第三章杆件横截面上的应力

1、杆件横截面上的应力第三章第三章 杆件横截面上的应力v第一节 应力、应变极其相互关系v第二节 直杆轴向拉伸（压缩）时横截面上 的正应力v第三节 圆轴扭转时横截面上的切应力 v第四节 矩形截面杆扭转时横截面上的切应力 v第五节 梁纯弯曲时横截面上的正应力 v第六节 梁横力弯曲时横截面上的应力v第七节 组合变形时横截面上的应力本章重点本章重点杆件基本变形时横截面上应力的计算杆件基本变形时横截面上应力的计算2.一点处的应力一点处的应力dAdFAFp lim0A应力的国际单位为应力的国际单位为Pa 1N/m2= 1Pa（帕斯卡帕斯卡） 1MPa = 106Pa 1GPa = 109Pa垂直于截面的分量垂

2、直于截面的分量正应力正应力 A4F3FFC目录目录第一节 应力、应变极其相互关系 应力应力 内力的集度（单位面积上的内力）内力的集度（单位面积上的内力）平均应力平均应力mFpA一点处应力一点处应力平行于截面的分量平行于截面的分量切应力切应力 p令令p+_+_3. 应力的单位应力的单位问题的提出问题的提出五五F FC CD DE E1.1.变形变形线变形线变形角变形角变形2.2.线线( (正正) )应变应变 一点处沿某一方向微小一点处沿某一方向微小 线段的相对变形。线段的相对变形。3.3.角（切）应变角（切）应变 一点处微体一点处微体直角的改变量直角的改变量A AA AECDDCECDDCCDC

3、DDCmCDCDCDDClimECDm2ECD2limCDCEC CD DE E目录目录平均线应变平均线应变一点处线应变一点处线应变平均角应变平均角应变一点处角应变一点处角应变xyzdxdydz xyzdxdydzE E：弹性模量，G G：切变弹模。：切变弹模。2. 2. 胡克定律胡克定律 单元体仅受正应力单元体仅受正应力，或切应力，或切应力，且材料处于线弹性范围，则，且材料处于线弹性范围，则 =EG，1.1.单元体单元体 边长为无穷小量的正六面体边长为无穷小量的正六面体目录目录第二节 直杆轴向拉伸(压缩)时横截面上的正应力 1.实验观察实验观察平面假设，变形前是平面的横截面，变形后仍然保持为

4、平面假设，变形前是平面的横截面，变形后仍然保持为平面且仍垂直于轴线。平面且仍垂直于轴线。 设想拉（压）杆由纵向纤维组成，根据平面假设，拉（压）杆所有设想拉（压）杆由纵向纤维组成，根据平面假设，拉（压）杆所有纵向纤维的伸长（缩短）是相同的。从而推得，纵向纤维的伸长（缩短）是相同的。从而推得，拉（压）杆横截面上只拉（压）杆横截面上只有正应力，且各点的正应力相等，即横截面上正应力均匀分布。有正应力，且各点的正应力相等，即横截面上正应力均匀分布。 演示演示AFN 正应力正应力和轴力和轴力F FN N同号。即拉应力为正，压应力为负。同号。即拉应力为正，压应力为负。若杆截面沿轴线缓慢变化，横截面上的正应力

5、为若杆截面沿轴线缓慢变化，横截面上的正应力为x的函数。的函数。( )( ) /( )NxFxA x目录目录二、圣维南原理 将原力系用静力等效的新力系来替代，除了对原力系作用附近的将原力系用静力等效的新力系来替代，除了对原力系作用附近的应力分布有明显影响外，在离力系作用区域略远处（距离约等于截面应力分布有明显影响外，在离力系作用区域略远处（距离约等于截面尺寸），该影响非常微小。尺寸），该影响非常微小。FF目录目录目录目录构件几何形状不连续应力集中：应力集中：几何形状不连续处应力局部增大的现象。几何形状不连续处应力局部增大的现象。 应力集中应力集中与杆件的尺寸和所用的材料无关，仅取决于截面突与杆件

