能和原电荷重合，镜像电荷的总数应是镜像电荷的总数应是N=2n-1个。个。 19镜像法镜像法q-q-qq因为导体板无限大，所以导体板电位为因为导体板无限大，所以导体板电位为0 0，构造，构造图示的镜像电荷，保证边界上的电位永远为图示的镜像电荷，保证边界上的电位永远为0 0。qab20镜像法镜像法4321011114rrrrq由叠加法

10、求出空间一点的电位为：由叠加法求出空间一点的电位为：2/122242/122232/122222/12221)()()()()()()()(zbyaxrzbyaxrzbyaxrzbyaxr21镜像法镜像法思考：如图导体板的镜像电荷如何构建？思考：如图导体板的镜像电荷如何构建？q4545。22镜像法镜像法第二类第二类 点电荷与导体球点电荷与导体球例例 3.4 3.4 一个半径为一个半径为a的接地导体球，一点电荷的接地导体球，一点电荷q位于距球心位于距球心d处。处。 23镜像法镜像法解：解：试用一个镜像电荷试用一个镜像电荷q等效球面上的感应面电荷等效球面上的感应面电荷在球外产生的电位和电场。从对称

11、性考虑，镜在球外产生的电位和电场。从对称性考虑，镜像电荷像电荷q应置于球心与电荷应置于球心与电荷q的连线上的连线上。qqbd24镜像法镜像法球外任一点的电位是电荷球外任一点的电位是电荷q与镜像电荷与镜像电荷q产生电产生电位的叠加：位的叠加：201044rqrq因为球面接地，所以球面上一点有：因为球面接地，所以球面上一点有： 044200100rqrqr10、r20分别是从分别是从q、q到球面上点到球面上点P0的距离。的距离。25镜像法镜像法取球面上的点分别取球面上的点分别位于位于A A、B B两点，可两点，可以得到确定未知量以得到确定未知量q、b的两个方程：的两个方程：00baqadqbaqa

12、dqqqbdA AB Bdabqdaq226镜像法镜像法其它情况：其它情况：如果导体球不接地且不带电，可用镜像法和叠如果导体球不接地且不带电，可用镜像法和叠加原理求球外的电位。此时球面必须是等位面，加原理求球外的电位。此时球面必须是等位面，且导体球上的总感应电荷为零。使用两个等效且导体球上的总感应电荷为零。使用两个等效电荷：一个是电荷：一个是q，其位置和大小由前面的例题，其位置和大小由前面的例题确定；另一个是确定；另一个是q”，q”=-=-q，q”位于球心。位于球心。如果导体球不接地，且带电荷如果导体球不接地，且带电荷Q，则，则q位置和大位置和大小同上，小同上，q”的位置也在原点，但的位置也在

13、原点，但q”= =Q-q。于是空间总电位可由于是空间总电位可由q与与q叠加求出。叠加求出。27第三类第三类 线电荷与带电的导体圆柱线电荷与带电的导体圆柱例例3.5 3.5 设半径为设半径为a的无限长导体圆柱外，有一的无限长导体圆柱外，有一根与其平行的无限长细线电荷，其线电荷密度根与其平行的无限长细线电荷，其线电荷密度为为l，与圆柱轴线距离为，与圆柱轴线距离为d1，横截面如图。，横截面如图。ld1a镜像法镜像法28镜像法镜像法求解方法和第二类镜像法类似：求解方法和第二类镜像法类似：第一步第一步 构造镜像电荷；构造镜像电荷；第二步第二步 求出空间中电位的表达式求出空间中电位的表达式第三步第三步 列

14、出满足导体表面电位为列出满足导体表面电位为0 0的边界条件的边界条件的方程（组），求解出设定的未知量。的方程（组），求解出设定的未知量。第四步第四步 将求出的未知量代入电位的表达式，将求出的未知量代入电位的表达式，得到可用的电位表达式。得到可用的电位表达式。29镜像法镜像法第四类第四类 点电荷与无限大的介质平面点电荷与无限大的介质平面例例3.6 3.6 两种介电常数分别为两种介电常数分别为1、2的介质充填的介质充填于于z0的空间，在介质的空间，在介质1 1中点中点(d,0,0)处有处有一点电荷一点电荷q。 1230镜像法镜像法解：解：分界面上将产生束缚电荷。分界面上将产生束缚电荷。计算介质计算

15、介质1中的电位时，可将界面上的束缚电荷中的电位时，可将界面上的束缚电荷用镜像电荷用镜像电荷q来等效，空间介电常数都为来等效，空间介电常数都为1。12- - - - - - - - - - - -11qq31镜像法镜像法计算介质计算介质2中的电位时，可将界面上的束缚电荷中的电位时，可将界面上的束缚电荷与源点电荷用镜像电荷与源点电荷用镜像电荷q”来等效，空间介电常来等效，空间介电常数都为数都为2。12- - - - - - - - - - - -22q”32镜像法镜像法在介质在介质1 1中产生的电位为：中产生的电位为：)(412111rqrq在介质在介质2 2中产生的电位为：中产生的电位为：322

16、4rq其中，其中，r1、r2和和r3为三个电荷到场点的距离。为三个电荷到场点的距离。33镜像法镜像法根据电位的边界条件：根据电位的边界条件：nn22112111qqen 22q”en 34镜像法镜像法在介质边界上一点，代入电位的表达式，得：在介质边界上一点，代入电位的表达式，得：rqrqrq214)(41cos4cos)(41222rqrqrq解得：解得：qq2121qq212235直角坐标系的分离变量法直角坐标系的分离变量法如果泊松方程或拉普拉斯方程中有两个或两个如果泊松方程或拉普拉斯方程中有两个或两个以上的自变量，在数学上就形成了偏微分方程以上的自变量，在数学上就形成了偏微分方程的求解问题

17、。的求解问题。一种方法是把各个自变量分开后单独求解，然一种方法是把各个自变量分开后单独求解，然后再组合成总的解，这就是后再组合成总的解，这就是分离变量法分离变量法。在数。在数学上通过把偏微分方程转换为常微分方程求解学上通过把偏微分方程转换为常微分方程求解来实现。来实现。36直角坐标系的分离变量法直角坐标系的分离变量法在直角坐标系中，拉普拉斯方程为：在直角坐标系中，拉普拉斯方程为： 0222222zyx可以表示为三个函数的乘积：可以表示为三个函数的乘积：)()()(),(zZyYxXzyx0222222dzZdXYdyYdXZdxXdYZ可将拉普拉斯方程改写为：可将拉普拉斯方程改写为：37直角坐标系的分离变量法直角坐标系的分离变量法然后用然后用XYZ除上式，得：除上式，得：0ZZYYXX上方程中的每项只与一个变量相关，所以各项上方程中的每项只与一个变量相关，所以各项都是一个常数。令：都是一个常数。令：2221xkdxXdX2221ykdyYdY2221zkdzZdZ0222zyxkkk38直角坐标系的分离变量法直角坐标系的分离变量法写成如下的形式：写成如下的形式：000222222222ZkdzZdYkdyYdXkdxXdzyx3