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文档简介

1、第四章 大数定律与中心极限定理4.1 特征函数1、特征函数定义定义4.1.1 设X是一个随机变量,称为X的特征函数。对于离散随机变量X,其分布列pk=P(X=xk) , k=1,2,有对于连续随机变量X，其密度函数p(x), 有 ,itXtE et 1( ),kitxkktept ( ),itxte p x dxt 第三章 多维随机变量及其分布例4.1.1 常用分布的特征函数(一)单点分布0-1分布泊松分布均匀分布标准正态分布N(0,1)指数分布第三章 多维随机变量及其分布2、特征函数的性质性质4.1.1 性质4.1.2性质4.1.3 若Y=aX+b,其中a,b是常数,则性质4.1.4 随机变

2、量X,Y相互独立,则性质4.1.5 若E(Xl)存在,则X的特征函数可l次求导.有| ( )|(0)1t( )( )tt ( )()ibtYXteat( )( )( )X YXYttt( )(0)()kkki E X第三章 多维随机变量及其分布例4.1.1 常用分布的特征函数(二)二项分布正态分布N(u,2)伽玛分布Ga(n,)卡方分布Ga(n/2,1/2)表4.1.1例4.1.3 试利用特征函数的方法求伽玛分布Ga(n,)的数学期望和方差。第三章 多维随机变量及其分布有关特征函数几个重要定理定理4.1.1 (一致连续性)随机变量X的特征函数 在(-,+)一致连续。定理4.1.2 (非负定性)随机变量X的特征函数 是非负定的。定理4.1.3 (逆转公式)设随机变量X的分布函数F(x)、特征函数为 ,则对F(x)的任意两个连续点x1,x2有 t t t12211( )( )lim( )2itxitxTTTeeF xF xt dtit第三章 多维随机变量及其分布定理4.1.4 (惟一性)设随机变量X的分布函数F(x)由特征函数 惟一决定。定理4.1.5 若X为连续随机变量,其密度函数为p(x),特征函数为 ,如果则它是特征函数定义的互逆变换。 t t t dt 1( )2itxp xet dt ( )itxtep x dx第三章 多维随机变量及其分布例4.1.4

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