6、的尺寸和所用的材料无关，仅取决于截面突变处几何参数的比值。变处几何参数的比值。drdrDdorDd/2d/2rrFFDdrFFmax nom Fmax nom F应力集中系数应力集中系数=max平均目录目录10已知已知F F1 1=10kN=10kN；F F2 2=20kN=20kN； F F3 3=35kN=35kN；F F4 4=25kN=25kN；A=A=200mm200mm2 2；例题例题3-13-1解解（1 1）作出轴力图，作出轴力图，F1F3F2F4ABCD10 kN10 kN25 kN_+112233FN1=10kN， FN2=-10kN， FN3=25kN（2 2）求应力求应力

7、试求试求1-1、2-2、3-3截面上的应力。截面上的应力。311 161010Pa=50MPa20010NFA322261010Pa=-50MPa20010NFA333 362510Pa=125MPa20010NFA目录目录例题例题3-23-2 图示结构，试求杆件图示结构，试求杆件AB、CB的应力。的应力。已知已知 F=20kN；斜杆斜杆AB为直径为直径20mm的圆截面杆，水平杆的圆截面杆，水平杆CB为为15151515的方截的方截面杆。面杆。 0yFkN3 .281NF解：解：1 1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1 1杆，杆，水平杆为水平杆为2 2杆）用截面法取

8、节点杆）用截面法取节点B B为研究对象为研究对象kN202NF 0 xFF FA AB BC C4545045cos21NNFF045sin1 FFN1 12 2F FB BF F1NF2NFxy454531126128.31090MPa20104NFA32226220 1089MPa1510NFA 目录目录第三节 圆轴扭转时横截面上的切应力 平面假设，变形前是平面的横截面，变形后仍然保持为形状、大小、平面假设，变形前是平面的横截面，变形后仍然保持为形状、大小、互相之间的距离不变的平面。互相之间的距离不变的平面。 由平面假设可推断，横截面上只有沿圆周切线方向的切应力。由平面假设可推断，横截面上

9、只有沿圆周切线方向的切应力。目录目录 1.几何方面几何方面 取微段取微段dxddx GxAdAM2PxAddGdAGIMdxdxxddPMxGIddGx2.物理方面物理方面3.静力等效静力等效xpMI目录目录令令抗扭截面系数抗扭截面系数xpMImaxppxxMMRIIRmaxppxxMMIRWMx目录目录实心轴实心轴目录目录空心轴空心轴令令则则目录目录实心轴与空心轴实心轴与空心轴 Ip 与与 Wp 对比对比目录目录当当9 . 0Dd时，空心圆轴可视为薄壁圆筒时，空心圆轴可视为薄壁圆筒2000dd2xAAR ARARM20022xxMMRA目录目录xyzdxdydz 根据力偶平衡理论( d d

10、)d( d d )dy zxx zy v 在相互垂直的两个平面上，切应力必成对出现，两切应力的数值相等，方向均垂直于该平面的交线，且同时指向或背离其交线。v不论单元体上有无正应力存在，切应力互等定理都是成立的。不论单元体上有无正应力存在，切应力互等定理都是成立的。v因为切应力互等定理是由单元体的平衡条件导出的，与材料的性能无关。因为切应力互等定理是由单元体的平衡条件导出的，与材料的性能无关。所以不论材料是否处于弹性范围，切应力互等定理总是成立的所以不论材料是否处于弹性范围，切应力互等定理总是成立的。v若单元体各个截面上只有切应力而无正应力，称为纯剪切状态。若单元体各个截面上只有切应力而无正应力

11、，称为纯剪切状态。 平衡吗？平衡吗？目录目录 已知离合器传递的功率已知离合器传递的功率P P7.5kW, 7.5kW, 转速转速n =100r/min,=100r/min,轴的最大轴的最大切应力切应力不得超过不得超过40MPa,40MPa,空心圆轴的内外直径之比空心圆轴的内外直径之比 = 0.5 = 0.5。二轴长度相。二轴长度相同。同。求求: 实心轴的直径实心轴的直径d1和空心轴的外直径和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。；确定二轴的重量之比。空心轴空心轴d20.5D2=23 mm324616 716 20 046m=46mm 1-40 10.Dmax234221640MPa1xxPM

12、MWD例题例题3-33-3实心轴实心轴max13111640MPaxxPMMWdd1=45 mm长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：28. 15 . 01110461045122332222121DdAA目录目录解：解：e9550716 2N mxPMMn.已知已知E轴所传递的功率轴所传递的功率P114kW, H轴、轴、 C轴所传递的功率轴所传递的功率P2= P3=P1/2。n1=n2=120r/min，z1=36，z3=12；d1=70mm，d 2=50mm, d3=35mm。求。求:各各轴轴横截面上的最大切应力。横截面上的

13、最大切应力。P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW1313360r/minznnz解：解：1 1、计算各轴的功率与转速、计算各轴的功率与转速M1=Mx1=1114 NmM2=Mx2=557 NmM3=Mx3=185.7 Nm2 2、计算各轴的扭矩、计算各轴的扭矩例题例题3-43-433 3、计算各轴的横截面上的最大切应力、计算各轴的横截面上的最大切应力 x1Emax3-9P116 1114Pa16.54MPa7010MWx2HmaxP222.69MPaMWx3CmaxP321.98MPaMW目录目录第四节 矩形截面杆扭转时横截面上的切应力纯扭转，截面上只有切应力纯扭转，截面上只有

14、切应力 目录目录梁段梁段CD上，只有弯矩，没有剪力上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲纯弯曲梁段梁段AC和和BD上，既有弯矩，又有剪力上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲横力弯曲纯弯曲：梁的横截面上只有弯矩，没有剪力。纯弯曲：梁的横截面上只有弯矩，没有剪力。第五节 梁纯弯曲时横截面上的正应力+_=F=FaFFFa目录目录1 1、变形前互相平行的纵向直线、变形前互相平行的纵向直线、变形后变成弧线，且凹边纤维缩变形后变成弧线，且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。短、凸边纤维伸长。2 2、变形前垂直于纵向线的横向线、变形前垂直于纵向线的横向线, ,变形后仍为直线，且仍与弯曲了变形后仍为直线，且仍与弯曲了的纵向线正交，但

15、两条横向线间的纵向线正交，但两条横向线间相对转动了一个角度。相对转动了一个角度。中性轴：中性轴： 中性层与横截面的交线称中性层与横截面的交线称为中性轴。为中性轴。mmnnFF中性层中性轴m1onn2om 平面假设，变形前是平面的横截面，变形后仍然保持为平面。平面假设，变形前是平面的横截面，变形后仍然保持为平面。 目录目录dxmmnnozyoddxmmnnFFydddyyEEyMM中性轴yzdAAdA NFAdAz yMAdAy zMAydAE 0AzydAE 0AdAyE2 ZEIZZEIM 1zzIyM 1.几何方面几何方面2.物理方面物理方面1.中性轴过截面形心中性轴过截面形心3.静力等效

16、静力等效2.3.目录目录zzIyMMZ: :横截面上的弯矩横截面上的弯矩y: :点到中性轴的距离点到中性轴的距离dxmmnnozyoMM中性轴yzdAmaxmaxyzzzzMMIWIZ: :截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩 计算任一点的正应力时，可不考虑计算任一点的正应力时，可不考虑M、y y的正负，一律以绝的正负，一律以绝对值代入。对值代入。M为正，梁中性轴下边纤维受拉，中性轴以下部分为正，梁中性轴下边纤维受拉，中性轴以下部分均为正的正应力，而中性轴以上部分纤维受压，均为负的正应均为正的正应力，而中性轴以上部分纤维受压，均为负的正应力；力；M为负时，应力正负号则相反。为负时，应力正负

17、号则相反。max/ yIWzz抗弯截面模量。抗弯截面模量。 中性轴M中性轴26zbhW 332zdW34(1)32zdW目录目录例例3-5 把直径为 mm1d的钢丝绕在直径为D=2m的卷筒上，试计算钢丝中产生的最大应力。设 。GPa200E解解 取钢丝作为研究对象， Ddm1m0005. 1MPa100Pa10005. 0102009maxmaxyE目录目录1.静矩静矩AyAxAxSAySd,d设该平面图形的形心设该平面图形的形心C的坐标为的坐标为xC 、yC ， ASAAyyASAAxxxAcyAcd,dAxSAySCyCx, 若若xC = 0、yC= 0，则，则Sy = 0、Sx = 0。

18、可见，若某轴。可见，若某轴通过图形的形心，则图形对该轴的静矩必等于零。通过图形的形心，则图形对该轴的静矩必等于零。静矩可正，可负，可为零，具有长度的三次方量纲。静矩可正，可负，可为零，具有长度的三次方量纲。 目录目录二、惯性矩和惯性积二、惯性矩和惯性积1.惯性矩惯性矩2222d,d xxyyAAIyAi AIxAi A惯性矩恒为正值，具有长度的四次方的量纲。惯性矩恒为正值，具有长度的四次方的量纲。i：惯性半径惯性半径 组合图形对某轴的惯性矩组合图形对某轴的惯性矩 n1iin1ii,yyxxIIII2计算惯性矩的平行移轴公式计算惯性矩的平行移轴公式AbIIAaIICCyyxx22目录目录4.惯性

19、积惯性积AAId2p极惯性矩极惯性矩Ip恒为正值，具有长度的四次方的量纲。恒为正值，具有长度的四次方的量纲。 3.极惯性矩极惯性矩xyAAIIAyxAId)d222p（AxyAxyId惯性积和惯性矩的量纲相同，但可正、可负，可为零惯性积和惯性矩的量纲相同，但可正、可负，可为零 如果图形有一根（或一根以上）对称轴，则图形对包含此对称轴的如果图形有一根（或一根以上）对称轴，则图形对包含此对称轴的任一对正交轴的惯性积必为零。任一对正交轴的惯性积必为零。目录目录例例3-6试求矩形对其形心轴试求矩形对其形心轴x、y以及以及x1的惯性矩的惯性矩Ix、Iy、Ix1 。解：解：取与取与x轴平行的狭长条为微面积

20、，则轴平行的狭长条为微面积，则dA = bdy。 12dd32/2/22bhybyAyIhhAx再取与再取与y轴平行的狭长条为微面积轴平行的狭长条为微面积 12d d 32/2/22hbxhxAxIbbAy根据平行轴公式根据平行轴公式 321( )23xxhhbIIA目录目录例例3-7试求圆形和圆环形图形对圆心的极惯性矩试求圆形和圆环形图形对圆心的极惯性矩Ip以及对各自形心轴以及对各自形心轴x、y的惯性矩的惯性矩Ix、Iy。解：解：（一）圆形（一）圆形 在圆形上距圆心为在圆形上距圆心为处取宽度为处取宽度为d的细圆环为微面积的细圆环为微面积 32d2d42/ 0 32pdAIdA圆形是中心对称的

21、图形，对圆形是中心对称的图形，对x轴和轴和y轴的惯性矩轴的惯性矩相等，即相等，即Ix = Iy 。32224pdIIIIIyxyx644dIIyx 将计算将计算Ip的积分式的积分上、下限的积分式的积分上、下限对应改为对应改为 、 2d2D)(3244pdDI)(6444dDIIyx（二）圆环形（二）圆环形目录目录第六节 梁横力弯曲时横截面上的应力一、横力弯曲正应力公式一、横力弯曲正应力公式 弹性力学分析表明，当梁跨度弹性力学分析表明，当梁跨度 l 与与横截面高度横截面高度 h 之比之比 l / h 5 （细长梁）（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成

22、立。似成立。弯曲正应力弯曲正应力Z( )M x yIZmaxmaxmaxIyM目录目录Mxm67.5kN8/2ql FQx90kN90kN30zy180120K解：解：例例3-8 简支梁受均布载荷作用。已知已知简支梁受均布载荷作用。已知已知E=200GPa，试求试求1.C 截面上截面上K点正应力，点正应力， 2.C 截面上最大正应力，截面上最大正应力， 3.C 截面的曲率半径截面的曲率半径, 4.全梁上全梁上最大正应力最大正应力。1. 1. 求支反力求支反力kN90AyFkN90ByFmkN605 . 0160190CM4533Zm10832. 51218. 012. 012bhIMPa7 .

23、61Pa107 .6110832. 510)302180(10606533ZKCKIyM2. 2. 作内力图作内力图3. 3. 应力计算应力计算q=60kN/m1m3mmaxmaxZ92.55MPaCCMyI目录目录Mxm67.5kN8/2ql FQx90kN90kNq=60kN/m1m3mmax67.5kN mM3maxmax29Z67.5 10120 180106104.17MPaMW4. 4. 求求C 截面曲率半径截面曲率半径1CCMEIm4 .194106010832. 510200359CZCMEI目录目录例例3-9 图示图示T形截面简支梁在中点承受集中力形截面简支梁在中点承受集中力

24、F32kN，梁的长度，梁的长度L2m。T形截面的形心坐标形截面的形心坐标yc96.4mm，横截面对于，横截面对于z轴的惯性矩轴的惯性矩Iz1.02108mm4。求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。FFAFB解：解： 1. 1. 求支反力求支反力16kNAyF16kNByF2. 2. 作内力图作内力图3. 3. 应力计算应力计算16kN+_zy.96+16kNm4 .9650200maxy153.6mmmax96.4mmyZIMymaxmax24.09MPaZIMymaxmax15.12MPa16kN目录目录二、矩形截面梁

25、的切应力二、矩形截面梁的切应力假设：假设：1、横截面上的、横截面上的方向与方向与FQ平行平行2 2、沿截面宽度是均匀分布的沿截面宽度是均匀分布的zyFQ目录目录FaaAxdx1122MdMM ya a12210 0 xNNyFFFbdx*11NAFdA*1AzMdAI*1AzMdAI*22NAFdA*2AzMdMdAI*1yAzdMdAbdxIzSdxdMbISzzy*QzyzF SI b2NF1NF+_+目录目录FQQ 横截面上的剪力横截面上的剪力；b 截面的宽度。截面的宽度。 *QzyZF SI bbzyA2h2hy0y)4(222yhIFZsy2Qmax8ZF hI2Q3812F hbh

26、Q32FA*221()()()22 224zhhb hSbyyymax目录目录三、横力弯曲时其它形状截面梁的切应力三、横力弯曲时其它形状截面梁的切应力1工字形截面梁工字形截面梁 工字形截面由翼缘和腹板组成，可视为工字形截面由翼缘和腹板组成，可视为矩形截面的组合。横截面上的切应力矩形截面的组合。横截面上的切应力(95-97)由腹板承担由腹板承担,翼缘的切应力不予计算。腹板截面翼缘的切应力不予计算。腹板截面是一狭长矩形，计算公式同前。是一狭长矩形，计算公式同前。 若工字钢为附录所列的标准型钢，则中性若工字钢为附录所列的标准型钢，则中性轴处的切应力为：轴处的切应力为：QmaxmaxzzFIbS公式中

27、的值公式中的值max/zzIS可由型钢表直接查得。可由型钢表直接查得。目录目录2 圆形截面梁圆形截面梁QQmax24433FFAR3圆环形截面（薄壁管）梁圆环形截面（薄壁管）梁Qmax2FADd目录目录2Qmax8ZF hI例例3-10 简支梁受均布载荷作用。已知简支梁受均布载荷作用。已知E=200GPa，试求试求全梁上最大切全梁上最大切应力应力。Mxm67.5kN8/2ql FQx90kN90kN30zy180120Kq=60kN/m1m3mQmax90kNF解：解： A截面剪力最大截面剪力最大3Qmaxmax633 90 10Pa22 180 120 106.25MPaFbh 由计算结果可

28、见，最大切应力比最大由计算结果可见，最大切应力比最大正应力正应力max92.55MPaC一般来说，对于实体截面梁，常常是一般来说，对于实体截面梁，常常是正应力起控制作用。正应力起控制作用。要小得多。要小得多。目录目录例例3-11 悬臂梁由三块木板粘接而成。已知悬臂梁由三块木板粘接而成。已知F=4kN，跨度为，跨度为1m。试求胶合面上的切应力和最大切应力。试求胶合面上的切应力和最大切应力。SF FM FlFl100505050z1.1.画梁的剪力图和弯矩图画梁的剪力图和弯矩图解：解：2.2.求胶合面上的切应力求胶合面上的切应力2*Qg336433124 4 100.36MPa3 100 150

29、10ZZhF bF SFbhI bbhb 3.3.求最大切应力求最大切应力3Qmax633 4 100.4MPa22 100 150 10FA 目录目录第七节 组合变形时横截面上的应力组合变形：组合变形：可看作两种以上的基本变形组合而成的复杂变形。可看作两种以上的基本变形组合而成的复杂变形。4.将正应力、切应力分别叠加。将正应力、切应力分别叠加。研究方法：研究方法：1.将外力向杆件的轴线简化，将力向沿轴线和垂直将外力向杆件的轴线简化，将力向沿轴线和垂直 于轴线的方向分解；于轴线的方向分解； 2.将构件上的外力划分成几组简单载荷，每一组载荷将构件上的外力划分成几组简单载荷，每一组载荷对应着一种基

30、本变形；对应着一种基本变形；3.计算各基本变形应力；计算各基本变形应力；叠加原理叠加原理 ： 构件在小变形和服从胡克定理的条件下，所有载构件在小变形和服从胡克定理的条件下，所有载 荷作用下的内力、应力、应变等是各个单独载荷作用下的内力、应力、应变等是各个单独载 荷作用下的值的叠加。荷作用下的值的叠加。目录目录F一、圆柱形密圈螺旋弹簧的应力一、圆柱形密圈螺旋弹簧的应力1.计算模型简化计算模型简化（1）= 0，视簧丝为圆环，视簧丝为圆环（2）因）因d远小于远小于D，视簧丝为直杆，视簧丝为直杆2.应力计算（实用计算）应力计算（实用计算）截取弹簧上段截取弹簧上段FQMxFQMxDF由平衡方程可解得：由

31、平衡方程可解得：FQ=F，Mx= FD/212（1）设）设1均匀分布均匀分布Q124FFAd（2）用圆轴切应力公式求）用圆轴切应力公式求2x2max33P/28/16MFDFDWdd（3）将最大切应力叠加）将最大切应力叠加max12max38(1)2FDddD目录目录1.当当D/ /d10，可略去，可略去1的影响，的影响，max=2max=38FDd2.当当D/ /d 较小时，考虑各近似因数，引入曲度因数较小时，考虑各近似因数，引入曲度因数 k，max= k38FDd式中，式中，k=410.61544cccc: 弹簧指数弹簧指数 ， c =D/d。目录目录压弯组合变形压弯组合变形拉弯组合变形拉

32、弯组合变形二、拉（压）弯组合变形二、拉（压）弯组合变形实例实例FB受力特点：受力特点：外力和杆轴线平行，但不外力和杆轴线平行，但不通过轴线；或通过轴线但不和轴线平通过轴线；或通过轴线但不和轴线平行或垂直。行或垂直。目录目录压弯组合变形压弯组合变形拉弯组合变形拉弯组合变形二、拉（压）弯组合变形二、拉（压）弯组合变形实例实例FB受力特点：受力特点：外力和杆轴线平行，但不外力和杆轴线平行，但不通过轴线；或通过轴线但不和轴线平通过轴线；或通过轴线但不和轴线平行或垂直。行或垂直。目录目录+=10-31.将外力向杆件的轴线简化；将力向沿轴线和垂直于轴线的方向分解；将外力向杆件的轴线简化；将力向沿轴线和垂直

33、于轴线的方向分解； 2.将构件上的外力划分成几组简单载荷，每一组载荷对应着一种基本将构件上的外力划分成几组简单载荷，每一组载荷对应着一种基本变形；变形；FBFAxFBxFAxFAyFByFBxFAyFBy=目录目录+=+=cmaxmax-AFWFltmax,AFWFlcmax,max, t,maxcmaxFlWmaxFlW 3.计算各基本变形应力；计算各基本变形应力；AFc4.将正应力、切应力分别叠加。将正应力、切应力分别叠加。qlABFFNFzzMAFNNZMIyMmaxmaxmaxminNZFMAWFN图图M 图图+目录目录例题例题3-12 铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，已知铸铁

34、压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，已知F=45kN试计算立柱的最大、最小正应力试计算立柱的最大、最小正应力.2mm15000Amm750z 47mm1031. 5yImm1251z解：解：（1 1）计算横截面的面积、形心、惯性矩）计算横截面的面积、形心、惯性矩 （2 2）求立柱横截面的内力）求立柱横截面的内力45kNNFF335075101.91 kN mMFFF350F350NF1z1yyz（3 3）求立柱横截面的最大应力）求立柱横截面的最大应力330.max531.91 100.07545 1030MPa5.31 1015 10NtyMzFIA330c.max5

35、31.91 100.12545 1042MPa5.31 1015 10NyMzFIA+=max. tmax. c目录目录三、偏心压缩（拉伸）三、偏心压缩（拉伸）实例实例受力特点：受力特点：外力和杆轴线平行，但不外力和杆轴线平行，但不通过轴线；或不通过截面的形心。通过轴线；或不通过截面的形心。目录目录单向偏心压缩单向偏心压缩FFeFFeM FFeM ABAByzeZNIFeyAF单向偏心压缩时单向偏心压缩时, ,距偏心力较近的一侧边缘总是产生压应力距偏心力较近的一侧边缘总是产生压应力, ,而最大正应力总而最大正应力总是发生在距偏心力较远的另一侧是发生在距偏心力较远的另一侧, ,其值可能是拉应力其

36、值可能是拉应力, ,也可能是压应力也可能是压应力. .1.将外力向杆件的轴线简化将外力向杆件的轴线简化2.将构件上的外力分组将构件上的外力分组F：压缩；：压缩；M：弯曲：弯曲3.计算应力计算应力目录目录maxNzzFMAW maxNzzFMAW +=双向偏心压缩双向偏心压缩yzFzeyeyzyzFeM zyFeMFFNzyFeM yzFeM 3.3.应力计算应力计算zyE,zzyyNIyMIzMAF1.将外力向杆件的轴线简化将外力向杆件的轴线简化2.将构件上的外力分组将构件上的外力分组压缩：压缩：绕绕 y 轴弯曲轴弯曲：绕绕 z 轴弯曲轴弯曲：目录目录FFFN作用作用My作用作用Mz作用作用+

37、=ABCD合成合成zzyyNAWMWMAFzzyyNBWMWMAFzzyyNCWMWMAFzzyyNDWMWMAF4.4.最大应力最大应力maxyNzyzMFMAWW maxyNzyzMFMAWW 目录目录Zy5.截面核心截面核心yzFzeyeyzFyzFeM zyFeMzyE,zyzyee ,yaza000yNzyzM zFM yAII 中性轴的方程中性轴的方程 中性轴是一条不通过截面形心的直线，当偏心压中性轴是一条不通过截面形心的直线，当偏心压力作用点位于横截面附近某个区域内时力作用点位于横截面附近某个区域内时,可保证中性轴可保证中性轴不穿过横截面，这个区域称为截面核心。不穿过横截面，这个

38、区域称为截面核心。 目录目录例题例题3-13 图示矩形截面钢杆，用应变片测得杆件上、下表面的轴向正图示矩形截面钢杆，用应变片测得杆件上、下表面的轴向正应变分别为应变分别为a a1 110103 3、 b b 0.40.410103 3，材料的弹性模量，材料的弹性模量E E210GPa 210GPa 。(1).(1).试绘出横截面上的正应力分布图；试绘出横截面上的正应力分布图；(2).(2).求拉力求拉力F及偏心距及偏心距的距离。的距离。abFF525aaE210MPabbE84MPa210MPa84MPaNaFMAW26FFbhbhNbFMAW26FFbhbhbabhF2Fbhba12218.

39、38kN1.786mm解：解：目录目录yzdAO1例题例题3-13 求直径为D的圆截面的截面核心.0zFrFWA解：解：设当中性轴和截面在点设当中性轴和截面在点A处相切时，力作用在处相切时，力作用在1点处：点处：r324648zWDDrADD目录目录四、弯扭组合变形四、弯扭组合变形实例实例受力特点：受力特点：外力在垂直于杆轴线的面内，但不通过轴线。外力在垂直于杆轴线的面内，但不通过轴线。目录目录F laSxpM MW WM FlxM Fa1.将外力向杆件的轴线简化将外力向杆件的轴线简化2.将构件上的外力分组将构件上的外力分组3.计算应力计算应力xzMzMx4321yz zz zW WM M1z zz zW WM MxpM MW W3z zz zW WM MxpM MW WF: 弯曲（剪力不计弯曲（剪力不计 ）；）；M：扭转。：扭转。目录目录例题例题3-14 传动轴由功率传动轴由功率P=